1、第第7 7 章章微分方程问题微分方程问题计算机求解计算机求解n n薛定宇、陈阳泉著薛定宇、陈阳泉著高等应用数学问题高等应用数学问题MATLAB求解求解，清华大学出版社，清华大学出版社n nCAI课件开发：刘莹莹、薛定宇课件开发：刘莹莹、薛定宇/10/101高等应用数学问题MATLAB求解第1页主要内容主要内容n n常系数线性微分方程解析解方法常系数线性微分方程解析解方法n n微分方程问题数值解法微分方程问题数值解法n n特殊微分方程数值解特殊微分方程数值解n n边值问题计算机求解边值问题计算机求解n n偏微分方程求解入门偏微分方程求解入门n n微分方程框图求解微分方程框图求解/10/102高等
2、应用数学问题MATLAB求解第2页7.1 7.1 常系数线性微分方程常系数线性微分方程解析解方法解析解方法n n线性常系数微分方程解析解数学描述线性常系数微分方程解析解数学描述n n微分方程解析解方法微分方程解析解方法n nLaplaceLaplace变换在线性微分方程求解中应用变换在线性微分方程求解中应用n n特殊非线性微分方程解析解特殊非线性微分方程解析解/10/103高等应用数学问题MATLAB求解第3页7.1.1 7.1.1 线性常系数微分方程解析解线性常系数微分方程解析解数学描述数学描述/10/104高等应用数学问题MATLAB求解第4页/10/105高等应用数学问题MATLAB求解
3、第5页7.1.2 7.1.2 微分方程解析解方法微分方程解析解方法/10/106高等应用数学问题MATLAB求解第6页【例例例例7-17-17-17-1】/10/107高等应用数学问题MATLAB求解第7页/10/108高等应用数学问题MATLAB求解第8页/10/109高等应用数学问题MATLAB求解第9页/10/1010高等应用数学问题MATLAB求解第10页/10/1011高等应用数学问题MATLAB求解第11页【例例例例7-27-27-27-2】/10/1012高等应用数学问题MATLAB求解第12页/10/1013高等应用数学问题MATLAB求解第13页【例例例例7-37-37-37
4、-3】/10/1014高等应用数学问题MATLAB求解第14页7.1.3 Laplace7.1.3 Laplace变换在线性微分方程变换在线性微分方程 求解中应用求解中应用/10/1015高等应用数学问题MATLAB求解第15页【例例例例7-47-47-47-4】/10/1016高等应用数学问题MATLAB求解第16页/10/1017高等应用数学问题MATLAB求解第17页/10/1018高等应用数学问题MATLAB求解第18页7.1.4 7.1.4 特殊非线性微分方程解析解特殊非线性微分方程解析解【例例例例7-57-57-57-5】/10/1019高等应用数学问题MATLAB求解第19页【例
5、例例例7-67-67-67-6】/10/1020高等应用数学问题MATLAB求解第20页7.27.2 微分方程问题微分方程问题数值解法数值解法n n微分方程问题算法概述n n四阶定步长 Runge-Kutta 算法及 MATLAB 实现n n一阶微分方程组数值解n n微分方程转换/10/1021高等应用数学问题MATLAB求解第21页7.2.1 7.2.1 微分方程问题算法概述微分方程问题算法概述/10/1022高等应用数学问题MATLAB求解第22页7.2.1.1 7.2.1.1 微分方程求解误差微分方程求解误差与步长问题与步长问题/10/1023高等应用数学问题MATLAB求解第23页/1
6、0/1024高等应用数学问题MATLAB求解第24页/10/1025高等应用数学问题MATLAB求解第25页7.2.2 7.2.2 四阶定步长四阶定步长Runge-KuttaRunge-Kutta算法算法 及及 MATLAB MATLAB 实现实现/10/1026高等应用数学问题MATLAB求解第26页/10/1027高等应用数学问题MATLAB求解第27页7.2.3 7.2.3 一阶微分方程组数值解一阶微分方程组数值解7.2.3.1 7.2.3.1 四阶五级四阶五级Runge-Kutta-FelhbergRunge-Kutta-Felhberg算法算法/10/1028高等应用数学问题MATL
7、AB求解第28页7.2.3.2 基于基于 MATLAB MATLAB 微分方程微分方程求解函数求解函数/10/1029高等应用数学问题MATLAB求解第29页/10/1030高等应用数学问题MATLAB求解第30页/10/1031高等应用数学问题MATLAB求解第31页【例例例例7-77-77-77-7】/10/1032高等应用数学问题MATLAB求解第32页/10/1033高等应用数学问题MATLAB求解第33页【例例例例7-87-87-87-8】/10/1034高等应用数学问题MATLAB求解第34页/10/1035高等应用数学问题MATLAB求解第35页7.2.3.3 MATLAB 7.
