试题.习题—--雨量预报方法的评价模型数学建模c题论文.doc

雨量预报方法的评价模型
摘 要
本模型通过对大量数据的分析与模拟，对两种不同雨量预报方法的好、坏进行了评价，并且给出了数量值指标。得到评价结论是：（1）由预测方法一得到的雨量预报值的概率统计结果优于预测方法二的预报。处理分析的简要过程为：为了简化模型计算，首先假设利用经、纬度坐标代替高斯平面直角坐标进行计算，不影响所建模型对问题的分析。将数量庞大的数据资料进行分类整理，并且转化为能被计算机处理使用的数据格式。利用数学处理软件—Maple9.0 ,将网格位置和观测点位置以及观测值图形化表示。通过观察这些图形的特点，对题中个观测站点的测量数据及位置分布情况进行更细的划分，并用二次曲面插值及曲面拟合，来获得近似测量数据值。其中，对观察点较独立的雨量值为非零的点，采用抛物面方程为在附近取近似值的方法插值；对两个或两个以上的非零独立点时，利用二次曲面方程做类似的进行插值。利用上述的方法求出各局部雨量观测值的拟合曲面方程，求出个网格处近似观测值的矩阵，然后利用统计的办法求出各预报雨量的网格与模拟观察值之间的方差，并进行概率分析，求出天内所有观测值与预报值间的方差平均差。越小说明预报误差越小，则预报的准确性越高。
（2）公众对方法一预报的感受认可程度比方法二的值高：在我们的模型中，刻画公众所感受到的无雨、小雨、中雨、大雨、暴雨、大暴雨及特大暴雨的程度，可以用模糊数学的方法与概率来描述。在对每一种降雨级别进行描述时，可以认为其中部位置应当是公众的感受程度最高之处；而对于所定义的“无雨”级别内，其中感受程度应随雨量的增加而减少，“特大暴雨”级别与“无雨”级别的变动趋势正好相反。建立了每一个级别的隶属度函数模型。 用所建的隶属度函数可以求出任何一个降雨量值，将第一问题中的预报降雨量数值矩阵及观测的降雨量数值矩阵代入隶属度函数，利用各网格点在不同时间区域上的数据方差，求出总体上的均差，做类似的比较。结果为：方法一的均差为0.00016，方法二的均差为0.0011，所以方法一的预报结果公众认可度高。本文随附件带有三百个运行程序文件
关键词：降雨量，预报，公众感受，模拟，拟合，模糊数学，方差。
雨量预报方法的评价模型
一、提出问题：
雨量预报对农业生产和城市工作和生活有重要作用，但准确、及时地对雨量作出预报是一个十分困难的问题，广受世界各国关注。我国某地气象台和气象研究所正在研究6小时雨量预报方法，即每天晚上20点预报从21点开始的4个时段（21点至次日3点，次日3点至9点，9点至15点，15点至21点）在某些位置的雨量，这些位置位于东经120度、北纬32度附近的53×47的等距网格点上。同时设立91个观测站点实测这些时段的实际雨量，由于各种条件的限制，站点的设置是不均匀的。
气象部门希望建立一种科学评价预报方法好坏的数学模型与方法。气象部门提供了41天的用两种不同方法的预报数据和相应的实测数据。其中，雨量用毫米做单位，小于0.1毫米视为无雨。
(1) 请建立数学模型来评价两种6小时雨量预报方法的准确性；
(2) 气象部门将6小时降雨量分为6等：0.1—2.5毫米为小雨，2.6—6毫米为中雨，6.1—12毫米为大雨，12.1—25毫米为暴雨，25.1—60毫米为大暴雨，大于60.1毫米为特大暴雨。若按此分级向公众预报，如何在评价方法中考虑公众的感受？
（注：本题数据位于压缩文件C2005Data.rar中, 可从
lems2005c.asp下载）
二：.符号说明：
:表示5347个网格点所对应的经度值构成的矩阵;
:表示5347个网格点所对应的纬度值构成的距阵;
,: 表示5347个网格点处的实测降雨量值构成的距阵;
:表示5347个网格点的预报降雨量值距阵;
：实测值与预报值的差矩阵；
: 表示月份（=6,7）,表示日期，表示第日21点至此日（及+1日）20点预测量的序号；
： 表示均方误差值；
：方差均值。
三、模型的假设
1、将观察区域视为一个平面区域；
2、所设的观察点位置足以反映整个预报区域的气候特征；
四、模型的建立与分析
