几何公理系统与中学几何省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第一章几何公理系统与中学几何相关问题1 几何学发展简史2 欧几里得几何原本3 希尔伯特公理体系4 我国中学几何教材逻辑结构以 及教材改革基本精神5中学几何教学基本要求第1页假如我们要预见数学未来，适当路径是研究这门科学历史和现实状况。彭加莱第2页1.1古代几何学简史相传古代埃及尼罗河经常泛滥,两岸田亩地界尽被淹没,事后必须设法进行测量,以重新确定田亩地界.在这个实际需要中,测量土地方法自然应运而生,听说西方几何学就是起源于这种测地术,“几何”最早是“多少”之意，用（Geometry）表示，Geo代表土地，metry是测量意思。古埃及第3页巴比伦泥板书最先使用度量制几何侧重计算，几何性质和公式都是靠观察和总结得出。第4页中国勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”赵爽周髀算经和秦九韶九章算术证实方法叙述为：“按弦图，又能够勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”第5页祖冲之圆周率准确到七位小数第一人第6页墨子平行线（面）、中心、正方形、圆（球）“平，同高也”“中，同长也”“圆，一中，同长也”“方，柱隅四灌也”第7页古希腊泰勒斯爱奥尼亚学派最先开始几何证实第8页第9页毕达哥拉斯毕达哥拉斯定理给出了两直角边和斜边整数表示式算术和几何紧密联络起来第10页第11页第12页第13页第14页第15页柏拉图几何建立在逻辑基础上，坚持准确定义，清楚假设，和逻辑证实不懂几何学不得入内第16页欧几里得几何原本第17页世界第一次目睹了一个逻辑体系奇迹，这个逻辑体系如此精密地一步一步推进，以致它每一个命题都是绝对不容置疑我这里说就是欧几里得几何，推理这种可赞叹胜利，使人类理智取得了为取得以后成就所必需信心。爱因斯坦第18页对于职业数学家，这本书经常有着一个不可逃避诱惑力，而它逻辑结构，大约比世界上任何其它著作更大地影响了科学思想。原本仅次于圣经，大约成为西方世界历史中翻版和研究最广书。T.斯威克第19页第一时期是几何作为数学萌芽时期，从人类积累生产、生活经验到大约公元前五世纪止。（试验几何形成和发展）特点：几何主要是经验事实积累和初步整理，如丈量土地、测量容器，形成了一批粗略概念，反应了一些经验事实之间联络，形成了试验几何。我国古代、古埃及、古印度等研究几何大致就是试验几何学内容。1.2.几何学发展几个阶段第20页第二个时期，几何成为数学独立学科，希腊几何传遍世界各地，从公元前3世纪到十七世纪以前。（理论几何形成）特点：公元前3世纪，古希腊柏拉图学派欧几里得几何原本问世，标志着理论几何形成。从公元6世纪开始，古希腊学者在丰富经验材料基础上，比较重视在形式、逻辑体系下去揭示几何事实之间存在联络，但还没有真正做到公理化，仍需要凭直观和默认。第21页第三个时期是因资本主义萌芽促成欧洲文艺复兴而引发了几何学重新繁荣。从十七世纪到十九世纪初。（解析几何产生和发展）标志：1637年法国数学家笛卡尔引进坐标处理几何问题，产生了解析几何以及以后微分几何。第22页第四个时期是从罗巴切夫斯基建立了第一个非欧几何开始。（当代几何发展）1893年，在喀山大学树立起了世界上第一个为数学家雕塑塑像。这位数学家就是俄国伟大学者、非欧几何主要创始人罗巴切夫期基。罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基（，英文串法Lobachevsky/Lobachevskii）（1792年12月1日1856年2月24日），俄罗斯数学家，非欧几何早期发觉人之一。第23页1826年2月23日，罗巴切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上，宣读了他第一篇关于非欧几何论文：几何学原理及平行线定理严格证实摘要。这篇首创性论文问世，标志着非欧几何诞生。第24页历史是最公允，因为它终将会对各种思想、观点和看法作出正确评价。1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文非欧几何解释尝试，证实非欧几何能够在欧氏空间曲面上实现。这就是说，非欧几何命题能够“翻译”成对应欧氏几何命题，假如欧氏几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。第25页几何学变成研究各种不一样空间（欧氏空间、罗几何学变成研究各种不一样空间（欧氏空间、罗氏空间、黎氏空间、仿射空间、射影空间、氏空间、黎氏空间、仿射空间、射影空间、）以及这个别空间图形数学理论总体。