基于MATLAB矩阵实验室的倒立摆控制综合系统仿真.docx

基于MATLAB倒立摆控制系统仿真

摘 要

自动控制原理（包含经典部分和现代部分）是电气信息工程学院学生一门必修专业基础课，课程中部分概念相对比较抽象，如系统稳定性、可控性、收敛速度和抗干扰能力等。倒立摆系统是一个经典非线性、强耦合、多变量和不稳定系统，作为控制系统被控对象，它是一个理想教学试验设备，很多抽象控制概念全部能够经过倒立摆直观地表现出来。本文以一级倒立摆为被控对象，用经典控制理论设计控制器（PID控制器）设计方法和用现代控制理论设计控制器（极点配置）设计方法，经过MATLAB仿真软件方法来实现。

关键词： 一级倒立摆 PID控制器 极点配置

Inverted pendulum controlling system
simulation based on the MATLAB
ABSTRACT
Automatic control theory (including classical parts and modern parts) is a compulsory specialized fundamental course of the students majored in electrical engineering. Some of the curriculum concept is relatively abstract, such as the stability, controllability, convergence rate and the anti-interference ability of system. Inverted pendulum system is a typical nonlinear, strong coupling, multivariable and unstable system. It is an ideal teaching experimental equipment as a controlled object, by which many abstract control concepts can be came out directly. This paper chose first-order inverted pendulum as the controlled object. First, the PID controller was designed with classical control theory. Then pole-assignment method was discussed with modern control theory. At last, the effectness of the two methods was verified by MATLAB simulation software.

KEY WORDS: First-order inverted pendulum PID controller pole-assignment
目 录

摘 要 I
ABSTRACT II
1 绪论 1
1.1 倒立摆控制方法 1
1.2 MATLAB/Simulink介绍 2
1.3 关键内容 3
2 一级倒立摆 3
2.1 试验设备介绍 3
3 直线一级倒立摆数学模型 4
3.1 直线一级倒立摆数学模型推导 4
3.1.1 微分方程模型 6
3.1.2 传输函数模型 7
3.1.3 状态空间数学模型 8
3.2 系统阶跃响应分析 10
4 直线一级倒立摆PID控制器设计 14
4.1 PID控制分析 14
4.2 PID控制参数设定及MATLAB仿真 17
5 直线一级倒立摆状态空间极点配置控制器设计 20
5.1 状态空间分析 21
5.2 极点配置及MATLAB仿真 22
6 总结 26
致谢 27
参考文件 29