第一问：评价两种6小时雨量预报方法的准确性数学模型的建立
1 模型分析
气象预报是一项统计、计算工作量极大且具有非常明显随机特性的工作，相关部门为了能够较准确的预报天气的变化情况，每天需要处理大量数据，并且利用概率统计的数学方法进行处理与预测，以达到使天气预报的准确性满足人们生活工作的需要。查阅有关气象处理资料，我们了解到天气的预报，是以大量的观察数据为基础进行模拟和分析得到的。这也是本模型的建模思路与方法。
首先利用计算机将题中所给的全部数据（共831971条）按时段与数据处理方法的不同进行分类整理。因为观测数据点与预报网格点的个数与位置都不一一对应，所以我们首先要得到网格点上的近似观测值。我们的方法是利用91个观测点的实测值进行数据曲面拟合，通过最佳拟合曲面，得到网格点上的近似实测值。为了能够达到最佳模拟效果，在拟合实测值曲面时，我们根据值的分布特点划分区域，在若干小区域上进行局部曲面拟合，以实现整体最优。每天分四个时段，一共有41天的实测值，这就决定了有164个曲面需要拟合，有164*2491个近似实测值需要计算，计算量极其巨大，必须利用高性能计算机和高效的编程算法完成该工作，以达到客观的分析与评价的效果。其次利用概率统计的均方差、均值等参数对两种预测方法进行评价。
利用经、纬度值与高斯坐标的转换公式，将网格点的坐标进行了转换，但是转换后的坐标值十分大，给进一步的数据处理带来不便，所以我们以经、纬度值代替了高斯坐标值，我们进行数据处理的计算机是主频为2.1G、内存为512兆的计算机，使用的编程软件是maple 9.0。
若,为网格点的经度及纬度点坐标矩阵，则有：
Y=.
由拟合曲面方程计算得出，网格点降雨量组成的观测降雨量距阵为
Z=
=. ……（1）
则两种预报方法下，所有网格点的降雨量预测值组成的距阵为
=1,2
-= ……… （2）
……… (3)
………（4）
其中=1表示预测方法一对应的数值矩阵，=2表示预测方法二对应的数值矩阵；是由53×47个网格点上的观测值与预测值之差组成的数值矩阵；是内数值的方差值；是41天所有次数总体上的平均方差.
2 计算步骤
① 根据实测值的分布特点划分拟合区域，在小区域（非规则区域）上用二次曲面插值或高阶曲面拟合，设插值的二次曲面或拟合的曲面方程.
② 由计算出每一天每一时段下的近似观测降雨量距阵Z.
③ 用=-、及计算出真实值与预报值的差值矩阵及.
④ 用计算出均方差 .
⑤ 用计算出与，则和的值较小者为最优方案.
3 主要程序及结论
通过数据处理与分析我们认为预测方法一比预测方法二好。
所得计算结果值分别为：
（1）不同时段的两种方法的实测与预测值的均方差：
=[0.9247218269e-1, .165797962696, 0.9247218269e-1, 0.9247218269e-1, .2586806182, .2586806182, .2586806182, 2.791713932, .2474029514, .2539943168, .2715902174, .2715902174182, .2586806182, 2.791713932, .2474029514, .2539943168, .2715902174]
:= [0.921412432e-1, .1098068392, 0.2234955063e-1, 0.1592933205e-1, .2851304286, .2851304286, .2851304286, 2.792910527, .2612701098, .2381007694, .2613774987, 0.5183032655e-1, .2851304286, 2.792810527, .2612701098, .2381007694, .2613774987]
（2） 方法一的均方差为： := .8311398371
方案二的均方差： = .8417760978
得<。
主要程序与运行结果为：
（1） 局域曲面拟合程序
> solve({0.3=0.6-r*(0.045^2+0.042^2)},{r});