在认识到空以及这个别空间图形数学理论总体。在认识到空间概念多样化同时，感到欧几里得建立他几何学间概念多样化同时，感到欧几里得建立他几何学基础远远不够完善，新兴了一门几何分支即初等基础远远不够完善，新兴了一门几何分支即初等几何基础。射影几何、微分几何、几何基础成了几何基础。射影几何、微分几何、几何基础成了十九世纪几何方面大放光芒三大分支。十九世纪几何方面大放光芒三大分支。18991899年希年希尔伯特发表了集大成名著几何基础，成为欧尔伯特发表了集大成名著几何基础，成为欧几里得完善公理法结构。几里得完善公理法结构。第26页小 故 事v卡尔.弗里德里希.高斯德国数学家、物理学家和天文学家。“欧洲数学之王”第27页2.1几何原本内容原本共分十五卷，内容以下：第一卷讨论三角形相等条件、三角形边角关系、垂线、平行线理论、平行四边形、三角形与多边形等积条件、勾股定理等，共48个命题。第二卷讨论线段计算（包含黄金分割）、面积变换、用几何法解代数问题，共14个命题。第28页第三卷讨论圆周角、圆心角、圆切线、割线、圆幂定理等，共37个命题。第四卷讨论圆内接、外切多边形和正五边形、正六边形、正十五边形作图，共16个命题。第六卷讨论相同多边形理论，共33个命题。第29页第十一卷立体几何、直线与平面、平行六面体体积第十二卷穷竭法、证实圆面积之比等于其直径平方比，柱，锥、台、球体积第十三卷正多面体第十四卷资料（95个问题）第十五卷图形分割第30页为了了解原本逻辑结构，下面专门讨论第一卷结构，它是全书逻辑推理基础。原本第一卷给出了23个定义、5个公设和5个公理。第31页定 义 （1）点是没有部分；（2）线是有长度而没有宽度；（3）线界限是点；（4）直线是这么线，它对于在它上面全部各个点都有一样位置；（5）面有长度和宽度；（6）面界限是线；（7）平面是这么面，它对于其上全部直线有一样位置；第32页（8）平面上角是在一个平面上两条相交直线相互倾斜度；（9）当形成一角两线是一直线时候，这个角叫做平角；（10）（22）是关于直角和垂线、钝角和锐角、圆、圆中心、直线形、三角形、四边形、等边三角形、等腰三角形、不等边三角形、正方形、直角三角形、菱形等定义；（23）平行直线是在同一平面上而且尽管向两侧延长也决不相交直线。第33页公设 （1）从每个点到另一点能够引直线；（2）每条直线都能够无限延长；（3）以任意点为中心，可用任意长为半径作一圆；（4）全部直角都相等；（5）同平面内两条直线与第三条直线相交，若其中一侧相交两个内角之和小于两直角，则该两直线必在这一侧相交。（欧氏第五公设）第34页公设：是一个假设事项，从其结果是否符合实际，检验是否为真，只适合用于几何。公理：适合用于一切科学真理，是人们明白无疑公共观念。第35页公 理（1）等于同一个量量相等；（2）等量加等量，其和相等；（3）等量减等量，其差相等；（4）能重合量相等；（5）全体大于部分。第36页从上能够看出原本第一卷就是在23个定义，5个公设，5个公理基础上，按公理化手法，以一定逻辑体系建立起来，由此，推导出平面几何和立体几何全部内容。第37页2.2原本评述（1）首先尝试利用公理化手法建立几何学。第38页（2）关于定义方面，欧几里得试图对一切概念都给与定义，但这是不可能。如在第一卷里点、线、面、直线、平面都加以定义，这些定义却用了一些未经定义概念“部分”、“长度”、“宽度”、“界限”、“一样位置”等等，意义含糊不清，缺乏逻辑性第39页（3）原本最大缺点是公理、公设不完备，缺乏“次序性”公理，如“直线上一点在另外两点之间”、“在直线同侧两点”、“在三角形内一点”等，只能凭借直观了解。缺乏“运动”公理，如“把一个三角形叠合到另一个三角形上去”默认图形经过移动后大小、形状不变。缺乏“连续性”公理，默认直线与圆，圆与圆相交一定有两个交点。（4）第五公设表述罗嗦，不够显然。第40页第五公设问题第41页罗氏几何第42页黎曼几何第43页思索题：思索题：l有些人说，埃及人研究几何只相当于“一个粗糙木匠”，而希腊人则是几何学“建筑大师”。你对这句话怎样了解？l非欧几何产生对你有什么启示？第44页3.1近代公理法产生19世纪末期(1899)，希尔伯特，几何基础，希氏公理系统是其后一切公理化榜样，它出版标志着数学公理化时期到来。-希氏公理系统是其后一切公理化榜样，它出版标志着数学公理化时期到来。第45页3.2希尔伯特公理系统1.希尔伯特与欧几里得在建立几何学基础不一样首先列出不定义基本概念：点、直线、平面，把这三种对象堪称几何学中“基本对象”只认可其存在。