8、2.3.3 MATLAB 下带有附加参数微下带有附加参数微分方程求解分方程求解【例例例例7-97-97-97-9】/10/1036高等应用数学问题MATLAB求解第36页/10/1037高等应用数学问题MATLAB求解第37页/10/1038高等应用数学问题MATLAB求解第38页/10/1039高等应用数学问题MATLAB求解第39页7.2.4 7.2.4 微分方程转换微分方程转换7.2.4.1 7.2.4.1 单个高阶常微分方程处理方法单个高阶常微分方程处理方法/10/1040高等应用数学问题MATLAB求解第40页/10/1041高等应用数学问题MATLAB求解第41页【例例例例7-10
9、7-107-107-10】/10/1042高等应用数学问题MATLAB求解第42页/10/1043高等应用数学问题MATLAB求解第43页7.2.4.2 7.2.4.2 高阶常微分方程组变换方法高阶常微分方程组变换方法/10/1044高等应用数学问题MATLAB求解第44页【例例例例7-117-117-117-11】/10/1045高等应用数学问题MATLAB求解第45页/10/1046高等应用数学问题MATLAB求解第46页/10/1047高等应用数学问题MATLAB求解第47页/10/1048高等应用数学问题MATLAB求解第48页/10/1049高等应用数学问题MATLAB求解第49页【
10、例例例例7-127-127-127-12】/10/1050高等应用数学问题MATLAB求解第50页/10/1051高等应用数学问题MATLAB求解第51页【例例例例7-137-137-137-13】/10/1052高等应用数学问题MATLAB求解第52页/10/1053高等应用数学问题MATLAB求解第53页7.3 7.3 特殊微分方程数值解特殊微分方程数值解n n刚性微分方程求解刚性微分方程求解n n隐式微分方程求解隐式微分方程求解n n微分代数方程求解微分代数方程求解n n延迟微分方程求解延迟微分方程求解/10/1054高等应用数学问题MATLAB求解第54页7.3.1 7.3.1 刚性微
11、分方程求解刚性微分方程求解【例例例例7-147-147-147-14】/10/1055高等应用数学问题MATLAB求解第55页【例例例例7-147-147-147-14】/10/1056高等应用数学问题MATLAB求解第56页/10/1057高等应用数学问题MATLAB求解第57页/10/1058高等应用数学问题MATLAB求解第58页【例例例例7-167-167-167-16】/10/1059高等应用数学问题MATLAB求解第59页/10/1060高等应用数学问题MATLAB求解第60页/10/1061高等应用数学问题MATLAB求解第61页7.3.2 7.3.2 隐式微分方程求解隐式微分方
12、程求解【例例例例7-177-177-177-17】/10/1062高等应用数学问题MATLAB求解第62页/10/1063高等应用数学问题MATLAB求解第63页【例例例例7-187-187-187-18】/10/1064高等应用数学问题MATLAB求解第64页/10/1065高等应用数学问题MATLAB求解第65页/10/1066高等应用数学问题MATLAB求解第66页【例例例例7-197-197-197-19】/10/1067高等应用数学问题MATLAB求解第67页/10/1068高等应用数学问题MATLAB求解第68页7.3.3 7.3.3 微分代数方程求解微分代数方程求解/10/106
13、9高等应用数学问题MATLAB求解第69页【例例例例7-207-207-207-20】/10/1070高等应用数学问题MATLAB求解第70页/10/1071高等应用数学问题MATLAB求解第71页/10/1072高等应用数学问题MATLAB求解第72页/10/1073高等应用数学问题MATLAB求解第73页/10/1074高等应用数学问题MATLAB求解第74页/10/1075高等应用数学问题MATLAB求解第75页【例例例例7-217-217-217-21】/10/1076高等应用数学问题MATLAB求解第76页/10/1077高等应用数学问题MATLAB求解第77页7.3.4 7.3.4
14、 延迟微分方程求解延迟微分方程求解/10/1078高等应用数学问题MATLAB求解第78页【例例例例7-227-227-227-22】/10/1079高等应用数学问题MATLAB求解第79页/10/1080高等应用数学问题MATLAB求解第80页【例7-23】中性延迟微分方程/10/1081高等应用数学问题MATLAB求解第81页7.4 7.4 边值问题计算机求解边值问题计算机求解n n线性方程边值问题打靶算法线性方程边值问题打靶算法n n非线性方程边值问题打靶算法非线性方程边值问题打靶算法n n线性微分方程有限差分算法线性微分方程有限差分算法/10/1082高等应用数学问题MATLAB求解第
