微积分学大型案例分析求解省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

结束语结束语微积分学大型案例分析求解微积分学大型案例分析求解 在本学期开学第一堂课中，我们提出了一个大型案例。现在我们依据本学期我们学过相关知识来处理。引例：一只游船上有800人，一名游客不慎患传染病，12小时后有3人发病，因为船上不能及时隔离，问经过60小时、72小时，患此传染病人数有多少？第1页 结束语结束语此问题实际上与人口增加问题基本一致。为此引入介绍人口增加问题模型。相关背景及模型介绍：认识人口数量改变规律，建立人口模型，作出较准确预报，是有效控制人口增加前提，长久以来人们在这方面作了不少工作。18世纪末，英国人口学家马尔萨斯（Malthus，17661834）对百余年人口统计资料进行了研究，于1798年提出人口指数增加模型。他基本假设是：单位时间内人口增加量与当初人口总数成正比。第2页 结束语结束语设时间 时人口总数为 ，则依据马尔萨斯假设，在时间 时人口总数为 ，从 到时间 内，人口增加 。令 ，得到 满足微分方程这是一个可分离变量微分方程，轻易解得满足初始条件解为 时，（1）式表示人口将按指数规律随时间无限增加，称为指数增加模型。第3页 结束语结束语依据我国国家统计局1990年10月30 日发表公报，1990年7月1日我国人口总数为11.6亿，过去8年人口平均增加率为14.8，利用上式，将 ，代入，能够得到我国人口总数为 （亿）得出结果与实际情况基本吻合。不过当 时，这是不可能。从长久来看，任何地域人口都不可能无限增加，即指数模型不能描述、也不能预 第4页 结束语结束语测较长时期人口演变过程。伴随人口增加，自然资源、环境条件等原因对人口增加限制越来越显著，人口较少时，人口自然增加率基本上是常数，而当人口增加到一定数量以后，这个增加率就要伴随人口增加而降低。为此，必须修改指数增加模型关于人口增加率是常数这个基本假设。荷兰生物数学家Verhulst在19世纪中叶提出了阻滞增加模型，也称逻辑斯蒂（Logistic）模型。第5页 结束语结束语用 表示自然资源和环境条件所能允许最大人口数，并假定净增加率等于 ，即净增加率伴随 增加而降低，当 时，净增加率趋向于零。这么，指数模型中微分方程变为解得 第6页 结束语结束语利用初始条件可得，所以轻易看出，当 时，。下列图（一）是逻辑斯蒂（Logistic）模型大致图形。第7页 结束语结束语第8页 结束语结束语逻辑斯蒂（Logistic）模型不但能够大致上描述人口改变规律，而且对自然环境保护区中野生动物增加情况、森林中树木增加情况、耐用消费品售量等都能够用它来描述。如假定今年在某保护区放入野生动物20只，若被精心照料，预计野生动物增加规律满足，在 年内，其总数为第9页 结束语结束语当保护区中野生动物到达80只时，没有精心照料，野生动物也将会进入正常生长状态，即其群体增加依然符合上述表示式中增加规律。现在问题是：（1）需要精心照料期限为多少年？（2）在这一自然保护区中，最多能供养多少只野生动物？第10页 结束语结束语将 代入能够得到解得 （年）又当 ，。所以，只需精心照料9年，这个保护区最多能供养220只野生动物。第11页 结束语结束语有了此相关背景几知识，我们可处理前面提出引例有了此相关背景几知识，我们可处理前面提出引例。解 设 表示发觉首例病人后 小时感染人数，则 表示此时未受感染人数，由题意知 。依据常理，当感染人数 很小时，传染病传输速度较慢，因为只有极少游客能接触感染者；当感染人数 很大时，未受感染人数 很小，即只有很小游 客能被感染，所以此时传染病传输速度也很慢，排除上述两种极端情况，当有 第12页 结束语结束语很多感染者及很多未感染者时，传播速度很快。所以，传染病发病率，一方面受感染人数影响，其次也受未感染人数制约。根据以上分析，得解得 这属于逻辑斯蒂（Logistic）模型。第13页 结束语结束语由条件 可得所以令 ，得 又令 ，得 。第14页 结束语结束语由上我们能够看出，在72小时被感染人数将是60小时感染人数近2倍。可见，在传染病流行时，及时采取办法是相当主要。第15页