1 绪论
倒立摆起源于20世纪50年代，是一个经典非线性、高阶次、多变量、强耦合、不稳定动态系统，能有效地反应诸如稳定性、鲁棒性等很多控制中关键问题，是检验多种控制理论理想模型。很多被控对象全部能够抽象成为倒立摆模型，在很多领域有着广泛应用，如机器人，航天领域等。它不不过验证现代控制理论方法经典试验装置，而且其控制方法和思绪对处理通常工业过程亦有广泛用途。倒立摆常规控制算法如 LQR 在倒立摆控制中已被广泛采取，模糊控制作为一个智能控制方法，在一定程度上模拟了人控制，它不需要有正确控制对象模型，作为一个非线性智能控制方法，已在多变量、时变、非线性系统控制中发挥了关键作用。大家已利用多个控制策略实现了一至四级倒立摆系统稳定控制。对于倒立摆系统稳定控制，含相关键理论意义和关键工程实践意义。实际上,大家一直在试图寻求不一样控制方法来实现对倒立摆控制,方便检验或说明该方法对严重非线性和绝对不稳定系统控制能力。
1.1 倒立摆控制方法
（1） 线性理论控制方法
将倒立摆系统非线性模型进行近似线性化处理，取得系统在平衡点周围线性化模型，然后再利用多种线性系统控制器设计方法，得到期望控制器。PID 控制、状态反馈控制、LQR 控制算法是其经典代表。这类方法对于一、二级倒立摆（线性化误差较小、模型较简单）控制时，能够处理常规倒立摆稳定控制问题。但对于像非线性较强、模型较复杂多变量系统（三、四级和多级倒立摆）线性系统设计方法不足就十分显著，这就要求采取更有效方法来进行合理设计。
（2） 估计控制和变结构控制方法
因为线性控制理论和倒立摆系统多变量、非线性之间矛盾，使大家意识到针对多变量、非线性对象，采取含有非线性特征多变量控制处理多变量、非线性必由之路。大家前后开展了估计控制、变结构控制和自适应控制研究。
（3） 智能控制方法
在倒立摆系统中用到智能控制方法关键有神经网络控制、模糊控制、仿人智能控制、拟人智能控制和云模型控制等。
（4） 鲁棒控制方法
即使，现在对倒立摆系统控制策略有如此之多，而且有很多控制策略全部对倒立摆进行了稳定控制，但大多数全部没考虑倒立摆系统本身大量不确定原因和外界干扰，现在对不确定倒立摆系统鲁棒控制问题进行了研究并取得了一系列结果。
1.2 MATLAB/Simulink介绍
在科学研究和工程应用中，为了克服通常语言对大量数学运算，尤其当包含到矩阵运算时编制程序复杂、调试麻烦等困难，美国Math Works软件企业于1967年构思并开发了矩阵试验室（Matrix Laboratory ,MATLAB）软件包。经过不停更新和扩充，该企业于1984年推出MATLAB正式版，尤其是1992年推出含有跨时代意义MATLAB 4.0版，并于1993年推出其微机版，以配合当初日益流行Microsoft Windows操作系统。截止到，该企业前后推出了MATLAB 4.x、MATLAB 6.x，和MATLAB 7.x等版本，该软件应用范围越来越广。MATLAB以它“语言”化数值计算，强大矩阵处理及绘图功效，和灵活可扩充性和产业化开发思绪，很快就为自动控制界研究人员所瞩目。现在，在自动控制、图像处理、语言处理、信号分析、振动原理、优化设计、时序分析和系统建模等领域广泛应用。
1990年,Math Works软件企业为MATLAB提供了新控制系统图形化模型输入和仿真工具Simulink。Simulink是MATLAB最关键组件之一，它提供一个动态系统建模、仿真和综合分析集成环境。在该环境中，无需大量书写程序，而只需要经过简单直观鼠标操作，就可结构出复杂系统。Simulink含有适应面广、结构和步骤清楚及仿真精细、贴近实际、效率高、灵活等优点，并基于以上优点Simulink已被广泛应用于控制理论和数字信号处理复杂仿真和设计。同时有大量第三方软件和硬件可应用于或被要求应用于Simulink。
Simulink是MATLAB中一个可视化仿真工具，是一个基于MATLAB框图设计环境，是实现动态系统建模、仿真和分析一个软件包，被广泛应用于线性系统、非线性系统、数字控制及数字信号处理建模和仿真中。Simulink能够用连续采样时间、离散采样时间或两种混合采样时间进行建模，它也支持多速率系统，也就是系统中不一样部分含有不一样采样速率。为了创建动态系统模型，Simulink提供了一个建立模型方块图图形用户接口(GUI) ，这个创建过程只需单击和拖动鼠标操作就能完成，它提供了一个愈加快捷、直接明了方法，而且用户能够立即看到系统仿真结果。
Simulink&reg是用于动态系统和嵌入式系统多领域仿真和基于模型设计工具。对多种时变系统，包含通讯、控制、信号处理、视频处理和图像处理系统，Simulink提供了交互式图形化环境和可定制模块库来对其进行设计、仿真、实施和测试。
构架在Simulink基础之上其它产品扩展了Simulink多领域建模功效，也提供了用于设计、实施、验证和确定任务对应工具。Simulink和MATLAB&reg紧密集成，能够直接访问MATLAB大量工具来进行算法研发、仿真分析和可视化、批处理脚本创建、建模环境定制和信号参数和测试数据定义。
另外，模型输入和仿真环境Simulink更使MATLAB为控制系统仿真和在CAD中应用开辟了崭新局面，使MATLAB成为现在国际上最流行控制系统计算机辅助设计软件工具。MATLAB不仅流行于控制界，在生物医学工程、语言处理、图像信号处理、雷达工程、信号分析，和计算机技术等行业中也全部广泛应用。
1.3 关键内容
本文以一级倒立摆为被控对象，用古典控制理论设计控制器（PID控制器）设计方法和用现代控制理论设计控制器（极点配置）设计方法，包含三方面内容：
（1）建立直线一级倒立摆线性化数学模型；
（2）倒立摆系统PID控制器设计、MATLAB仿真；
（3）倒立摆系统状态空间极点配置控制器设计、MATLAB仿真。
2 一级倒立摆
2.1 试验设备介绍
一级倒立摆系统结构示意图图2-1所表示。

