基本不等式求最值的四类经典问题.pdf

宫吉新 不等式求最值的实质是a ba+b2a2+b22(a,b0),a ba+b2 2a2+b22(a,bR)的灵活应用。下面将对基本不等式求最值的经典问题进行归纳提炼,期望大家通 过 练 习、感 悟,能 打 通 自 己 思 维 的“堵点”,提升对基本不等式的应用能力。经典1:基本不等式之直接法求最值例1 已知正实数a,b满足a4+b5=1,则a b的最大值为。解:利用基本不等式直接求解。因为正实数a,b满足1=a4+b5 2a b2 0,当且仅当a4=b5,a4+b5=1,即a=2,b=52时取等号,所以a b 5,即a b的最大值为5。感悟:利用基本不等式求最值,不仅要求“一 正,二 定,三 相 等”,而 且 顺 序 也 不 能变 先要求“正”,再要求“定”,最后研究取等号的条件是否满足。变式1:(多选题)下列命题中正确的是()。A.当x 1时,x+1x的最小值是2B.存在实数x,使得不等式x+1x2成立C.若x,yR,则x y(x+y)22D.若x 0,y 0,且x+y=1 6,则x y 6 4提示:当x1时,x+1x2x1x=2,当且仅当x=1时等号成立,即当x1时,x+1x取不到最小值2,A错误。当x=1时,x+1x=2,B正确。因为x+y 22-x y=x2+2x y+y22-x y=12(x2+y2)0,所以x y(x+y)22,C正确。因为x0,y0,x+y=1 6,所以1 6=x+y2x y,所以x y 6 4,当且仅当x=y=8时等号成立,D正确。应选B C D。经典2:基本不等式之妙用“1”的整体代入求最值例2 若x0,y0,且 满 足9x+1+1y+1=1,则x+y的最小值是。解:因为x+y=x+1+y+1-2=(x+1+y+1)9x+1+1y+1 -2=8+9(y+1)x+1+x+1y+1 8+29(y+1)x+1x+1y+1=1 4,当且仅当9(y+1)x+1=x+1y+1,即x+1=3(y+1),也即x=1 1,y=3时等号成立,所以x+y的最小值是1 4。感悟:“1”的整体代入法也称常数代换法,适用于求解条件最值问题。变式2:若x 0,y 0,且x+y=x y,则xx-1+2yy-1的最小值为。提示:因为x0,y0,且x+y=x y,所 以1x+1y=1。因 为xx-1+2yy-1=x y-x+2x y-2y(x-1)(y-1)=2x+yx y-x-y+1=2x+y=(2x+y)1x+1y =3+2xy+yx3+22xyyx=3+2 2,当且仅当2xy=yx,即x=1+22,y=1+2时取等号,所以xx-1+2yy-1的最小值为3+2 2。54经典题突破方法 高一数学 2 0 2 4年1月 经典3:基本不等式之换元法求最值例3 已知a,b均为正实数,则2a+ba+2b+a+b2a+b的最小值为。解:设a+2b=x,2a+b=y。依题意得x0,y0,所 以a+2b=x,2a+b=y,解 得a=2y-x3,b=2x-y3。所 以2a+ba+2b+a+b2a+b=yx+13(x+y)y=yx+x3y+132xyx3y+13=1+2 33,当 且 仅 当yx=x3y,即x=3y时取等号。故所求的最小值为1+2 33。感悟:形如y=m g(x)+Ag(x)+B(A0,B 0)的最值,g(x)恒正或恒负,可利用基本不等式求最值。变式3:若-1 x 1,则y=x2-2x+22x-2有()。A.最大值-1 B.最小值-1C.最大值1 D.最小值1提示:由-1x1,可得01-x0,所 以b1,所 以b-10。因 为3a-1+7b-1=b-1+7b-12b-1 7b-1=2 7,当且仅当b-1=7b-1,即b=7+1,a=7+3 77时取等号,所以3a-1+7b-1的最小值是2 7。感悟:消元法又称降元意识,即从简化问题的角度来思考,先消去一个变量,转化为只含有一个变量的函数,再结合基本不等式求最值,这是求最值的通法。变式4:负实数x,y满足x+y=-2,则x-1y的最小值为。提示:由x=-2-y0,可得-2y0。因 为x-1y=-2-y-1y-2+2-y 1-y=0,当且仅当-y=-1y(y 0),即y=-1时取等号,所以所求的最小值为0。作者单位:吉林省长春市第二中学(责任编辑 郭正华)64 经典题突破方法 高一数学 2 0 2 4年1月