15、82页/10/1083高等应用数学问题MATLAB求解第83页7.4.1 7.4.1 线性方程边值问题打靶算法线性方程边值问题打靶算法/10/1084高等应用数学问题MATLAB求解第84页/10/1085高等应用数学问题MATLAB求解第85页/10/1086高等应用数学问题MATLAB求解第86页/10/1087高等应用数学问题MATLAB求解第87页/10/1088高等应用数学问题MATLAB求解第88页/10/1089高等应用数学问题MATLAB求解第89页【例例例例7-247-247-247-24】/10/1090高等应用数学问题MATLAB求解第90页/10/1091高等应用数学问
16、题MATLAB求解第91页7.4.2 7.4.2 非线性方程边值问题打靶算法非线性方程边值问题打靶算法/10/1092高等应用数学问题MATLAB求解第92页/10/1093高等应用数学问题MATLAB求解第93页/10/1094高等应用数学问题MATLAB求解第94页【例例例例7-257-257-257-25】/10/1095高等应用数学问题MATLAB求解第95页/10/1096高等应用数学问题MATLAB求解第96页7.4.3 7.4.3 线性微分方程有限差分算法线性微分方程有限差分算法/10/1097高等应用数学问题MATLAB求解第97页/10/1098高等应用数学问题MATLAB求
17、解第98页/10/1099高等应用数学问题MATLAB求解第99页【例例例例7-267-267-267-26】/10/10100高等应用数学问题MATLAB求解第100页7.5 7.5 偏微分方程求解入门偏微分方程求解入门n n偏微分方程组求解偏微分方程组求解n n二阶偏微分方程数学描述二阶偏微分方程数学描述n n偏微分方程求解界面应用举例偏微分方程求解界面应用举例/10/10101高等应用数学问题MATLAB求解第101页7.5.1 7.5.1 偏微分方程组求解偏微分方程组求解/10/10102高等应用数学问题MATLAB求解第102页边界条件函数描述：边界条件函数描述：边界条件函数描述：边
18、界条件函数描述：/10/10103高等应用数学问题MATLAB求解第103页【例例例例7-277-277-277-27】/10/10104高等应用数学问题MATLAB求解第104页/10/10105高等应用数学问题MATLAB求解第105页/10/10106高等应用数学问题MATLAB求解第106页/10/10107高等应用数学问题MATLAB求解第107页7.5.2 7.5.2 二阶偏微分方程数学描述二阶偏微分方程数学描述7.5.2.1 7.5.2.1 椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程/10/10108高等应用数学问题MATLAB求解第108页/10/10109高等应用数学问题MATLAB求
19、解第109页7.5.2.2 7.5.2.2 抛物线型偏微分方程抛物线型偏微分方程/10/10110高等应用数学问题MATLAB求解第110页7.5.2.3 7.5.2.3 双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程/10/10111高等应用数学问题MATLAB求解第111页7.5.2.4 7.5.2.4 特征值型偏微分方程特征值型偏微分方程/10/10112高等应用数学问题MATLAB求解第112页7.5.3 7.5.3 偏微分方程求解界面应用举例偏微分方程求解界面应用举例7.5.3.1 7.5.3.1 偏微分方程求解程序概述偏微分方程求解程序概述n n开启偏微分方程求解界面n n在在 MATLAB M
20、ATLAB 下键入下键入 pdetool pdetool n n该界面分为四个部分n n菜单系统菜单系统n n工具栏工具栏n n集合编辑集合编辑n n求解区域求解区域/10/10113高等应用数学问题MATLAB求解第113页7.5.3.2 7.5.3.2 偏微分方程求解区域绘制偏微分方程求解区域绘制7.5.3.3 7.5.3.3 偏微分方程边界条件描述偏微分方程边界条件描述/10/10114高等应用数学问题MATLAB求解第114页7.5.3.4 7.5.3.4 偏微分方程求解举例偏微分方程求解举例【例例例例7-287-287-287-28】7.5.3.5 7.5.3.5 时变解动画显示时变
21、解动画显示/10/10115高等应用数学问题MATLAB求解第115页7.5.3.6 7.5.3.6 函数参数偏微分方程求解函数参数偏微分方程求解【例例例例7-297-297-297-29】/10/10116高等应用数学问题MATLAB求解第116页7.6 7.6 微分方程框图求解微分方程框图求解n nSimulinkSimulink介绍介绍n nSimulinkSimulink相关模块相关模块n n微分方程微分方程SimulinkSimulink建模与求解建模与求解/10/10117高等应用数学问题MATLAB求解第117页7.6.1 Simulink 介绍介绍n n1990 年前后出现最早