图2-1 一阶倒立摆结构示意图
系统组成框图图2-2所表示。

图2-2 一级倒立摆系统组成框图
系统是由计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分组成闭环系统。光电码盘1将小车位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆角度、角速度信号由光电码盘2反馈给运动控制卡。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决议（小车运动方向、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决议，产生对应控制量，使电机转动，经过皮带，带动小车运动，保持摆杆平衡。
3 直线一级倒立摆数学模型
3.1 直线一级倒立摆数学模型推导
采取牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统数学模型。
在忽略了空气阻力和多种摩擦以后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成系统，图 3-1 所表示。

图 3-1 直线一级倒立摆模型
本系统内部各相关参数定义以下：
小车质量
摆杆质量
小车摩擦系数
摆杆转动轴心到杆质心长度
摆杆惯量
加在小车上力
小车位置
摆杆和垂直向上方向夹角
摆杆和垂直向下方向夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）
图3-2是系统中小车和摆杆受力分析图。其中，和为小车和摆杆相互作用力水平和垂直方向分量。
注意：在实际倒立摆系统中检测和实施装置正负方向已经完全确定，所以矢量方向定义图，图示方向为矢量正方向。

图 3-2 小车及摆杆受力分析
应用Newton方法来建立系统动力学方程过程以下：
分析小车水平方向所受协力，能够得到以下方程：
(3-1)
由摆杆水平方向受力进行分析能够得到下面等式：
(3-2)

即：
(3-3)
把这个等式代入上式中，就得到系统第一个运动方程：
(3-4)
为了推出系统第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上协力进行分析，能够得到下面方程：
(3-5)

即：
(3-6)
力矩平衡方程以下：
(3-7)
注意：此方程中力矩方向，因为，所以等式前面有负号。
合并这两个方程，约去和，得到第二个运动方程：
(3-8)
3.1.1 微分方程模型
设，当摆杆和垂直向上方向之间夹角和1（单位是弧度）相比很小，即 时，则能够进行近似处理：，，。为了和控制理论表示习惯相统一，即通常表示控制量，用来代表被控对象输入力，线性化后得到该系统数学模型微分方程表示式：
(3-9)
3.1.2 传输函数模型
对方程组（2-9）进行拉普拉斯变换，得到:
(3-10)
注意：推导传输函数时假设初始条件为0。
因为输出为角度，求解方程组（3-10）第一个方程，能够得到:
(3-11)
或 :
(3-12)
假如令，则有：
(3-13)
把上式代入方程组（3-10）第二个方程，得到:
(3-14)
整理后得到以输入力为输入量，以摆杆摆角为输出量传输函数：
(3-15)
其中:

3.1.3 状态空间数学模型
由现代控制理论原理可知，控制系统状态空间方程可写成以下形式：
(3-16)
方程组(3-9)对解代数方程，得到以下解：
(3-17)
整理后得到系统状态空间方程：

(3-18)
由(3-9)第一个方程为：

对于质量均匀分布摆杆有：

于是能够得到：

化简得到：
(3-19)
设，，则有：

(3-20)

