广义系统研究-学位论文.doc

本科毕业设计说明书（论文） 第 29 页 共 29 页
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目 录

1 绪论 …………………………………………………………………………………… 1
1.1 选题的意义和背景 …………………………………………………………… 1
1.2 广义系统研究概况 ………………………………………………………………… 1
1.3 本文内容结构与章节安排 …………………………………………………… 3
2 广义系统基础理论 ……………………………………………………………… 5
2.1 概述 …………………………………………………………………………… 5
2.2 模型介绍 ……………………………………………………………………… 6
2.3 状态反馈 ……………………………………………………………………… 8
2.4 输出反馈 ………………………………………………………………………… 10
3 鲁棒稳定的充要条件 ……………………………………………………………… 12
3.1 鲁棒稳定基础理论 ……………………………………………………………… 12
3.2 状态反馈鲁棒稳定的充要条件 ………………………………………………… 12
3.3 输出反馈鲁棒稳定的充要条件 ………………………………………………… 14
4 控制器设计方法 ………………………………………………………………… 16
4.1 概述 …………………………………………………………………………… 16
4.2 基于LMI或李雅普诺夫输出反馈控制器设计方法 ………………………… 16
4.3 基于LMI或李雅普诺夫状态反馈控制器设计方法 ………………………… 17
4.4 总结 …………………………………………………………………………… 18
5 基于MATLAB的系统仿真 ……………………………………………………… 19
5.1 MATLAB软件简介 …………………………………………………………… 19
5.2 仿真 …………………………………………………………………………… 19
结束语 ………………………………………………………………………………… 25
致谢 …………………………………………………………………………………… 26
参考文献 ……………………………………………………………………………… 27

1 绪论
广义系统有许多别称，例如奇异系统、微分代数系统、描述系统、广义状态空间系统、隐式系统及退化系统等。
广义系统按照不同分类方式可以分为线性和非线性、定常和时变、连续和离散、单输入单输出和多输入多输出等多种类型。其中，又以线性定常广义系统为最基本的一类系统[1]。
本文把鲁棒稳定问题作为连续定常广义系统研究的主要对象，包括在得到其输出反馈和状态反馈控制器的设计方法后，同时给出状态和输出反馈作用下其闭环系统的稳定性条件，并给出算例及仿真。本文的研究方法和结果对于开拓广义系统其他分支领域的前沿课题的研究具有一定的理论意义和推广价值。
1.1 选题意义和背景
随着高科技不断发展，为了满足二十世纪六十年代初时航空技术不断发展的需求，自动控制理论由此跨进到了现代控制理论领域，广义系统逐渐进入了人们的视野。四十多年前，研究电网络系统著名学者是罗森·布鲁克。他在研究此复杂系统后，第一次得到了广义系统的模型。从此罗森·布鲁克成为了此系统的奠基人。由于广义系统在现代生产过程中应用具有极大基础重要性，所以历代学者在对广义系统的研究中付出了极大的心血，由此在短时间内获得的研究成果十分巨大。然后，广义系统的基础理论知识的进一步推进和丰富发展工作是由Luenberger D.G.、Dai L.、Cobb J.D.和CampbellS.L.等人完成的，他们借在美国著名刊物自动控制汇刊和英国刊物国际自控联汇刊等自动化刊物上发表的文章，分析了广义系统性能。分别为能控、能观和稳定性。从而成为了这个研究领域的先驱人物[2]。