第46页提出了三个“基本关系”，即要求点、直线、平面相互间存在三种基本关系：结合关系、次序关系、协议关系。提出基本对象和基本关系满足五组公理，即结合公理、次序公理、协议公理、连续公理、平行公理。据这五组公理就可推导出平面几何和立体几何全部内容。第47页点在直线上点在平面上一点介于两点之间希尔伯特公理系统元词元名元谊点直线平面结合关系协议关系次序关系线段协议角协议公理 结合公理（8条）次序公理（4条）协议公理（5条）连续公理（2条）平行公理（1条）第48页认识公理法思想v公理法：用公理系统定义几何学基本对公理法：用公理系统定义几何学基本对象及其关系研究方法称为数学中象及其关系研究方法称为数学中“公理公理法法”。v实质是实质是，从一些，从一些不定义术语不定义术语出发，这些出发，这些术语性质由术语性质由公理公理要求；工作目标是导出要求；工作目标是导出这些公理这些公理推论推论。第49页v作用：利用公理法思想研究几何，几何空间作用：利用公理法思想研究几何，几何空间就被认为是基本对象所成集合，对象之间只就被认为是基本对象所成集合，对象之间只须满足公理所要求关系。须满足公理所要求关系。v一切符合公理系统对象都能组成几何学，几一切符合公理系统对象都能组成几何学，几何图形只不过是几何学一个直观形象，每一何图形只不过是几何学一个直观形象，每一个几何学直观形象不是只有一个，可能有没个几何学直观形象不是只有一个，可能有没有穷多个。有穷多个。第50页2.希尔伯特公理系统要求：用大写字母A、B、C等表示点，小写a、b、c表示直线，用字母 表示平面。第51页2.1结合公理1 1对于任意两个不一样点，恒有一条直线经过其中每个点对于任意两个不一样点，恒有一条直线经过其中每个点2 2对于任意两个不一样点，至多有一条直线经过其中每一个点对于任意两个不一样点，至多有一条直线经过其中每一个点3.13.1每条直线上最少有两个点；每条直线上最少有两个点；3.23.2最少有三个点不在同一直线上最少有三个点不在同一直线上4.14.1对于不共线三点，恒有一个平面经过其中每个点对于不共线三点，恒有一个平面经过其中每个点4.24.2每个平面上最少有一个点每个平面上最少有一个点5 5对于不共线三点，至多有一个平面经过其中每个点对于不共线三点，至多有一个平面经过其中每个点6 6假如直线假如直线a a两个点在平面两个点在平面上，则上，则a a每个点都在每个点都在上上7 7假如两个平面有一个公共点，则最少还有另一个公共点假如两个平面有一个公共点，则最少还有另一个公共点8 8最少有四个点不在同一个平面上最少有四个点不在同一个平面上第52页v确保了基本概念点、直线、平面存在。确保了基本概念点、直线、平面存在。v其中其中3.23.2和和8 8确保了点存在；确保了点存在；1 1 和和3.23.2确保了直线存在；确保了直线存在；3.2 3.2 和和4.14.1确保了平确保了平面存在。面存在。3.1 3.1 4.14.1，4.24.2，7 7等都是说等都是说明在怎样条件下存在什么，称之为明在怎样条件下存在什么，称之为“条件条件存在公理存在公理”。v公理公理2 2，5 5，6 6不包括存在问题。不包括存在问题。v各条公理作用：第53页v结合公理刻划了点、直线、平面间结合关结合公理刻划了点、直线、平面间结合关系。系。1 1 3 3属于点和直线结合关系，称为属于点和直线结合关系，称为平面结合公理，平面结合公理，4 4 8 8称为空间结合公理。称为空间结合公理。v”点和直线相互结合点和直线相互结合“、”点和平面相互点和平面相互结合结合“是基本结合关系，而是基本结合关系，而”直线和平面相直线和平面相互结合互结合“不是基本结合关系。它能够定义为：不是基本结合关系。它能够定义为：假如直线假如直线a a全部点都在平面全部点都在平面上，则称直线在上，则称直线在平面平面上。上。v推论：直线推论：直线a a上若有两个点在平面上若有两个点在平面上，则直上，则直线线a a在平面在平面上。上。第54页n n定理1：两条直线至多有一个公共点，两个两条直线至多有一个公共点，两个平面或者没有公共点，或者有一条公共直线，平面或者没有公共点，或者有一条公共直线，其全部公共点均在这条直线上，一平面和不其全部公共点均在这条直线上，一平面和不在它上面直线至多有一个公共点。在它上面直线至多有一个公共点。n n定理2：经过不共线三点恒有一个平面；经过不共线三点恒有一个平面；经过一直线及不在其上一点，恒有一个平经过一直线及不在其上一点，恒有一个平面；面；经过有公共点两条直线恒有一个平经过有公共点两条直线恒有一个平面。面。n n定理3：每个平面最少有三个不在一条直线每个平面最少有三个不在一条直线上点。（略）上点。