> z1:=0.6-79.17656374*[(x-120.2500)^2+(y-33.7667)^2];

> z2:=0.6-79.17656374*[(x-120.2500)^2+(y-33.7667)^2];

> z3:=0.6-79.17656374*[(x-120.2500)^2+(y-33.7667)^2];

> z4:=0.6-79.17656374*[(x-120.2500)^2+(y-33.7667)^2];

> solve({0.15=0.3-r*(0.045^2+0.042^2)},{r});

> z4:=0.3-39.58828187*[(x-118.1833)^2+(y-31.0833)^2];

> solve({5.1=10.2-r*(0.045^2+0.042^2)},{r});

> z1:=10.2-1346.001584*[(x-120.3167)^2+(y-31.5833)^2];

> z2:=10.2-1346.001584*[(x-120.3167)^2+(y-31.5833)^2];

> z3:=10.2-1346.001584*[(x-120.3167)^2+(y-31.5833)^2];

> z4:=10.2-1346.001584*[(x-120.3167)^2+(y-31.5833)^2];

> solve({0.1=0.2-r*(0.045^2+0.042^2)},{r});

> z4:=0.2-26.39218791*[(x-118.4000)^2+(y-30.6833)^2];

> z4:=solve({118.9833^2+30.6167^2+a*118.9833+b*30.6167+c=0.7000,118.5833^2+30.0833^2+a*118.5833+b*30.0833+c=1.8000,119.4167^2+30.8833^2+a*119.4167+b*30.8833+c=0.5});

> solve({0.05=0.1-r*(0.045^2+0.042^2)},{r});

> z1:=0.1-13.19609396*[(x-119.4167)^2+(y-30.8833)^2];

>
> solve({2.9=5.8-r*(0.045^2+0.042^2)},{r});

> z4:=0.1-765.3734495*[(x-118.2833)^2+(y-29.7167)^2];

（2）均方差求值程序：
> sq1:=[0.09247218269,0.165797962696,0.09247218269,0.09247218269,0.2586806182,0.2586806182,0.2586806182,2.791713932,0.2474029514,0.2539943168,0.2715902174,0.2715902174182,0.2586806182,2.791713932,0.2474029514,0.2539943168,0.2715902174];

> sum1:=add(i,i=sq1);

> ave1:=sum1/17;

> ve1:=[.5222900020,.5222900020,.5222900020,.5222900020,.5222900020,.5222900020,.5222900020,.5222900020,.5222900020,.5222900020,.5222900020,.5222900020,.5222900020,.5222900020,.5222900020,.5222900020,.5222900020,.5222900020];

> sq2:=[0.0921412432,0.1098068392,0.02234955063,0.01592933205,0.2851304286,0.2851304286,0.2851304286,2.792910527,0.2612701098,0.2381007694,0.2613774987,0.05183032655,0.2851304286,2.792810527,0.2612701098,0.2381007694,0.2613774987];