由于广义系统的形式更加一般化，所以更加便于实现于现实生产生活中的大部分系统。现在广义系统主要使用在工程技术方面。它的重要作用加快了科学技术的进步。但是研究一个系统必须从最基本的方面做起，对于广义系统而言，连续线性定常广义系统就是其中十分基础的。所以重点探讨了线性广义系统的稳定性，以及反馈控制器设计方法。
1.2 广义系统研究概况
1.2.1 国外研究概况
当四十多年前，现代广义系统理论奠基人罗森·布鲁克提出系统模型后，国外有关这种系统的研究从未停止过，已经取得了极大的成就，并一直处在前沿位置上。二十世纪六十年代，一种建立在空间描述基础上的最优滤波递推算法是有R.E. Kalman和R.S. Bucy两位学者提出来。它又叫做卡尔曼滤波器。这些研究都是广义系统的基础方面的探讨，但是却都是复杂系统发展的基本知识。
著名的美国研究者卢恩博格后来分别在1977年和1978年发表了文章。他们在文章里对广义系统的解作了解析。并切是关于解是否存在的问题。这也是广义系统早期的研究[3]。然而，由于当时罗森·布鲁克刚刚提出广义系统的模型不久，所以对于广义系统的研究处在最初级阶段，研究成果也十分有限。理论研究的道路曲折难行、前进十分困难。
到了二十世纪八十年代，由于受到了许多的控制理论领域专家的关注，加上这两个领域的相似性，从而导致了广义系统研究得到了前所未有的进步。此时，不仅最基本的连续线性定常广义系统有很大发展，而且线性时变广义系统也取得了相应的发展。后来，广义系统的理论研究进入井喷期。这当中有关系统的镇定的研究进展十分迅速。许多学者也得到了设计多种控制观测器的方法。当然还有反馈控制的最原始的解析情况，其中有的系统有不再只是线性的。而出现了许多系统的研究，这也相对应了前文的系统多样性的特点。这些都离不开许多著名理论专家的努力，包括Campbell、Fahmy和Cobb等人。
从上个世纪的最后十年到今天，其研究的一个趋势是向纵深方向发展。在国外研究中，学者Takaba等人研究广义系统的李雅普诺夫理论，并且将J谱分析法推广到了广义系统之中。之后，有关控制器如何设计和怎样控制时滞广义系统的问题被学者提出，他们是Fridman和Masubuch，并得出了用线性矩阵不等式方法的研究思路[4]。
1.2.2 国内研究概况
由于我国的广义系统研究开始时间晚，加之没有坚实的理论支撑和指导，导致其发展历程十分艰难。我国在广义系统研究上取得一定成绩是在上世纪末。1993年，我国国内学者开始了接触到了时滞广义系统方面的问题，并取得重要成果。在开始时滞广义系统的课题上，主要是研究其系统的鲁棒问题和反馈上的。在研究系统控制控制稳定上，学者谢湘生和刘永清是其中的佼佼者。他们还在反馈控制的性质等基础理论方面有一定研究。而在反馈控制方面，刘洪伟和谢湘生找到了具体控制器设计方法的答案，此方法的基础是线性矩阵不等式[5]。
进入二十世纪后，国内的一些学者开始研究有限时间之内的稳定问题。其中沈艳军是研究线性和离散广义系统上的领军人物。其中这些系统包括了不确定的系统。并且离散时间系统上有十分深入的探讨，例如主要是系统中存在外部干扰。而且冯俊娥在有建树的系统研究不仅如此，而且当系统的参数是不确定的时候也做出了喜人的成绩。对于连续线性定常广义系的研究工作多由国外的学者完成的，那是属于较简单的广义系统。国内专家学者多是在前人的基础上进一步努力完善广义系统大体系。如对有限时间稳定镇定问题研究成果十分少，所以还要许多工作需要我们去做。
1.2.3 广义系统研究方法
研究广义系统的方法是多种的。分别是频域方法、几何方法和状态空间法三种。一般系统的研究方法已经对人们的研究产生了十分重大影响。所以在广义系统的研究上也采用了传统的解析法。简单即为一般系统的向外延伸。
几何方法，顾名思义即是将广义系统转变为在几何方面的问题进行研究。而且此方法的运用空间是状态空间。同时这也是几何方法与其它方法相比较下的一大优势，因为它对系统的结构有着独特的描述。这里需明确指出的是，分析过程直观明细，所产生的结果都可化为矩阵运算是几何方法的又一个优势，同时没有了复杂的矩阵运算。但无法全面的对系统的鲁棒性能分析又是几何方法的一个缺陷。可控制性结构、不变子空间的刻画和能控制性子空间是这种方法的主要运用范畴。