（略）第55页n n证实：（1）假设两条直线a、b除了一个公共点A以外，还有第二个公共点B，则依据1 及2，点A及点B可唯一确定一条直线，与a、b是两条不一样直线矛盾，所以，两条直线至多有一个公共点。第56页n n（2）现设平面及有一个公共点A，依据公理7，还有第二个公共点B。又据1 及2，过点A、B可确定一条直线a。依据推论知a在上，a在上，直线a是平面和公共直线。现证实平面和平面全部公共点均在这条直线上。假设假设和和公共点公共点C C不在直不在直线线a a上，则上，则A A、B B、C C不共线，据不共线，据5 5，至多有一个经过至多有一个经过A A、B B、C C三个点三个点平面，所以平面与就成为同一平面，这与题设平面和是不一样平面矛盾，所以两个平面假如有一个公共点，则它们有一条公共直线。第57页（3）假设a与平面有两个公共点，则据6，及a在平面上，与已知矛盾。第58页n n定理2：证实：据4.1证得成立。据3.1知，每条直线上最少有两个点。此三点成为不共线三点证得。设直线a、b有一个公共点A，则据定理1及3.1，知a上最少有异于A点B，且B不在b上，据5知，经过b与B有一个平面。第59页结合公理是中学平面几何和立体几何中相关点、直线、平面结合关系理论基础。*结合公理对于中学几何作用第60页v 1，2，4.1，5，6都反应在平几、立几公理系统中，7中关于两平面结合关系在中学几何中采取“若两平面有一个公共点，则它们有且仅有一条经过此点公共直线”作为公理，它实际上是希氏下一条定理，3，4.2，8都是作为直观或默认，允许在平面内、外取点，实际上是默认了这些性质，在希氏体系下作为公理给出，从此可看出在中学几何中默认、直观性质，在希氏体系下有严格理论确保，给中学几何中一些做法提供了理论基础。第61页这一组公理叙述直线上一个点，能够对于这一组公理叙述直线上一个点，能够对于同一条直线上另外两个点有一个位置关系。同一条直线上另外两个点有一个位置关系。基本次序关系是基本次序关系是“一点一点B B在另两点在另两点A A和和C C之之间间”用用 表示。表示。2.2次序公理第62页1 1若点若点B B在点在点A A和和C C之间，之间，则则A A、B B、C C三点三点是一直线上三个不一样点，且是一直线上三个不一样点，且B B也在点也在点C C和和A A之间。之间。2 2对于任意两点对于任意两点A A及及B B，在直线，在直线ABAB上最少上最少存在一点存在一点C C，使，使B B在点在点A A和和C C之间。之间。3 3在一直线上三点中，至多有一点在另在一直线上三点中，至多有一点在另外两点之间。外两点之间。第63页4 4（巴士公理）：设（巴士公理）：设A A、B B、C C是不共线三点，是不共线三点，a a是平面是平面ABCABC上一直线，它不经过上一直线，它不经过A A、B B、C C中任中任何一点，若何一点，若a a有一点介于有一点介于A A、B B之间，则之间，则a a必还必还有一点介于有一点介于A A和和C C或或B B和和C C之间。之间。第64页v各条公理作用：v公理13是直线上点次序公理，也称为线性次序公理，公理4是平面次序公理。v公理2确保线段外部有点，公理3确保在共线三点中至多有一点在另外两点之间，但不确保最少有一点在另外两点之间，公理4是论证线段有内点理论依据。第65页v公理3不确保存在性。设点A，B，C是同一直线上三点，在 中，至多有一个情形成立。v四条公理为基础，能够给出线段，内点，三角形，顶点，边，角，射线，内部，外部，异侧，同侧定义，还能够证实线段上有没有穷多点，线段外有没有穷多点。第66页定义：无序两点定义：无序两点A A、B B集合叫做线段，记作集合叫做线段，记作ABAB或或BABA。A A，B B之间点叫做线段之间点叫做线段ABAB内部点或内部点或内点。内点。A A，B B间一切点集合叫做一开线段，记作间一切点集合叫做一开线段，记作（ABAB）点）点A A，B B分别叫做线段分别叫做线段ABAB和（和（ABAB）端）端点。直线点。直线ABAB上异于上异于A A，B B且不属于（且不属于（ABAB）点）点称为线段称为线段ABAB或（或（ABAB）外部点。）外部点。第67页定义：不共线三点定义：不共线三点A A，B B，C C集合叫做三点形；集合叫做三点形；这三点形和（这三点形和（ABAB），（），（BCBC），（），（CACA）全部点）全部点集合称为一三角形，记作集合称为一三角形，记作ABCABC。点。点A A，B B，C C各称为这三角形顶点，开线段（各称为这三角形顶点，开线段（ABAB），），（BCBC），（），（CACA）各称为这三角形边。）各称为这三角形边。