实际系统参数以下：
小车质量 1.096 Kg
摆杆质量 0.109 Kg
小车摩擦系数 0 .1N/m/sec
摆杆转动轴心到杆质心长度 0.25m
摆杆惯量 0.0034 kg*m*m
把上述参数代入，能够得到系统实际模型。
摆杆角度和小车位移传输函数：
(3-21)
摆杆角度和小车加速度之间传输函数为：
(3-22)
摆杆角度和小车所受外界作用力传输函数：
(3-23)
以外界作用力作为输入系统状态方程：

(3-24)
以小车加速度作为输入系统状态方程：

(3-25)
需要说明是，在本文控制器设计和程序中，采取全部是以小车加速度作为系统输入，假如需要采取力矩控制方法，能够参考以上把外界作用力作为输入各式。
3.2 系统阶跃响应分析
上面已经得到系统状态方程，先对其进行阶跃响应分析，在MATLAB中键入以下命令：
clear;
A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0];
B=[0 1 0 3]';
C=[1 0 0 0;0 1 0 0];
D=[0 0]';
step(A,B,C,D);
得到以下计算结果：

图 3-3 直线一级倒立摆单位阶跃响应仿真
能够看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度全部是发散。
倒立摆状态方程及开环阶跃响应也能够采取编写M文件仿真，仿真程序以下：
M = 1.906;
m = 0.109;
b = 0.1;
I = 0.0034;
g = 9.8;
l = 0.25;
p = I*(M+m)+M*m*l^2;
A = [0 1 0 0;
0 -(I+m*l^2)*b/p (m^2*g*l^2)/p 0;
0 0 0 1;
0 -(m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0]
B = [ 0;
(I+m*l^2)/p;
0;
m*l/p]
C = [1 0 0 0;
0 0 1 0]
D = [0;
0];
T = 0:0.05:5;
U = 0.2*ones(size(T));
[Y,X] = lsim(A,B,C,D,U,T);
plot(T,Y);
axis([0 2 0 100]);
grid;
运行后得到图仿真结果：

图 3-4 倒立摆状态方程及开环阶跃响应仿真结果
倒立摆传输函数、开环极点及开环脉冲响应也可采取编写M文件仿真，仿真程序以下：
M = 1.906;
m = 0.109;
b = 0.1;
I = 0.0034;
g = 9.8;
l = 0.25;
q = (M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2;
num = [m*l/q 0 0];
den = [1 b*(I+m*l^2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0];
[r,p,k] = residue(num,den);
s = p ;
t=0:0.005:5;
impulse(num,den,t);
axis([0 1 0 60]);
grid;
运行后得到图仿真结果：

图3-5倒立摆传输函数、开环极点及开环脉冲响应仿真结果

4 直线一级倒立摆PID控制器设计
4.1 PID控制分析
在模拟控制系统中，控制器最常见控制规律是PID控制。常规PID控制系统原理框图图4-1所表示。系统由模拟PID控制器KD(S)和被控对象G(S)组成。

图4-1 常规PID控制系统图
PID控制器是一个线性控制器，它依据给定值和实际输出值组成控制偏差：

将偏差百分比(P)、积分(I)和微分(D)经过线性组合组成控制量，对被控对象进行控制，故称PID控制器。其控制规律为：

或写成传输函数形式：

式中：——百分比系数；
——积分时间常数；
——微分时间常数。
在控制系统设计和仿真中，也将传输函数写成：

式中：——百分比系数；
——积分系数；
——微分系数。
简单说来，PID控制器各校正步骤作用以下：
（1）百分比步骤：成百分比地反应控制系统偏差信号，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以降低偏差。
（2）积分步骤：关键用于消除稳态误差，提升系统型别。积分作用强弱取决于积分时间常数，越大，积分作用越弱，反之则越强。
（3）微分步骤：反应偏差信号改变趋势（改变速率），并能在偏差信号值变得太大之前，在系统中引入一个有效早期修正信号，从而加紧系统动作速度，减小调整时间。
PID校正兼顾了系统稳态性能和动态性能改善，所以在要求较多场所，较多采取PID校正。因为PID校正使系统在低频段相位后移，而在中频段相位前移，所以又称它为相位滞后----超前校正。
这个控制问题和我们以前碰到标准控制问题有些不一样，在这里输出量为摆杆位置，它初始位置为垂直向上，我们给系统施加一个扰动，观察摆杆响应。系统框图图4-2所表示。