多变量频域方法。它的另一个叫法是频域方法。此方法使用前提有两个。第一个是当广义系统要求在分解和解释空间状态。另一个是需要了解频域的系统描述具体计算问题。并且此方法的特点是物理性方面的调整十分强，而且直接。
状态空间方法。这也是研究时用得最多的方法。此方法一般只在一种情况下使用。即是要在空间下使用矩阵计算时。且此空间是状态空间。它的另一个叫法是时域方法矩阵状态空间方法之所以使用最广泛，是因为它具有简单明了地解析问题的方式和所得结论明确清楚等优势，还有其中最重要的是可以在电脑上借助软件进行运算并和分析，由此受到了各行业的专业设计人员的青睐[6]。
1.3 本文内容结果与章节安排
本文第一章为绪论，主要介绍了广义系统的重要背景知识。其中包括研究此系统的意义。这是由广义系统的时域范围广，现实生产大量使用。最后系统介绍广义系统的研究情况。其中包括国外和国内的研究历程。
第二章主要有关广义系统的最基本的知识。包括广义系统的模型和基础的状态输出反馈。其中重点为介绍连续线性定常广义系统的基础理论和相对应的状态和输出反馈知识。
第三章研究广义系统的鲁棒性。重点是连续定常广义系统里的鲁棒性。展开即是使状态和输出反馈稳定的充要条件。
第四章具体设计出线性定常广义系统的控制器。本章重点是给出设计方法，并且此方法是以LMI或李雅普诺夫不等式方法为基础的。
第五章主要先介绍MATLAB软件，然后得出设计模块在软件中的仿真图以及相应的文字说明。
最后为结束语，总结了全文。以及说明了在本次毕业设计中所学到的有用的知识点，以及本设计所遇到的困难以及如何自己去克服，包括老师和同学给予的帮助等等。

2 广义系统理论基础
了解系统的结构模型是研究一个系统的基本前提。广义系统也不例外，该系统的基本模型1974年提出，经历了四十多年的研究，系统的模型早已成熟。本章主要对广义系统的理论做出介绍。且这些都是最基本的知识，包括系统模型、状态和输出反馈及研究方法等。
2.1 概述
广义系统与从提出以来，不仅是用于分解分析实际系统的工具，而且使用的范围也十分宽泛。广义系统之所以区别于其它系统的不仅是形式上的，最重要的其如下的特点。
广义系统和正常系统不同的八个主要方面：
(1) 三部分构成了广义系统通常具有组合性的解，即当极点是无穷极点时的脉冲和静态解、当极点是有穷尽时的指数解以及在输入的函数中的导数项；但正常系统只有一项解，为指数解。广义系统不再拥有一般的因果性。这是由其解的特点决定。系统的解要求某时刻之前和之后的信息的信息作为参考。
(2) 广义系统在动态阶数上有特点。正常系统的动态阶数与相同于系统维数。而广义系统的动态阶数却比它小，小于矩阵的秩。
(3) 广义系统的矩阵构成十分复杂。而正常系统矩阵比较简单。广义系统矩阵构成需满足两个要求。第一个要求是矩阵为真有理分式。第二个是多项式矩阵的指数大于1。而正常系统的是真分式矩阵，并且是有理的。
(4) 一般来说，正常系统的初值问题也是具有特点的。在此问题下的解含有唯一性。但广义系统则复杂得多。它的特点有以下几点：首先，初始函数的可相容性和解的可求解性与关初值问题下的解具有唯一性等价。其次，广义系统的解也具有多种可能性。有解存在、有无穷多解或无解。最后，所以经常要求广系统是正则的，以防止得到的解是含有脉冲和跳跃的。
(5) 广义系统系统具有层次性。而且它所具有的层次性是两种。分为动态和静态的特性。前者由差分方程描绘系统对象，后者则是代数方程描绘系统对象。
(6) 广义系统的另一个特点是极点。其实它的极点和一般系统不同也是比较简单的。其极点分为有穷尽的和无穷尽的极点。前者的个数为个，而后者在广义系统和正常系统中的个数分别是个和n个，同时动态和静态无穷极点则又是按照极点状态细分的两类。
(7) 运行过程中，系统结构中经常出现不符合预想的参数。即是参数参数扰动。一般系统结构稳定会发生变化。此时会直接影响广义系统。但此时正常系统则仍然保持稳定。
(8) 正常系统一般满足李雅普诺夫镇定和稳定性。广义系统则不一定满足[7]。
2.2 模型介绍
2.2.1 广义系统