巴士公理另一个表述：与三角形共面且不过巴士公理另一个表述：与三角形共面且不过其顶点一直线，若与三角形一边相交，则必其顶点一直线，若与三角形一边相交，则必与其另一边相交。与其另一边相交。第68页2.2.12.2.1公理推论公理推论n n定理1.对于任意两点A，C，在直线AC上最少有一点B在A和C之间。n n定理2.在一直线三点中，必有且仅有一点在其它两点之间。n n定理3.直线a与ABC共面且不过其任一顶点，若a交其一边则必交其另一边，但不再交第三边。(巴士公理主要补充，在巴士公理叙述中并没有否定一直线若交一三角形一边，该直线和三角形三边都相交，定理3明确了该直线不能和三角形三边都相交）第69页证实：依据证实：依据证实：依据证实：依据3.23.23.23.2，存在着不在，存在着不在，存在着不在，存在着不在直线直线直线直线ACACACAC上点上点上点上点E E E E。由。由。由。由1 1 1 1 及及及及2 2 2 2，确定直线确定直线确定直线确定直线AE.AE.AE.AE.依据定理依据定理依据定理依据定理2 2 2 2，A A A A，E E E E，C C C C在同一个平面内，把这个在同一个平面内，把这个在同一个平面内，把这个在同一个平面内，把这个平面记为平面记为平面记为平面记为，由，由，由，由 2 2 2 2，在直线，在直线，在直线，在直线AEAEAEAE上存在点上存在点上存在点上存在点F F F F，使，使，使，使 .由由由由6 6 6 6知，知，知，知，F F F F点也在平面点也在平面点也在平面点也在平面内。内。内。内。同理，在直线同理，在直线同理，在直线同理，在直线FCFCFCFC上存在点上存在点上存在点上存在点G G G G，使，使，使，使 ，而且，而且，而且，而且E E E E和和和和G G G G是不一样点。不然，有是不一样点。不然，有是不一样点。不然，有是不一样点。不然，有 和和和和 .由由由由1 1 1 1 及及及及1 1 1 1知，知，知，知，A A A A，E E E E，F F F F，C C C C四点在一条直线上，即四点在一条直线上，即四点在一条直线上，即四点在一条直线上，即E E E E在直线在直线在直线在直线ACACACAC上，这与上，这与上，这与上，这与E E E E选取矛盾。同理，选取矛盾。同理，选取矛盾。同理，选取矛盾。同理，F F F F点也不在点也不在点也不在点也不在ACACACAC上上上上由由由由6 6 6 6知，知，知，知，G G G G在平面在平面在平面在平面内。内。内。内。AFCBEG第70页n n对于对于AFCAFC和直线和直线EGEG，EGEG不过不过A A，F F，C C三三点而且和点而且和AFCAFC共面，已知共面，已知EGEG和（和（AFAF）相交）相交于于E E，依据巴士公理，直线，依据巴士公理，直线EGEG应交（应交（FCFC）或）或（ACAC）。）。现在证实直线现在证实直线EGEG不交（不交（FCFC）。）。假设假设EGEG交（交（FCFC）于点）于点H H，假如，假如H H和和G G不是不是同一点，因为直线同一点，因为直线EGEG和和FCFC有两个交点，则和有两个交点，则和定理定理1 1相矛盾；假如相矛盾；假如H H和和G G是同一点，则有是同一点，则有FGCFGC和和FCGFCG都成立，这与都成立，这与3 3矛盾。所以直线矛盾。所以直线EGEG不交（不交（FCFC）。依据巴士公理，直线）。依据巴士公理，直线EGEG必必交（交（ACAC），交点记作），交点记作B B，即有，即有ABCABC。第71页*次序公理对中学几何作用v在中学几何教材中不定义次序关系，不引入次序公理，但却渗透着次序关系，以直观默认方式处理，v如：线段存在内点、外点、侧、角内部、外部、多边形等均需直观默认。希尔伯特公理则解释了中学几何教材中相关默认次序问题合理性，并加以证实（直线上有没有数个点，两点之间有点等），从理论上确保。第72页v中学平面几何中指出：线段AB能够向任意一方延伸。什么叫“任意一方延伸”？为何能够延伸？公理2则从理论上揭示了“延伸”意义，确保了延伸可能性。第73页2.3协议公理协议关系：假设一条线段对另一条线段（或对自己）能够有一个关系，用“协议”表示这种关系，即“一线段 协议于另一线段 ”，记作 =或 ；还可假设一个角 对另一个角 （或对自己）能够有一个“协议”关系，即一角协议于另一角 ，记作第74页协议公理：u1 1 设设A A、B B是直线是直线a a上两点，上两点，是同一或是同一或另一直线另一直线 上一点，则在直线上一点，则在直线 上点上点 指定一侧，指定一侧，存在存在一点一点 ，使得线段，使得线段 协议于线段协议于线段 .