微分方程在经济中的应用-数学与应用数学本科毕业论文.doc

xx学院本科毕业论文（设计）题目： 微分方程在经济中的应用院（系）理学院专 业数学与应用数学年 级 级姓 名xx学 号 指导教师xx职 称副教授2016年05月03日 目 录摘要.1ABSTRACT.2第一章 微分方程的基本理论.3 1.1微分方程的概念.3 1.2微分方程的解.4第二章 微分方程的经济模型.8 2.1 经济增长模型.8 2.2供需均衡的价格调整模型 . 9 2.3索洛新古典经济增长模型.10 2.4公司资产函数模型.11 2.5新产品的推广模型.12 2.6人才分配模型.13 2.7价格调整模型.14第三章 微分方程在经济中的应用举例.16 3.1商品的需求量(供应量)问题.16 3.2产量、收入、成本及利润问题.18 3.3国民收入问题.20 3.4国民债务问题 .21 3.5流动的收入、消费和投资问题.21 3.6商品存储过程中的腐败问题.22 3.7汽车中的经济问题.22参考文献.25后记.26xxx学院本科毕业论文(设计) 摘 要本文首先把微分方程的基本理论进行了概述，通过对微分方程概念和解的介绍，给下文的微分方程在经济中的应用做了很好的铺垫，在介绍微分方程基本理论的基础上，介绍了微分方程的七种经济模型，并通过对经济模型的求解，解释了相应经济量的意义或规律，结合具体的社会经济实际意义进行了分析和推断。把微分方程应用到社会经济领域中，列举了微分方程在经济中的七个方面的应用。关键词: 微分方程；数学模型；经济增长；应用举例； ABSTRACT In this paper,the basic theory of differential equations are summarized .Based on the differential equations to introduce the concept of reconciliation .Application to differential equation below in the economy have made the very good upholstery.After introducing the basic concepts ,seven kinds of mathematical economic models are also presented.To explain the economic quantity corresponding meaning or laws through the solution. then explaining and counting the differential equations.analysis and deduce the concrete reality meaning of social economy.Then the differential equation is applied to the field of social economy and the seven aspects in the economy of the differential equation. Key words:Differential equation;Mathematic model;Economic growth;Examples of application 第一章 微分方程的基本理论微分方程是伴随着微积分发展起来的，微积分是它的本体，生产生活实践是它的源泉。300年来，微分方程诞生于数学与自然科学进行崭新结合的16、17世纪，成长于生产实践和数学的发展进程，表现出强大的生命力和活力，蕴含着丰富的数学思想方法。微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。随着社会的发展，数学与经济学相互促进共同发展已被越来越多的人认识和接受。作为高等数学基础内容之一的微分学，它在经济领域中的应用日益广泛，也是经济工作者和决策者进行实践和研究的重要工具之一。1、1 微分方程的概念 什么是微分方程？在经济应用中能用到哪些关于微分方程的知识？早在一百多年前，马克思就研究了这些问题，那么现在我们是怎样给它定义的呢？ 