（2）数据模拟图程序：
> with(linalg):
> l:=matrix(91,7,[58138,32.9833,118.5167, 0.0000, 5.0000, 0.2000, 0.0000,
58139, 33.3000,118.8500, 0.0000, 3.9000, 0.0000, 0.0000,
58141, 33.6667,119.2667, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000,
58143, 33.8000,119.8000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000,
58146, 33.4833,119.8167, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000,
58147, 33.0333,119.0333, 0.0000, 6.0000, 1.4000, 0.0000,
58148, 33.2333,119.3000, 0.0000, 1.1000, 0.3000, 0.0000,
58150, 33.7667,120.2500, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.1000,
58154, 33.3833,120.1500, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000,
58158, 33.2000,120.4833, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000,
58230, 32.1000,118.2667, 3.3000,20.7000, 6.6000, 0.0000,
58236, 32.3000,118.3000, 0.0000, 8.2000, 3.6000, 1.4000,
58238, 32.0000,118.8000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000,
58240, 32.6833,119.0167, 0.0000, 3.0000, 1.4000, 0.0000,
58241, 32.8000,119.4500, 0.1000, 1.4000, 1.5000, 0.1000,
58243, 32.9333,119.8333, 0.0000, 0.7000, 0.4000, 0.0000,
58245, 32.4167,119.4167, 0.3000, 2.7000, 3.8000, 0.0000,
58246, 32.3333,119.9333, 7.9000, 2.7000, 0.1000, 0.0000,
58249, 32.2000,120.0000,12.3000, 2.4000, 5.6000, 0.0000,
58251, 32.8667,120.3167, 5.2000, 0.1000, 0.0000, 0.0000,
58252, 32.1833,119.4667, 0.4000, 3.2000, 4.8000, 0.0000,
58254, 32.5333,120.4500, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000,
58255, 32.3833,120.5667, 1.1000,18.5000, 0.5000, 0.0000,
58264, 32.3333,121.1833,35.4000, 0.1000, 0.2000, 0.0000,
58265, 32.0667,121.6000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000,
58269, 31.8000,121.6667,31.3000, 0.7000, 2.8000, 0.1000,
58333, 31.9500,118.8500, 8.2000, 8.5000,16.9000, 0.1000,
58334, 31.3333,118.3833, 4.9000,58.1000, 9.0000, 0.1000,
58335, 31.5667,118.5000, 5.4000,26.0000,11.0000, 0.8000,
58336, 31.7000,118.5167, 3.6000,27.8000,15.3000, 0.6000,
58337, 31.0833,118.1833, 7.0000, 6.4000,15.3000, 0.2000,
58341, 31.9833,119.5833,11.5000, 5.4000,16.1000, 0.0000,
58342, 31.7500,119.5500,32.6000,37.9000, 5.8000, 0.0000,
58343, 31.7667,119.9333,20.7000,24.3000, 5.3000, 0.0000,
58344, 31.9500,119.1667,12.4000, 5.9000,16.3000, 0.0000,
58345, 31.4333,119.4833,21.8000,18.1000, 9.8000, 0.1000,
58346, 31.3667,119.8167, 0.1000,12.7000, 5.1000, 0.2000,
58349, 31.2667,120.6333, 1.1000, 5.1000, 0.0000, 0.0000,
58351, 31.8833,120.2667,22.9000,15.5000, 6.2000, 0.0000,
58352, 31.6500,120.7333,15.1000, 5.4000, 2.4000, 0.0000,
58354, 31.5833,120.3167, 0.1000,12.5000, 2.4000, 0.0000,
58356, 31.4167,120.9500, 5.1000, 4.9000, 0.4000, 0.0000,
58358, 31.0667,120.4333, 2.4000, 3.4000, 0.0000, 0.8000,
58359, 31.1500,120.6333, 1.5000, 3.8000, 0.5000, 0.1000,
58360, 31.9000,121.2000, 5.6000, 3.2000, 2.9000, 0.1000,
58361, 31.1000,121.3667, 3.5000, 0.6000, 0.2000, 0.7000,
58362, 31.4000,121.4833,33.0000, 4.1000, 0.9000, 0.0000,
58365, 31.3667,121.2500,17.7000, 2.2000, 0.1000, 0.0000,
58366, 31.6167,121.4500,75.2000, 0.4000, 1.5000, 0.0000,
58367, 31.2000,121.4333, 7.2000, 2.8000, 0.2000, 0.2000,
58369, 31.0500,121.7833, 3.2000, 0.3000, 0.0000, 0.3000,
58370, 31.2333,121.5333, 7.0000, 3.4000, 0.2000, 0.2000,
58377, 31.4667,121.1000, 7.8000, 7.2000, 0.3000, 0.0000,
58426, 30.3000,118.1333, 0.0000, 0.0000,17.6000, 6.2000,
58431, 30.8500,118.3167, 5.1000, 2.3000,16.5000, 0.1000,
58432, 30.6833,118.4000, 3.6000, 1.4000,20.5000, 0.2000,
58433, 30.9333,118.7500, 2.1000, 3.4000, 8.5000, 0.2000,
58435, 30.3000,118.5333, 0.0000, 0.0000,13.6000, 8.5000,
58436, 30.6167,118.9833, 0.0000, 0.0000, 5.3000, 0.5000,
58438, 30.0833,118.5833, 0.0000, 0.0000,27.6000,21.8000,
58441, 30.8833,119.4167, 0.1000, 1.6000, 1.6000, 1.0000,
58442, 31.1333,119.1833, 3.0000, 8.8000, 5.4000, 0.2000,
58443, 30.9833,119.8833, 0.1000, 2.7000, 0.1000, 0.9000,
58446, 30.9667,119.6833, 0.0000, 0.1000, 5.1000, 2.5000,
58448, 30.2333,119.7000, 0.0000, 0.0000,15.1000, 6.9000,
58449, 30.0500,119.9500, 0.0000, 0.0000,23.5000, 8.2000,
58450, 30.8500,120.0833, 0.0000, 0.7000, 0.0000, 4.1000,
58451, 30.8500,120.9000, 0.5000, 0.1000, 0.0000, 3.8000,
58452, 30.7833,120.7333, 0.3000, 0.0000, 0.0000, 3.0000,
58453, 30.0000,120.6333, 0.0000, 0.0000, 0.0000,18.2000,
58454, 30.5333,120.0667, 0.0000, 0.0000, 0.5000, 4.9000,
58455, 30.5167,120.6833, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 4.6000,
58456, 30.6333,120.5333, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 4.2000,
58457, 30.2333,120.1667, 0.0000, 0.0000, 2.0000,12.6000,
58459, 30.2000,120.3167, 0.0000, 0.0000, 0.0000,15.0000,
58460, 30.8833,121.1667, 1.2000, 0.1000, 0.0000, 2.3000,
58461, 31.1333,121.1167, 4.0000, 1.4000, 0.4000, 0.2000,
58462, 31.0000,121.2500, 2.7000, 0.3000, 0.4000, 1.7000,
58463, 30.9333,121.4833, 1.7000, 0.1000, 0.0000, 0.8000,
58464, 30.6167,121.0833, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 3.6000,
58467, 30.2667,121.2167, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 1.8000,
58468, 30.0667,121.1500, 0.0000, 0.1000, 5.1000, 2.5000,
58472, 30.7333,122.4500, 0.3000, 0.6000, 0.0000, 4.9000,
58477, 30.0333,122.1000, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000,
58484, 30.2500,122.1833, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000,
58530, 29.8667,118.4333, 0.0000, 0.0000,27.5000,23.6000,
58531, 29.7167,118.2833, 0.0000, 0.0000, 3.7000,11.5000,
58534, 29.7833,118.1833, 0.0000, 0.0000, 9.3000, 6.5000,
58542, 29.8167,119.6833, 0.0000, 0.0000, 0.0000,27.6000,
58550, 29.7000,120.2500, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 4.9000,
58562, 29.9667,121.7500, 0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.9000]);