当然，在许多专家的不断研究探索下，使得我们可以更加精确的描述现实生活中存在的实际例子。我们一般讨论的正常系统为：
(2.1)
广义系统为：
(2.2)
其中，时间变量是t，维数适中的状态量，输出量和输入向量分别是x，y，u，和分别是关于x，u，t的n维向量函数，。当矩阵E是满秩时，即()，式子(2.2)可以转化为形如式子(2.1)的连续正常的系统。但是当E不是满秩时(即)，式子(2.2)的系统即为广义系统[8]。
2.2.2 连续线性定常广义系统
系统模型为如下形式：
(2.3)
其中为奇异矩阵，E、A、B、C分别是维数适当的实数矩阵，时间变量是t，维数适中的状态量、输出量和输入向量分别是x，y，u。
2.2.3 李雅普诺夫不等式方法
一百多年前，俄国著名的数学力学专家亚历山大·李雅普诺夫在其发表的文献中提出了科学概念下的运动稳定性，及其研究的方法和科学理论体系。从此，李雅普诺夫方法得以完善和发展起来。
第一种李雅普诺夫方法别名是间接法。此方法是得出系统是否具有稳定性。它的具体操作是由解析状态方程的解得到，所以得此别名。简单地说就是解析特征方程的根。由此得到系统的特性。所以也必须将非线性系统线性化后再研究。此时研究内容一般是稳定性。
李雅普诺夫第二方法别名是直接法。此方法目的和第一法相同。具体操作是当无需解出方程解时，只分解由方程得到的导数的符号性质和雅普诺夫函数。以此得出解的稳定性。并且这里的方程式微分的。以下为便于理解例举的自制系统：
(2.4)
假设符合局部Lipschitz连续条件、在上连续的条件和三个条件。为便于说明，首先简单阐述有关李雅普诺夫函数概念。李雅普诺夫函数：称是恒负(正)的概念：如果满足条件，且上其中，而且和是不间断连续；称是正(负)定的概念：如果总是，其中不在中；当函数符号的正负无法恒定时，函数称为变号函数[9]。
这里的函数就是我们所称之的的李雅普诺夫函数。
可知：
若函数满足在，则称其在平面上是正定的；
若函数满足在，则称其在平面上是恒负的；
函数在平面上是变号函数；
函数 在平面上是常正函数。
2.2.3 线性矩阵不等式方法(LMI)
一般线性矩阵不等式：
(2.5)
其中，矩阵不等式(2.5)的决策变量是个变量，且都为实数。以此得，决策向量是所构成：
(2.6)
假设存在一组实数矩阵，，且为对称的，那么(2.5)中的小于号代表矩阵是负定的，故可知对所有非零向量是最大特征值为负的条件。
矩阵常常在系统与控制的问题里充当变化量。如李雅普诺夫不等式：
(2.7)
化为如下不等式：
(2.8)
2.3 状态反馈
一般系统中的控制结构是由两部分组成的。分别为控制器和被控对象。广义系统也不例外。状态和输出的差别在于，状态包含了对象的全部信息，而输出只是状态的组成部分。所以系统在进行反馈控制时，使用状态反馈可使系统更好的达到效果。然而，要获得系统的状态信息，离不开更多的传感器，但是同时也增加了成本。但是，一个系统的状态变量未必都是物理量，有时即使是系统的物理量，限于技术手段，在实际中仍难以精确测量到这些相应的物理量，导致了很难在现实生产中精确地使用状态反馈控制，故要由具体情况选择使用。
2.3.1 基础理论
在现代控制理论中，将状态量作为系统输入量传输至系统输入端同时表现了现代理论特点的反馈方式，称为状态反馈。状态反馈的具体原理是：输入量和已经与反馈系数相乘的状态量相加后，作为系统的新的输入量重新作用于系统。可是，与输出反馈不同的是，需要得到系统的输出量即可，状态反馈需要测出很难测得的状态量，导致了状态反馈技术不易实施。

图2.1 系统状态反馈结构图
图2.1是多输入输出反馈系统，且比较直观的解析了状态反馈。图中既是一个常数也是一个矩阵的字母K通常叫做增益矩阵。随着科技的不断进步，尤其是发展了估计状态量理论和检测状态量理论后（特别是卡尔曼和布什提出的滤波方法），在现实的操作中得到状态量的实时观测值已近较容易。由此，状态反馈方法进入了可操作阶段[10]。
状态反馈的性质：
(1) 系统能控制性不会变化。
(2) 使用状态反馈时需要配置系统极点，当其和原系统零点出现相消时，原来系统的能观性会变化。
(3) 状态反馈不会改变系统的零点位置。且此系统是易操作控制的单个通道输入输出的。