记作记作 2 2 若两线段与第三条线段都协议，则这若两线段与第三条线段都协议，则这两线段也协议。即两线段也协议。即 则则 u 3 3 协议关系含有可加性。即若点协议关系含有可加性。即若点B B介于介于点点A A和和C C之间，之间，则则 第75页4 已知平面 上一角 ，平面 上一直线 一侧以及 上一点 为端点一射线 ，则在 上恰有一射线 使 ，且 在 指定一侧.5 对于两个三角形 中，若 ，则 第76页v公理1确保线段可迁移，但在所设条件下未确保线段迁移唯一性。v公理4确保角能够迁移，而且迁移是唯一。v公理5是证实三角形协议主要依据*协议公理对中学几何作用第77页v由能够得出许多推论，如边角边定理，角边角，边边边、外角定理，定义线段、角大小，三角形协议，并可证实每条线段恒有一个中点，每个角恒有一条角平分线，确保了异面直线存在等等。第78页公理推论v定理：线段协议关系满足反身性、对称定理：线段协议关系满足反身性、对称性、传递性性、传递性.v补充公理补充公理1 1，证实线段迁移唯一性，证实线段迁移唯一性v定义三角形协议定义三角形协议v定理：三角形协议边角边定理定理：三角形协议边角边定理第79页v中学几何教材中不引入“协议关系”及“协议公理”，而是讨论线段和线段，角和角、三角形和三角形、多边形和多边形“全等”关系。我们能够认为“协议图形”就是“全等图形”。协议公理要求了两个图形在怎样条件下叫做协议图形。第80页v在中学几何教材中，阐述全等或相等时均用了运动概念。如线段 即是把线段 放到 ，使 和 重合，若 和 也重合，则两线段相等。v把一图形叠放在另一图形上，假如对应部分完全重合，此时两图形叫做全等形，这里叠放是什么？线段、角形状、大小在叠放运动中是否改变，只能凭直观默认，在逻辑上不严谨。而在希氏公理体系中给出了定义，并证实了三角形全等定理，完全不包括运动概念。第81页v在中学几何教材中认可线段有中点，角有角平分线（默认后直接定义）、在希氏公理体系下，可在理论上严格确保。v中学几何教材中关于“直角”定义及“凡直角都相等”定理证实都包括数量，如如“90“90角都是直角角都是直角”.因为全部直角都是因为全部直角都是9090，所以，所以相等相等.在希氏下证实不包括度量关系。在希氏下证实不包括度量关系。第82页2.4连续公理1（阿基米德公理）设任意两线段AB，CD，则在直线AB上存在有限个点A1An，使这些点排成次序 且有 若给出倍定义 则 第83页上述公理还能够直观描述为：对于两线段 和 ，则一定存在以自然数 ，使得2（康托公理）：设在直线 上给了线段无穷序列 其中每一条后面线段及端点完全落在前一条线段内部。设对于任意给定线段 ，总能够找到一个自然数 ，使得 那么在直线 上存在着一个点 ，落在全部线段 内部。第84页*连续公理对中学几何作用v（1）公理1-2通常称为测量公理，是任意线段可测得长度理论基础，由此可证，两圆相交一定有交点，直线与圆若经过圆内部一点，则交于两点，线段有唯一长度，角有唯一角度。v（2）连续公理是建立线段和角等图形度量基础。中学几何中对于线段和角为何能够测量？什么叫线段长度、角度都未明确定义而直接认可。第85页v（3）连续公理是中学几何作图理论基础。中学几何中，尺规作图经常归结为求交点，但直线与圆、圆与圆是否存在交点？是由连续公理确保。v（4）连续公理是建立坐标系理论基础。第86页2.5平行公理 对于任何直线 及其外一点 ，经过 点至多有一直线与直线 共面不交。在一个几何公理系统中是否次采取平行公理，是区分这种几何学是否为欧氏几何主要标志。第87页定义：共面不相交两直线 和 叫做平行线，记作第88页由此可得到平行线许多性质（内错角相等），而且得到和平行公理等价若干命题（第五公设、三角形三条高共点、过不共线三点恒有一圆、任何三角形内角和等于 、勾股定理等等）第89页v问题：为何希氏公理系统要有问题：为何希氏公理系统要有5 5组组2020条条公理，加上或者减去一条怎样？公理，加上或者减去一条怎样？第90页v主要讨论：v（1）公理系统友好性。v（2）公理系统独立性v（3）公理系统完备性v对任何一个公理系统，普通要求必须友好，最好独立，是否完备要视详细需要而定。第91页4.1中学几何教材公理结构依据7月颁布全日制义务教育数学课程标准（试验稿），北师大出版数学教科书。此教材选取公理为：1.两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么这两条直线平行。2.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。3.两边及其夹角对应相等两个三角形全等。4.两角及其夹边对应相等两个三角形全等。5.