> lat:=col(l,2);

> lon:=col(l,3);

> sd1:=col(l,4);

> sd2:=col(l,5);

> sd3:=col(l,6);

> sd4:=col(l,7);

> abc1:=seq([lat[i],lon[i],sd1[i]],i=1..91);

> abc2:=seq([lat[i],lon[i],sd2[i]],i=1..91);

> abc3:=seq([lat[i],lon[i],sd3[i]],i=1..91);

> abc4:=seq([lat[i],lon[i],sd4[i]],i=1..91);

> with(plots):
> pointplot3d([abc1],color=green,axes=boxed);

> surfdata([abc1],labels=["x","y","z"],axes=boxed);

> with(stats):
> with(fit):
> with(plots):
fx1:=leastsquare[[x,y,z],z=x^3+y^3+a*x^2+b*y^2+c*x*y+d*x+e*y+f,{a,b,c,d,e,f}]([abc1]);

> plot3d(fx1,x=25..35,y=119..135);
> pointplot3d([abc2],color=blue,axes=boxed);

> surfdata([abc2],labels=["x","y","z"],axes=boxed);

> fx2:=leastsquare[[x,y,z],z=x^3+y^3+a*x^2+b*y^2+c*x*y+d*x+e*y+f,{a,b,c,d,e,f}]([abc2]);