定义1 含有未知函数的导数（或微分）的方程叫做微分方程 定义2 未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程；未知函数是多元 函数，从而出现多元函数的偏导数的方程，叫做偏微分方程。如 就是偏微分方程。 定义3 微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数叫做微分方程的阶。 定义4 若一个微分方程的阶为，则称这个微分方程为阶微分方程。如 是一阶微分方程，是二阶微分方程。 定义5 如果将一个函数代入微分方程后能使方程两端恒等，则称此函数为 微分方程的解。 定义6 求微分方程解的过程，叫做解微分方程。 若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称为通解。当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，这是微分方程的特解。例如是的通解，又如（是任意常数）是的通解，而都是的特解。通常，特解都是由给定的条件代入通解，确定出任意常数的特定值后得到的，这里用来确定特解的条件，叫做初始条件。 一般地，一阶微分方程的初始条件为：；二阶微分方程的初始条件为： 对于形如的微分方程，只要通过逐次积分（次），便可得到通解 例1 求微分方程的通解. 解 将所给方程两边积分一次，得 两边再积分，得 第三次积分，得 因此所求的微分方程的通解为 1、2 微分方程的解微分方程通过结构的不同，大致可以分为以下几类：可分离变量微分方程齐次型微分方程一阶微分方程一阶线性齐次微分方程一阶线性微分方程一阶线性非齐次微分方程微分方程二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程根据经济中所涉及到的微分方程，我们可以给出微分方程不同的解法。 可分离变量微分方程 如果一个一阶微分方程能写成的形式，那么原方程就称为可分离变量微分方程。 称为变量已分离方程。例如是可分离变 量方程。 设，则方程可写成变量已分离的方程，若函数与连续，则两边分别对和积分，得，就为变量可分离方程的通解，其中为任意常数。 齐次微分方程 如果一阶微分方程可写成的形式，则称原方程为齐次微分方程。例如是齐次方程。 引入新的变换，即就可将齐次方程化为变量可分离方程，因为，所以分离变量，得于是得到，将变量还原，便可得原方程的通解。一阶线性微分方程形如的方程称为一阶线性方程。如果，则方程称为一阶线性齐次方程，否则方程称为一阶线性非齐次方程。例如是一阶线性齐次方程。 是一阶线性非齐次方程。 对于一阶线性齐次微分方程 方程是变量可分离的方程，其通解为其中为任意常数。 对于一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程是齐次方程的一般情况，我们 可以设想线性非齐次微分方程有形如的解，但其中为的待定函数，将与代入方程 并整理得，两端积分，得。于是,一阶线性非齐次微分方程的通解为 。二阶常系数线性微分方程 形如其中和为常数，这样的方程称为二阶常系数线性微分方程。 如果，则上述方程称为二阶常系数线性齐次微分方程，否则方程称为二阶常系数线性非齐次微分方程。例如 是二阶常系数线性齐次微分方程； 是二阶常系数线性非齐次微分方程。 求二阶常系数线性齐次微分方程的通解的步骤为：第一步：写出微分方程的特征方程；第二步：求出特征方程的两个根；第三步：据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解。 二阶常系数线性非齐次微分方程的通解是对应的齐次方程的通解与非齐次方程本身的一个特解之和： 。 第二章 微分方程的经济模型 当今社会，随着经济的全球化和世界金融市场的不断发展，各国已经意识到经济在腾飞中所产生的问题的严重性。英国石油公司曾经在墨西哥湾的原油泄漏，导致附近海域的生态直线下降。曾经美国出台的第二轮量化宽松的货币政策引来各国的一直声讨。再比如以前中国股市的疯狂。事实证明各种经济问题的处理，或者决策的产生，都越来越离不开一种工具数学经济模型。微分方程在经济学中有着广泛的应用，有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型，即以所研究的经济量为未知函数，时间为自变量的微分方程模型，然后求解微分方程，通过求得的解来解释相应的经济量的意义或规律，最后作出预测或决策，下面介绍微分方程在经济学中的几个简单模型。