(4) 在使用状态反馈时，系统的状态x务必是可以容易获取的是一个必须要有的前提。前文已经提到，系统的状态量不易得到，当其无法时就需要重新构架系统状态。含有动态补偿器的输出反馈的信息由观测器获得，非静止状态的反馈。尽管静态输出反馈具有构成明了简单，信息上获取也没有任何困难等优势，但它的缺点在于：此种反馈不能很好地发挥系统性能，尤其是不能确保闭环系统完全稳定[11]。
2.3.2 系统在状态反馈下可控制性
对于多个变量的线性系统：
(2.9)
在任何形如：
(2.10)
的状态反馈下，若被控对象完全可控。那么对于闭环系统，且是状态反馈的也是完全可控的。
2.3.3 系统在状态反馈下可观测性
由上文已知系统的可控性不会因为状态反馈发生改变，但是其会改变系统的可观测性，方法就是选择一个状态反馈矩阵K达到破坏系统可观性的目的。当然，若在状态反馈系统中出现了零极点相消时系统的可观性也会发生改变。
定理2.1：输出反馈闭环系统是否可控或可观直接由被控系统决定，即被控系统是可控可观的为输出反馈系统可控可观的充要条件。
2.4 输出反馈
2.4.1 基础理论
系统的另外一种反馈是输出反馈。浅析原理：把比例环节作为系统的输出量变成输入量的媒介后重新作用于系统。简单来说，即是将增益矩阵H加在系统的输出端和输入端之间，并且H为常数矩阵。输出反馈易实现。原因是此种反馈所需的输出量容易采集和分析，且大都具有实在的物理含义。所以输出反馈易于使用。

图2.2 系统输出反馈结构图
图2.2是多输入输出反馈系统，且为一个较为详细的输出反馈结构图。但如果对于单输入输出的系统，当增益矩阵H对系统完成输出反馈后，原来的传递函数就会变为。对于多变线性系统而言，当增益矩阵H发生改变时，系统同样会发生改变。
2.4.2 基本性质
输出反馈的性质：
(1) 输出反馈作用无法改变系统的某些性能，能控性和能观性就在其中。
(2) 输出反馈所导致的闭环系统均能保持开环系统的能控性，但系统的能观测性可能发生改变。
(3) 输出反馈的一个突出特点是便于实现，但是其无法更好的描绘系统的状态情况，以致于无法获得满意的系统性能[12]。

3 鲁棒稳定的充要条件
鲁棒是一个音译词，表示物体或人的强韧程度。所要研究的鲁棒性即是当系统在外界扰动下维持某些性能的特性。所以系统的这种性质是其在非常规条件下运行的关键。鲁棒性是系统的一个关键属性。故研究如何设计一个控制器使保持预定的功能，并且此系统受到扰动时性能仍不变化。这种控制叫做鲁棒控制。同时需要给出鲁棒稳定的充要条件。并且是反馈控制下的条件。
3.1 鲁棒稳定基础理论
广义系统和一般系统存在诸多的不同。这些广义系统的自身特点致使其有关的问题更为复杂。其中包括鲁棒稳定问题。研究广义系统稳定问题包含多个方面。此处主要考虑其鲁棒稳定性。而且也务必把其正则性和脉冲模存在性加入考虑范畴。
对于如下系统：
(3.1)
其中，为系统的状态变量；为实数矩阵，E为奇异矩阵。一般来说，对广义系统而言，渐进稳定和无脉冲是它的两个基本要求。如下介绍两个广义系统稳定性判别的著名定理[13]。
定理3.1：广义系统(3.1)是容许的充要条件是：对给任意确定的一个矩阵，必有解V，满足如下方程：
(3.2)
相对的：
定理3.2：系统(3.1)为容许的充要条件为：给定一个任意矩阵，必有解V，符合如下不等式：
(3.3)
式(3.2)和(3.3)皆是李雅普诺夫不等式。
3.2 状态反馈鲁棒稳定的充要条件
如下线性广义系统：
(3.4)
其中，代表时间变量，维数适中的状态、输出和输入向量分别是，，。，，，分别是适维的实矩阵。
定义3.1：广义系统(3.4)是正则的，如果不恒等于零。
定义3.2：广义系统(3.4)叫做无脉冲模。如果广义系统(3.4)是正则的且成立。
定义3.3：广义系统(3.4)是逐渐趋于稳定。如果对于系统(3.4)的每一个解都有。
引理3.1：广义系统称为是稳定的。如果广义系统是正则的，且都在左半平面上。即满足。
如果记为满足条件和的矩阵，则有：
引理3.2：对于广义系统无脉冲模。且是稳定正则的。则存在并且只存在矩阵P使得：和；