图4-2 直线一级倒立摆闭环系统图
图中是控制器传输函数，是被控对象传输函数。
考虑到输入，结构图能够很轻易地变换成图4-3系统简化图。

图4-3 直线一级倒立摆闭环系统简化图
该系统输出为：

其中：
——被控对象传输函数分子项
——被控对象传输函数分母项
——PID控制器传输函数分子项
——PID控制器传输函数分母项
经过分析上式就能够得到系统各项性能。
由式子(3-13)能够得到摆杆角度和小车加速度传输函数：

PID控制器传输函数为：

只需调整PID控制器参数，就能够得到满意控制效果。
前面讨论只考虑了摆杆角度，那么，在控制过程中，小车位置怎样改变呢？
小车位置输出为：

经过对控制量双重积分即能够得到小车位置。
4.2 PID控制参数设定及MATLAB仿真
对于PID控制参数，我们采取以下方法进行设定。
由实际系统物理模型：

在Simulink中建立图4-4所表示直线一级倒立摆模型：

图 4-4 直线一级倒立摆PID控制MATLAB仿真模型
先设置PID控制器为P控制器，令，，，得到图4-5仿真结果。

图 4-5 P控制仿真结果图（）
从图4-5中能够看出，控制曲线不收敛，所以增大控制量，令，，，得到图4-6仿真结果。

图 4-6 P控制仿真结果图（）
从图4-6中能够看出，闭环控制系统连续振荡，周期约为0.7s。为消除系统振荡，增加微分控制参数，令：，，得到图4-7仿真结果。

图4-7 PD控制仿真结果图（，）
从图4-7中能够看出，系统稳定时间过长，大约为4 秒，且在两个振荡周期后才能稳定，所以再增加微分控制参数，令：，，，仿真得到图4-8仿真结果。

图4-8 PD控制（，）
从图4-8能够看出，系统在1.5秒后达成平衡，不过存在一定稳态误差。为消除稳态误差，我们增加积分参数，令：，，，得到图4-9仿真结果。

图4-9 PID 控制（，，）
从上面仿真结果能够看出，系统能够很好稳定，但因为积分原因影响，稳定时间显著增大。
双击“Scope1”，得到小车位置输出曲线图4-10所表示。

图 4-10 PD控制（小车位置曲线）
能够看出，因为PID控制器为单输入单输出系统，所以只能控制摆杆角度，并不能控制小车位置，所以小车会往一个方向运动。
5 直线一级倒立摆状态空间极点配置控制器设计
经典控制理论研究对象关键是单输入单输出系统，现代控制理论将其概念扩展到多输入多输出系统。现代控制理论是一个“时域法”，它引入了“状态”概念，用“状态变量”及“状态方程”描述系统，从而理论上处理了系统可控性、可观察性及很多复杂问题控制问题。极点配置法经过设计状态反馈控制器将多变量系统闭环系统极点配置在期望位置上，从而使系统满足瞬态和稳态性能指标。
由经典控制理论可知，闭环系统性能和闭环极点亲密相关，用调整开环增益及引入串并、联校正装置来配置闭环极点，以改善系统性能。但因为经典控制是用传输函数来描述，它只能用输出量作为反馈量。而现代控制理论因为采取系统内部状态变量来描述系统物理特征，所以除了输出反馈外，还常常采取状态反馈，因为它能提供更多校正信息和可供选择自由度，所以使系统轻易取得更为优异性能。利用输出反馈极点配置方法，即使能够实现闭环传输函数极点配置，却可能出现不稳定极点对消现象。当采取状态空间表示式来描述系统时，因为状态向量反应系统全部内外部信息，假如控制器采取状态向量反馈实现系统极点配置，就能够避免上述问题，而且控制器是常数矩阵。状态反馈是将系统每一个状态变量乘以对应反馈系数，然后又反馈到输入端和参考输入相减形成控制规律，作为受控系统控制输入。
极点配置是经过选择一个状态反馈矩阵，使闭环系统极点处于期望位置上。在状态空间中，极点任意配置充足必需条件是系统必需是完全状态可控。极点配置方法以下所述：假如系统是完全可控，那么可选择期望设置极点，然后以这些极点作为闭环极点来设计系统，利用状态观察器反馈全部或部分状态变量，使全部闭环极点落在各期望位置上，以满足系统性能要求。这种设置期望闭环极点方法就称为极点配置法。
5.1 状态空间分析
状态反馈闭环控制系统原理图图5-1所表示。