2、1 经济增长模型 国民收入通常分为消费和储蓄两部分，储蓄用于投资，可以增加生产，生产增加后消费、储蓄增加，又可以反过来促进生产,我们记国民收入为 (产出),消费为, 储蓄为, 为边际资本产出比 (即单位边际产出所需资本)；为边际储蓄倾向(单位产出产生的储蓄)；为边际消费倾向(单位产出用于消费的量)；由此我们可以做出基本假设： 产出增长率与资本投入成正比；储蓄全部用于投资； 消费、储蓄比例不变； 产出增长速度与储蓄成正比。 由假设就可以建立模型： 根据假设,代入前式得微分方程这样求出方程的解为：2、2 供需均衡的价格调整模型 设某种商品，它的价格主要由供求关系决定，设供给量与需求均是依赖价格的线性函数当供求平衡时，平衡价格显然当供大于求即时，则价格下降；当求大于供即时，则价格上升。现若价格是时间的函数，在时间时，价格的变化率与此时刻的过剩需求量成正比，即其中为大于的常数，试求价格与时间的函数关系。(设初始价格) 由已知 即 即 其通解为 这里由代入上式，得固所求价格与时间的函数关系为显然当，即价格趋于平衡价格。2、3 索洛新古典经济增长模型 假设储蓄全部转化为投资，即储蓄-投资转化率假设为，投资的规模收益是常数；该模型修正了哈罗德-多马模型的生产技术假设，采用了资本和劳动可替代的新古典科布-道格拉斯生产函数。 设为时刻的国民收入，为时刻的资本存量，为时刻的劳动力，索洛曾提出如下的经济增长模型：其中为储蓄率，为劳动力增长率，为初始劳动力 为和的一次齐次函数，称为生产函数。由的前两式，可得令称为资本劳动力比，表示单位劳动力平均占有的资本将代入上式并利用可得 为了求出方程的解，需给出生产函数的具体形式。为此下面取生产函数柯布道格拉斯生产函数，即设其中均为常数易知将其代入得2、4 公司资产函数模型 某公司年净资产有(百万元), 并且资产本身以每年的速度连续增长, 同时该公司每年要以百万元的数额连续支付职工工资。 给出描述净资产的微分方程； 求解方程, 这时假设初始净资产为； 讨论在三种情况下, 变化特点。 利用平衡法，即由净资产增长速度资产本身增长速度职工工资 支付速度 得到所求微分方程 分离变量，得 两边积分，得 为正常数），于是 或 将代入，得方程通解： 上式推导过程中当时，知 通常称为平衡解，仍包含在通解表达式中。 由通解表达式可知，当百万元时，净资产额单调递减，公司 将在第36年破产；当百万元时，公司将收支平衡，将资产 保持在600百万元不变；当百万元时，公司净资产将按指数 不断增大。2、5 新产品的推广模型 设有某种新产品要推向市场, 时刻的销量为由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, 时刻产品销售的增长率与成正比, 同时, 考虑到产品销售存在一定的市场容量, 统计表明与尚未购买该产品的潜在顾客的数量也成正比, 于是有其中k为比例系数. 分离变量积分, 可以解得由当时, 则有即销量单调增加。当时, 当时, 当时, 即当销量达到最大需求量N的一半时, 产品最为畅销, 当销量不足N一半时, 销售速度不断增大, 当销量超过一半时, 销售速度逐渐减少。 国内外许多经济学家调查表明。许多产品的销售曲线与公式的曲线(逻辑斯谛曲线)十分接近。根据对曲线性状的分析, 许多分析家认为, 在新产品推出的初期, 应采用小批量生产并加强广告宣传, 而在产品用户达到到期间, 产品应大批量生产； 在产品用户超过时, 应适时转产, 可以达到最大的经济效益。2、6 人才分配模型 每年大学毕业生中都要有一定比例的人员留在学校充实教师队伍, 其余人员将分配到其他部门从事经济和管理工作。 设年教师人数为科学技术和管理人员数目为又设位教员每年平均培养个毕业生, 每年在教育、科技和经济管理岗位退休、死亡或调出人员的比率为表示每年大学毕业生中从事教师职业所占比率于是有方程 方程有通解 若设则于是得特解 将代入方程变为 求解方程得通解 若设则于是得特解 式和式分别表示在初始人数分别为情况, 对应于的取值, 在年教师队伍的人数和科技、经济管理人员人数。从结果看出, 如果取即毕业生全部留在教育界, 则当时, 由于必有而说明教师队伍将迅速增加。