引理3.3：以下三个命题等价：
(1) 广义系统无脉冲模，且是正则且稳定的系统；
(2) 存在矩阵，Y满足；
(3) 存在矩阵，Y满足[14]。
定理3.3：广义系统是鲁棒稳定的充要条件是存在正定矩阵和矩阵Y，使如下不等式：
(3.5)
成立。那么此充要条件达到了目的。即使得系统鲁棒稳定。
证明：广义系统(3.4)是可镇定的充分必要条件存在控制器，使得相应的稳定闭环系统是正则和无脉冲模。由引理3.3可得：存在矩阵，Y，满足：
(3.6)
即：

令即有(3.5)等价于(3.6)即充要条件得证。
3.3 输出反馈鲁棒稳定的充要条件
普及相关的引理。
引理3.4：假设有矩阵Q和矩阵P。其中Q、P皆为矩阵，Q是镇定的，P为常数。使系统(3.4)满足：
(3.7)
P具有以下形式：
(3.8)
其中，，，且,可逆。那么(3.4)符合鲁棒稳定条件。
引理3.5：设维数适当的矩阵，，，。并且矩阵都是实数的。那么对于任意，有：
(3.9)
引理3.6：若M，N，是给定的对称阵，满足，，，且
(3.10)
对所有的，成立。则存在常数使得
(3.11)
如果有输出反馈控制器加载于系统(3.4)，可得出：
(3.12)
作用后构成的广义系统：
(3.13)
有矩阵P使得其满足如下不等式，使得闭环系统符合的条件：
(3.14)
其中，。且此是鲁棒稳定条件。
证明：充要性：对于闭环系统(3.13)，取
(3.15)
于是，由引理3.5，必存在，，有：

于是根据引理3.4可得闭环系统是鲁棒稳定的。
必要性：根据引理3.4可知存在矩阵和。且都为正定的，使得：
(3.16)
成立。令，那么可知对每一个不是零，可得到
(3.17)
由引理3.6可知，有使如下的不等式符合：
(3.18)
且是常数。结合P的求法，那么必要性得证。

4 控制器设计方法
4.1 概述
稳定几乎是任何系统正常运行的首要前提。对于一个不稳定的系统，如果要使其稳定，则必须使用外部手段使其保持稳定，即是系统的镇定问题，使得系统稳定的控制器称是稳定化控制器。一般来说，有许多个方式使系统达到稳定。但是目前使用最多的即是反馈控制。系统反馈控制器设计问题其实比较简单。简洁说即是得到反馈增益的过程，并且在系统内部受到扰动时保持稳定不变。本文主要是浅析并得出线性广义系统控制器设计方法，包括状态和输出反馈两种。
4.2 基于LMI输出反馈控制器设计方法
考虑线性连续广义系统：
(4.1)
其中，是奇异矩阵，、、、都是实数矩阵，且维数适当。代表时间变量，维数适中的状态、输出和输入向量分别是，，。为了调用方便，将吸引(4.1)简单记为(E,A,B,C)
设输出反馈控制器：
(4.2)
其中，是待定的输出反馈增益。则线性闭环广义系统的模型为：
(4.3)
即简写为：
(4.4)
目的是找到增益矩阵F，以达到使得系统鲁棒稳定的目的。
定理4.1：有输出反馈控制器(4.2)加载于系统(4.1)。且此控制器是静态的，最终致使系统到达鲁棒稳定状态。有满足如下条件的矩阵P，使得式(4.2)是广义系统(4.1)一个鲁棒稳定控制器的充要条件，且P具有如下形式：

(4.5)
其中，，，且，可逆及，满足如下不等式：
(4.6)
其中，
(4.7)
引理4.1：若M，N，是给定的对称矩阵，满足，，，且
(4.8)
对所有的，，成立。则存在常数使得
(4.9)
定理4.2：设且为可逆矩阵。那么取输出反馈控制器：
(4.10)
则闭环系统对于一切变化无法确定的输出量皆保持鲁棒稳定[15]。
基于LMI方法的输出反馈控制器设计步骤：
步骤一：求解不等式(4.6)的矩阵P。若这样的解不存在，那么问题无解。
步骤二：由其它不等式可以求得其余未知量。
步骤三：输出反馈控制器F即为所求。
4.3 基于LMI状态反馈控制器设计方法
对于一个线性定常广义系统：
(4.11)
其中是奇异矩阵。E，A，B，C分别是维数适当的矩阵，且都为实数。时间变量是t，x，y，u的要求同系统(4.1)。
假设(4.11)的状态反馈控制器为：
(4.12)
这里，是常数矩阵。则系统(4.11)与控制器(4.12)组成的闭环系统为：
(4.13)