三边对应相等两个三角形全等。6.全等三角形对应边相等、对应角相等。第92页依据颁布普通高中数学课程标准 人民教育出版社必修书本选取公理：公理1.假如一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2.过不在一条直线上三点，有且只有一个平面.公理3.假如两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点公共直线.公理4.平行于同一条直线两条直线相互平行.（空间平行线传递性）第93页中学几何中虽未明确提出哪些是基本概念，但却用直观方法引进“点、线、面、体”。经过观察详细事例来说明，不考虑它们其它性质（颜色、质量、材料等），只注意它们形状（如方、圆）、大小（长度、面积）、位置（在内外、相交、不相交等）。并得到面与面相交形成线，线与线相交形成点。另外，对于线段、射线（将线段向一个方向无限延长）、直线、角（由两条含有公共端点射线组成）定义采取直观默认。（实际上，（实际上，点、线、面、体、直线、平面、无限延伸、部分点、线、面、体、直线、平面、无限延伸、部分等起着基本概念作用，即中学几何公理体系中不等起着基本概念作用，即中学几何公理体系中不提基本概念，但却因入未加严格定义概念，起着提基本概念，但却因入未加严格定义概念，起着基本概念作用）基本概念作用）第94页义务教育课程标准试验教科书编写体例（北师大版）特点：1 每章中配有丰富图形，在做一做、试一试、想一想、议一议中，学生自己在做数学过程中学习数学知识（数学事实和数学经验）。2 书中习题分为三类：随堂练习、习题、复习题。随堂练习以复习对应小节教学内容为主，供课堂用；习题和复习题都分为：知识技能、数学了解、问题处理、联络拓广四部分，满足不一样层次学生需要。3 每章安排回顾与思索，供学习完本章节后知识整理和回想。4 每节有“读一读”栏目，扩大学生知识面，主要是数学应用、数学史、计算机及软件应用（Z+Z）智能教育平台。5 每一册都有课题学习（制作一个尽可能大无盖长方体盒子）第95页中学几何教材内容及其分布：七年级（上）：第一章：丰富图形世界1.生活中立体图形。（认识圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球）2.展开与折叠（引入棱、侧棱等定义）3.截一个几何体（截面）4.从不一样方向看（上、下、左、右、前、后等）5.生活中平面图形（三角形、四边形、五边形、六边形、圆、弧、扇形等）第96页第四章：平面图形及其位置关系1.线段、射线、直线（经过两点有且只有一条直线）2.比较线段长短（两点之间全部连线中，线段最短；两点之间线段长度，叫做这两点之间距离；线段中点）3.角度量与表示（角定义）4.角比较（角平分线）5.平行（平行定义、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；假如两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线相互平行。）6.垂直（平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点与直线上各点连接全部线段中，垂线段最短；）7.有趣七巧板（活动目标：动手制作一副七桥板，并用它拼出不一样图案）第97页七年级（下）第二章 平行线与相交线1.台球桌面上角（余角、补角、同角或等角余角相等；同角或等角补角相等；对顶角、对顶角相等；）2.探索直线平行条件（同位角、同位角相等，两直线平行；内错角、同旁内角、内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；）3.平行线特征（两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补）4.用尺规作线段和角。第98页第五章 三角形1.认识三角形（三角形定义：由不在同一直线上三条线段首尾顺次相接所组成图形。三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边；三角形三个内角和等于180。；直角三角形两个锐角互余；三角形角平分线、中线、三角形三条角平分线交于一点，三条中线交于一点；三角形高、三角形三条高所在直线交于一点；）2.图形全等（全等图形：两个能够重合图形；全等图形形状和大小都相同；）3.图案设计（设计漂亮图案并能叙述他们绘制过程）4.全等三角形（全等三角形对应边相等，对应角相等；）5.探索三角形全等条件（边边边、角边角、角角边、边角边、）6.作三角形7.利用三角形全等测距离（实际应用）8.