22、 Simulink，当初名为SimuLAB，1992 年改为 Simulinkn nSimulink 名字有两重含义n n仿真仿真(simu)(simu)与模型连接与模型连接(link)(link)n nodegroup 命令能够打开自定义模块集7.6.2 Simulink 相关模块相关模块/10/10118高等应用数学问题MATLAB求解第118页惯用模块：惯用模块：惯用模块：惯用模块：/10/10119高等应用数学问题MATLAB求解第119页/10/10120高等应用数学问题MATLAB求解第120页7.6.3 7.6.3 微分方程微分方程SimulinkSimulink建模与求解建模与
23、求解n n建立起微分方程 Simulink 模型n n能够用 sim()函数对其模型直接求解n n得出微分方程数值解/10/10121高等应用数学问题MATLAB求解第121页【例例例例7-307-307-307-30】/10/10122高等应用数学问题MATLAB求解第122页【例例例例7-317-317-317-31】/10/10123高等应用数学问题MATLAB求解第123页/10/10124高等应用数学问题MATLAB求解第124页【例例例例7-327-327-327-32】/10/10125高等应用数学问题MATLAB求解第125页本章内容介绍本章内容介绍/10/10126高等应用数
24、学问题MATLAB求解第126页n n本章介绍了基于本章介绍了基于 MATLAB MATLAB 符号运算工具箱符号运算工具箱 dsolve dsolve()()函数线性微分方程解析解方法，并介绍基于该函函数线性微分方程解析解方法，并介绍基于该函数特殊非线性微分方程解析解。数特殊非线性微分方程解析解。/10/10127高等应用数学问题MATLAB求解第127页n n对普通非线性微分方程来说，解析解是不存在，只能依赖数值解方法对其进行研究。n n引入了数值解概念，并以最简单一阶微分方程 Euler 算法为例，介绍了普通数值解法思绪并介绍了变步长求解概念，还介绍了 MATLAB 下微分方程数值求解函
25、数 ode45()，经过例子演示了该函数使用方法。/10/10128高等应用数学问题MATLAB求解第128页n n微分方程初值函数能直接求解方程是一阶显式微微分方程初值函数能直接求解方程是一阶显式微分方程组，若给出方程不是这类函数，则需要经分方程组，若给出方程不是这类函数，则需要经过本书介绍方法选择一组状态变量，将原方程变过本书介绍方法选择一组状态变量，将原方程变换成一阶显式微分方程组，方便用给定求解函数换成一阶显式微分方程组，方便用给定求解函数直接求解。直接求解。n n若某微分方程模型求解速度极慢，则有可能为刚若某微分方程模型求解速度极慢，则有可能为刚性方程，需要调用性方程，需要调用 od
26、e15s()ode15s()等函数来求解，另外，等函数来求解，另外，其它类型微分方程，如微分代数方程、隐式微分其它类型微分方程，如微分代数方程、隐式微分方程与延迟微分方程等，也能够由方程与延迟微分方程等，也能够由 MATLAB MATLAB 语言语言提供现成函数直接求解。提供现成函数直接求解。n n二阶微分方程边值问题能够由本书提供三种算法二阶微分方程边值问题能够由本书提供三种算法求解。求解。/10/10129高等应用数学问题MATLAB求解第129页n n偏微分方程能够由偏微分方程能够由 MATLAB MATLAB 提供现成函数直接求提供现成函数直接求解，而解，而 x-y x-y 平面偏微分
27、方程能够由平面偏微分方程能够由 MATLAB MATLAB 语言语言偏微分方程工具箱提供界面直接求解，而高维偏偏微分方程工具箱提供界面直接求解，而高维偏微分方程能够由该工具箱提供现成函数直接求解。微分方程能够由该工具箱提供现成函数直接求解。n nSimulink Simulink 是是 MATLAB MATLAB 中一个很主要系统仿真平台，中一个很主要系统仿真平台，能够用该高阶以框图形式建立起系统模型，本书能够用该高阶以框图形式建立起系统模型，本书介绍其入门知识，然后侧重于微分方程求解，介介绍其入门知识，然后侧重于微分方程求解，介绍了绍了 Simulink Simulink 怎样搭建微分方程框图，其中一个怎样搭建微分方程框图，其中一个主要方法就是用积分器来定义状态变量和其导数，主要方法就是用积分器来定义状态变量和其导数，则能够用已知信号搭建起这么微分方程，然后用则能够用已知信号搭建起这么微分方程，然后用该工具提供求解按钮直接求解。该工具提供求解按钮直接求解。/10/10130高等应用数学问题MATLAB求解第130页
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