最后得出结论：系统能在形如(4.12)的状态反馈控制器作用下保持稳定。
定理1：假设线性广义系统(4.11)是可镇定的。则其充要条件是存在矩阵和使如下不等式组：
(4.14)
成立。且矩阵，是正定的，和。
假如此条件存在，那么状态反馈控制器为：
(4.15)
那么，可知相应的控制器为：
(4.16)
基于LMI方法的控制器设计步骤：
步骤一：求为满足条件和的矩阵；
步骤二：求解矩阵不等式(4.14)，求解的X，Y，Z；
步骤三：解式子(4.16)，求出反馈增益矩阵。
4.4 总结
本章主要介绍了对于线性时不变广义系统，基于状态空间模型并根据系统的性能要求来设计控制系统。有许多方式判断状态或输出反馈控制器的好坏，而且判断标准也有很多。但最终目的都是使得系统在控制器作用下运行平稳。尤其是结构内部受到扰动的时候。
在现实生产生活中状态反馈的研究与使用更普遍，因为与输出反馈相比它更加灵敏，所以状态反馈可使得系统更快达到鲁棒稳定。前文已经说明，对于不同的系统需要收集的信号也是各不相同的。因此，在实际应用中，究竟是采用状态反馈还是输出反馈要视具体的情况而定。

5 基于MATLAB的系统仿真
5.1 MATLAB软件简介
MATLAB软件集各种优点于一身。它包括数据解析、矩阵运算、系统建模和系统的控制及优化等功能和应用程序。在现在的控制领域中，MATLAB软件在图像信号处理方面和生物医学领域中得到广泛的使用。MATLAB所使用的语言是一种高级语言，有不同的数据类型、运算符和控制语句可以使用。而且MATLAB所使用的编程方法不同于一般的编程方式，但其却更加高效和简洁。MATLAB和其它高级语言有关联。MATLAB通过相对应的接口和其他高级语言产生联系，由此可知，它成为了十分重要的应用于现实生产过程中的仿真工具[16]。因为MATLAB所具有的十分强大的数学计算功能，使得许多学者得以从复杂的计算里解放出来。本文中主要借助MATLAB中的矩阵算例计算功能模块，对设计好的目标进行如实精确的仿真。验证方法的正确性。
5.2 算例分析
为了对以上提出的反馈控制器方法进行验证，举如下的MATLAB算例进行验算。
选择作为状态变量，为输出变量。其系统状态方程为：
(5.1)
其中E为奇异矩阵，且矩阵E，A，B分别为，，。
5.2.1 状态反馈控制器仿真
设计一个状态反馈控制器，使闭环系统趋于稳定，而且给定的初始状态为：
(5.2)
仿真得出闭环系统的状态走势图。
通过执行以下M文件：
E=[4.57 0;0 0];
A=[0 10.39;-3.85 -20];B=[0 20]';
setlmis([]);
X=lmivar(1,[2 1]);
Y=lmivar(2,[1 2]);
Lmiterm([1 1 1 X],A,1,'s');
lmiterm([1 1 1 Y],B,1,'s');
lmiterm([1 2 2 X],-1,1);
lmis=getlmis;
[tmin,xfeas]=feasp(lmis,[0,0,10,0,0],-1)
x=dec2mat(lmis,xfeas,X)
y=dec2mat(lmis,xfeas,Y)
K=y*inv(x)
运行结果为：
Solver for LMI feasibility problems L(x) < R(x)
This solver minimizes t subject to L(x) < R(x) + t*I
The best value of t should be negative for feasibility
Iteration : Best value of t so far
1 -3.569685
Result: best value of t: -3.569685
f-radius saturation: 96.624% of R = 1.00e+001
tmin =
-3.5697
xfeas =
5.2060
-0.2540
5.0834
-1.8926
4.9019
x =
5.2060 -0.2540
-0.2540 5.0834
y =
-1.8926 4.9019