> plot3d(fx2,x=25..35,y=119..135);
> pointplot3d([abc3],color=red,axes=boxed)

> surfdata([abc3],labels=["x","y","z"],axes=boxed);

> fx3:=leastsquare[[x,y,z],z=x^3+y^3+a*x^2+b*y^2+c*x*y+d*x+e*y+f,{a,b,c,d,e,f}]([abc3]);

> surfdata([abc4],labels=["x","y","z"],axes=boxed);

> fx4:=leastsquare[[x,y,z],z=x^3+y^3+a*x^2+b*y^2+c*x*y+d*x+e*y+f,{a,b,c,d,e,f}]([abc4]);

五.如何在评价方法中考虑公众感受的数学模型建立。

1、 模型分析及符号说明
气象部门将6小时降雨量分为6等级：0.1—2.5毫米为小雨，2.6—6毫米为中雨，6.1—12毫米为大雨，12.1—25毫米为暴雨，25.1—60毫米为大暴雨，大于60.1毫米为特大暴雨. 若用表示某地的降雨量，则集合，，，
，，，，
描述的是划分的无雨、小雨、中雨、大雨、暴雨、大暴雨及特大暴雨，这是一种截然划分.
公众感到降雨量是无雨、小雨、中雨、大雨、暴雨、大暴雨及特大暴雨是一种模糊概念，所以公众感受适合用模糊数学模型进行描述，用,,,,,,分别表示无雨、小雨、中雨、大雨、暴雨、大暴雨及特大暴雨的模糊集合.其中：，，，
，，，
， =0，1，…,6表示当降雨量为（z）时，观众对降雨级别的感觉隶属度函数，即 =0，1，…6是模糊集合 =0，1，… ,6
隶属度函数.

2、数学模型
=0，1，…,6的解析式如下：
.
=().

=().
=().
=().
=().
=().
下面的图形是公众对降雨等级感受的7个模糊集合中的4个，其余图形可类似地得出，图中隶属度函数的横坐标是相应等级的降雨量，纵坐标是公众对该等级降雨的认可程度.

小雨的隶属函数图

特大暴雨隶属函数图

大暴雨隶属函数图

暴雨隶属函数图

将及 =0，1，…,6合并可得上的模糊集合.其中是论域,是模糊集合的隶属函数，由分段合成的为
………（5）
3、 计算步骤
在第一问题中求出5347个网格点处的观测降雨量数值距阵Zmnk,后，将Zmnk及分别代入函数中求出5347个网格点处公众对观测降雨量感受程度值的矩阵
；
及公众对预报（即预测）降雨量感受程度值的矩阵
=1,2 .
则由曲面方程计算得出网格点降雨量组成的观测降雨量距阵为
- ……… （6）
……… (7)
………（8）
其中=1，2；=1表示方法一时对应的公众对预测降雨量感受程度数值矩阵，=2表示方法二时对应的公众对预测降雨量感受程度数值矩阵；是由53×47个网格点上的公众对降雨量感受程度观测值与公众对预测降雨量感受程度值之差组成的数值矩阵；是内数值的方差值；是41天所有次数总体上的平均方差.
在计算出与后， 和的值中较小者为最优方案.
对上述过程，经编程序计算的结果为=，=，显然
六． 模型的评价与应用

该模型是根据数据统计和曲线的拟合建立起来的，模型对整个降雨量的预报过程
作了较好的刻画,通过模型所建立起来的函数能客观地反映降雨量的分布情况,本模型以大量的数据为依据，通过数理统计进行数据的加工和拟合，最终绘出能反映大多数实际情况的拟合曲线。

七． 参考文献
[1] 朱伯承. 统计天气预报 .上海科学出版社，1981
[2] 杨启帆，方道元. 数学建模. 浙江大学出版社， 1999
[3] 王红卫. 建模与仿真. 科学出版社, 1993
[4] 蔡海涛. 概率论与与数理统计. 国防科技大学出版社, 2003
[5] 洪维恩. 李强, 董建刚.数学魔法师Maple 6 .人民邮电出版社,2001

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