探索直角三角形全等条件（“斜边、直角边”）第99页第七章生活中轴对称1.轴对称现象（假如一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形。）2.简单轴对称图形（角是轴对称图形，角平分线所在直线是它对称轴；角平分线上点到这个角两边距离相等。线段是轴对称图形，它一条对称轴垂直于这条线段而且平分它，这么直线叫做这条线段垂直平分线；线段垂直平分线上点到这条线段两个端点距离相等。等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上高重合（也称“三线合一”），它们所在直线都是等腰三角形对称轴；等腰三角形两个底角相等;假如一个三角形有两个角相等，那么它们所正确边也相等。）第100页3探索轴对称性质（对应点所连线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等）4 利用轴对称设计图案5 镜子改变了什么6 镶边与剪纸第101页八年级（上册）第一章 勾股定理1 探索勾股定理（假如直角三角形两直角边分别为 ，斜边为 ，那么 即直角三角形两直角边平方和等于斜边平方）2 能得到直角三角形吗（假如三角形三边长 满足 那么这个三角形是直角三角形。）3 蚂蚁怎样走最近课题学习：拼图与勾股定理第102页第三章图形平移与旋转1 生活中平移（在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这么图形运动称为平移，平移不改变图形形状和大小。经过平移，对应点所连线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。）2 简单平移作图3 生活中旋转（在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这么图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动角称为旋转角，旋转不改变图形大小和形状。经过旋转，图形上每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度，任意一对对应点与旋转中心连线所成角都是旋转角，对应点到旋转中心距离相等。）4 简单旋转作图5 它们是怎样变过来6 简单图案设计第103页第四章 四边形性质探索1 平行四边形性质（两组对边分别平行四边形叫做平行四边形；平行四边形对边相等，对角相等，对角线相互平分；平行线之间距离）2 平行四边形判别（一组对边平行且相等四边形是平行四边形；两组对边分别相等四边形是平行四边形；两条对角线相互平分四边形是平行四边形；两组对边分别平行四边形是平行四边形）第104页3 菱形（一组邻边相等平行四边形叫做菱形；菱形四条边相等，两条对角线相互垂直平分，每一条对角线平分一组对角。菱形判别方法：一组邻边相等平行四边形是菱形；对角线相互垂直平行四边形是菱形；四条边都相等四边形是菱形。）4 矩形、正方形（有一个内角是直角平行四边形叫做矩形，矩形对角线相等，四个角都是直角；对角线相等平行四边形是矩形。一组邻边相等矩形叫做正方形，正方形含有平行四边形、矩形、菱形一切性质。）第105页5 梯形（一组对边平行而另一组对边不平行四边形叫做梯形；等腰梯形、直角梯形定义；等腰梯形同一底上两个内角相等，对角线相等；判定：同一底上两个内角相等梯形是等腰梯形）6 探索多边形内角和与外角和（在平面内，由若干条不在同一条直线上线段首尾顺次相连组成封闭图形叫做多边形；n边形内角和等于 多边形内角一边与另一边反向延长线所组成角叫做这个多边形外角；多边形外角和都等于 ）7 平面图形密铺（平面图形镶嵌）8 中心对称图形（在平面内，一个图形绕某个点旋转 ，假如旋转前后图形相互重合，那么这个图形叫做中心对称图形第106页八年级（下册）第四章相同图形1 线段比（假如选取同一个长度单位量得两条线段AB,CD长度分别是m,n，那么就说这两条线段比 ；假如 ，那么 ；假如 （都不等于0），那么 ；假如 ，那么假如 ，那么第107页2 黄金分割（点C把线段AB分成两条线段AC和BC，假如 ，那么称线段AB被C黄金分割；）3 形状相同图形4 相同多边形（各角对应相等，各边对应成百分比两个多边形叫做相同多边形）5 相同三角形（三角对应相等，三边对应成百分比两个三角形叫做相同三角形）6 探索三角形相同条件（两角对应相等两个三角形相同；三边对应成百分比两个三角形相同；两边对应成百分比且夹角相等两个三角形相同）7测量旗杆高度第108页8 相同多边形性质（相同三角形对应高比、角平