而科技和经济管理队伍不断萎缩, 势必要影响经济发展, 反过来也会影响教育的发展。如果将接近于零，则同时也导致说明如果不保证适当比例的毕业生充实教师选择好比率, 将关系到两支队伍的建设, 以及整个国民经济建设的大局。2、7 价格调整模型如果设某商品在时刻的售价为, 社会对该商品的需求量和供给量分别是的函数则在时刻的价格对于时间的变化率可认为与该商品在同时刻的超额需求量成正比, 即有微分方程 在和确定情况下, 可解出价格与的函数关系，这就是商品的价格调整模型。假设, 某种商品的价格变化主要服从市场供求关系。一般情况下,商品供给量是价格的单调递增函数, 商品需求量是价格的单调递减函数, 为简单起见, 分别设该商品的供给函数与需求函数分别为 其中均为常数, 且当供给量与需求量相等时, 由可得供求平衡时的价格并称为均衡价格。一般地说, 当某种商品供不应求, 即时, 该商品价格要涨, 当供大于求, 即时, 该商品价格要落。因此, 假设时刻的价格的变化率与超额需求量成正比, 于是有方程其中用来反映价格的调整速度。将代入方程, 可得 其中常数方程的通解为假设初始价格代入上式, 得于是上述价格调整模型的解为由于知, 时, 说明随着时间不断推延, 实际价格将逐渐趋近均衡价格。第三章 微分方程在经济中的应用举例 利用微分方程可以分析商品的市场价格与需求量(供给量)之间的函数关系，预测可再生资源的产量、预测商品的销售量、分析关于国民收入、储蓄与投资的关系等问题。商品供求状况的变化与价格的变动是互相影响、互相制约的。商品价格与供给成反比，供给增加，价格下降；供给减少，价格上升。商品价格与需求成正比，需求增加，价格上升；需求减少，价格下降。在其他因素不变的条件下，供给和需求的任何变化，都可能影响商品价格变化，一方面，商品价格的变化受供给和需求变动的影响：另一方面，商品价格的变化又反过来对供给和需求产生影响：价格上升，供给增加，需求减少；价格下降。供给减少，需求增加。这种供求与价格互相影响、互为因果的关系，使商品供求分析更加复杂化，即不仅要考虑供求变动对价格的影响，还要考虑价格变化对供求的反作用。3、1 商品的需求量(供应量)问题例1 某商品的需求量对价格的弹性为。若该商品的最大需求量为1200(即时，)(的单位为元，的单位为公斤)试求需求量与价格的函数关系，并求当价格为1元时市场上对该商品的需求量。解 由已知 即 分离变量解此微分方程 两边积分得 再由得 当价格为元时，市场上对该产品的需求量为（公斤） 例2在商品销售预测中，时刻的销售量用表示，如果商品销售的增长速率正比于销售量及与销售接近饱和水平的程度之乘积(饱和水平)求销售量函数。 解 据题意，可建立微分方程 其中为比例因子 分离变量： 为任意常数，从而可得通解为 例3 设消费者的需求量为，消费者的收入为，则需求量对消费者的收入的弹性为 于是有，称为平均弹性，则 若平均弹性为定常数，解此微分方程得若弹性函数为定常数，则有解此微分方程得如某地区研究消费需求量时，发现在价格稳定的条件下，需求量只与消费者的个人收入有关，经测算：消费需求增长率对消费者个人收入增长率之比的平均弹性为，且当消费者收入为时，消费需求量，求消费需求量与个人收入之间的函数关系，并求消费者个人收入为时得消费需求量。解 由 有 由时，有： 即需求量与个人收入的函数关系为： 当时， 即当消费者个人收入为时，消费需求约为3、2 产量、收入、成本及利润问题 例4 在某池塘内养鱼，由于条件限制最多只能养条。在时刻的鱼数是时间的函数，其变化率与鱼数和的乘积成正比。现已知池塘内放养鱼条，个月后池塘内有鱼条，求月后池塘内鱼数的公式.问个月后池塘中有鱼多少？ 解 由已知得 解此微分方程 将代入得 解得 即月后鱼数与函数的时间关系为 即 当放养个月后鱼塘中鱼数（条） 例5 已知某厂的纯利润对广告费的变化率与常数和纯利润之差成正比，当时。试求纯利润与广告费之间的关系。解 由题意列出方程 分离变量 ，两边积分（其中） 由初始条件解得 所以纯利润与广告费的函数关系为 例6 某商场销售成本和存储费用均是时间的函数，随时间的增长,销售成本的变化率等于存储费用的倒数与常数的和；而存储费用的变化率为存储费用的若当时，销售成本，存储费用。试求销售成本与时间的函数关系及存储费用与时间的函数关系。