图5-1 状态反馈闭环控制原理图
状态方程为：

式中：为状态向量（维），为控制向量（纯量），为维常数矩阵，为维常数矩阵。
选择控制信号：

求解上式，得到

闭环系统极点为A-BK特征值。控制系统任务，就是选择状态反馈向量K使闭环系统极点配置在要求位置，或为实数，或实部为负共轭复数。
方程解为：

能够看出，假如系统状态完全可控，选择合适，对于任意初始状态，当趋于无穷时，全部能够使趋于0。极点配置设计步骤：
(1) 检验系统可控性条件。
(2) 从矩阵特征多项式

来确定值。
(3) 确定使状态方程变为可控标准型变换矩阵：

其中为可控性矩阵，

(4) 利用所期望特征值，写出期望多项式

并确定值。
(5) 需要状态反馈增益矩阵由以下方程确定：

5.2 极点配置及MATLAB仿真
前面我们已经得到了直线一级倒立摆状态空间模型，以小车加速度作为输入系统状态方程为：

于是有：
，，，
对于如上所述系统，设计控制器，要求系统含有较短调整时间（约3秒）和适宜阻尼（阻尼比）。
极点配置步骤以下：
(1) 检验系统可控性
经计算，矩阵M逆存在，即rank M=4，故系统可控。
(2) 计算特征值
依据要求，并留有一定裕量（设调整时间为2秒），我们选择期望闭环极点，其中：

其中，是一对含有主导闭环极点，在主导闭环极点左边，所以其影响较小，所以期望特征方程为：

所以能够得到：

由系统特征方程：

所以有：

系统反馈增益矩阵为：

(3) 确定使状态方程变为可控标准型变换矩阵：

式中：

于是能够得到：

(4) 状态反馈增益矩阵为：

得到控制量为：

在MATLABSimulink环境下，能够搭建图5-2所表示状态反馈控制系统仿真模型。

图5-2直线一级倒立摆状态反馈控制MATLAB 仿真模型
在模块中设置A、B、C、D值，图5-3所表示。

图5-3 A、B、C、D 参数设置
依次打开Gain、Gain1、Gain2、Gain3模块设置K1、K2、K3、K4值。
运行仿真，得到结果见图5-4。

图5-4 直线一级倒立摆状态空间极点配置MATLAB/Simulink仿真结果
6 总结
直线一级倒立摆系统设计，使我掌握了用Matlab/simulink来进行系统设计仿真方法，并体会到了用Matlab/simulink进行控制器设计方便和快捷。另外对于控制系统设计有了初步认识，对自动控制理论相关知识有了更深入了解，学会通常系统建模方法和控制器设计方法。在PID参数整定时经过仿真能够很好观察到PID控制器参数改变对系统影响，对百分比，积分，微分对控制系统作用有了更直观认识，学会了PID参数整定方法,并学会用状态空间极点配置法设计直线倒立摆系统控制器。

致谢

参考文件

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