解 由已知 由解得由时解出 于是存储费用与时间的函数为 将上式代入方程得 解此方程得 由时解出 即销售成本与时间的函数关系为3、3 国民收入问题 例7 在宏观经济研究中，发现某地区的国民收入，国民储蓄和投资均是时间的函数。且储蓄额为国民收入的(在时刻)，投资额为国民收入增长率的。若当时，国民收入为(亿元)，试求国民收入函数(假定在时刻储蓄额全部用于投资)。解 由已知当有 解此微分方程得由时得 即国民函数为 而储蓄函数和投资函数为3、4 国民债务问题 例8 某地区在一个已知的时期内国民收入的增长率为，国民债务的增长率为国民收入的，若时，国民收入为(亿元)，国民债务为(亿元)，试求国民收入及国民债务与时间的函数关系。解 由已知得 所以得国民收入函数 由时得 于是国民收入函数为 又由已知 解此方程得 由时得 固国民债务函数为 3、5 流动的收入、消费和投资问题 例9 某地区考察消费-投资-收入的关系时，得知消费、投资均是收入的线性函数，而收入对时间的变化率正比于过度需求。若分别表示在时刻时，消费、投资、收入与它们各自均衡值的偏差。若由统计资料分析得知，当时，(亿元)。若此地区流动收入的均衡值亿元),试求流动收入函数。解 且 于是流动函数为 此题中，若时，则流动收入（亿元）时，则流动收入（亿元） 显然当时，流动收入（亿元） （这里取）3、6 商品存储过程中的腐败问题 例10 设在冷库中存储的某蔬菜有(吨)，已发现其中有些开始腐败，其腐败率为未腐败的倍()，设腐败的数量为(吨)，则显然它是时间的函数，试求此函数。解 由 解此微分方程得 即 时，代入得 所以腐败数量与时间的关系为3、7 汽车中的经济问题 例11某汽车公司在长期运营中发现每辆汽车的总维修成本随汽车大修的时间间隔的变化率等于总维修成本的倍与大修的时间间隔之比减去常数与大修时间间隔的平方之比。已知当大修时间间隔(年)时，总维修成本(百元)。试求每辆汽车的总维修成本与大修的时间间隔的函数关系，并问每辆汽车多少年大修一次，可使每辆汽车的总维修成本最低？解 由已知 改写为 代入通解公式 即 又由时，解出 即总维修成本与大修的时间间隔的函数关系为 令，解得 因，固时，有最小值 即每辆汽车年大修一次可使总维修成本最低。 例12 某汽车公司的小汽车运行成本及小汽车的转卖值均是时间的函数。若随时间的增长，小汽车的运行成本的变化率及转卖值的变化率分别为。已知时，而转卖值(万元/辆)。试求小汽车的运行成本及转卖值各自与时间的关系。解 由已知 解微分方程得 ，由时，得 所以汽车转卖值与时间的函数关系为 将此式代入方程得 解此方程得 由时得 即汽车运行成本与时间的函数关系为综上所述，对于一个企业经营者来说，对经济环节进行定量分析是十分必要的，数学是一个有力的定量分析工具，可以提供客观、精确的数据；可以给策划者提供准确而且正确的思路去进行经济活动，这也是数学应用性的具体体现。微分方程导致了微观经济学的形成。各种微分方法以个体经济活动为出发点，以需求、供给为重心，强调主观心理评价，导致了以“个量分析”为特征，以市场和价格机制为研究中心的微观经济学的诞生。探索消费者如何得到最大满足，生产者如何得到最大利润，生产资源如何得到最优分配的规律。微分方程的运用使西方经济学研究重心发生了转变。由原来带有一定“社会性、历史性”意义的政治经济学转为纯粹研究如何抉择把有限的稀缺资源分配给无限而又有竞争性的用途上，以有效利用。参考文献 1、王克 常微分方程学习指导书 高等教育出版社 2007. 2、王高雄 常微分方程（第三版） 高等教育出版社 2006. 3、周誓达 微积分（经济类与管理类） 中国人民大学出版社 2008. 4、贾明斌 经济应用数学 北京大学出版社 2007. 5、章学诚、刘丁垣 微积分（经济管理类） 武汉大学出版社 2007. 6、丁崇文 常微分方程与解答 厦门大学出版社 2005.后 记 在这里我衷心的感谢数学系所有的老师，感谢你们在大学四年里给予我的帮助，特别感谢x老师在我毕业论文撰写过程中给予的孜孜不倦的指导。 在写论文的过程中，通过和老师在微分方程概念、解法、模型和例题方面的探讨，使我加深了对微分方程的理解，也使我能以更高的观点来认识微分方程。我还要感谢在最后论文排版的时候给予我帮助的同学们，正是由于你们的帮助，我才能顺利地完成论文的最后收尾工作。 最后，再次对帮助我的老师和同学表示衷心地感谢！26