精讲精练高考递推数列题型分类专项训练份.doc

精讲精练:高考递推数列题型分类训练

各种数列问题在诸多情形下，就是对数列通项公式求解。特别是在某些综合性比较强数列问题中，数列通项公式求解问题往往是解决数列难题瓶颈。我当前总结出几种求解数列通项公式办法，但愿能对人们有协助。
类型1
解法：把原递推公式转化为，运用累加法(逐差相加法)求解。
例1. 已知数列满足，，求。
变式：已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k， a2k+1=a2k+3k，其中k=1,2,3,…….
（I）求a3，a5；（II）求{ an}通项公式.

类型2
解法：把原递推公式转化为，运用累乘法(逐商相乘法)求解。
例1:已知数列满足，，求。

例2:已知， ，求。

变式:（，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}通项

类型3 （其中p，q均为常数，）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再运用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列中，，，求.

变式:（，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列通项_______________
变式:（. 福建.理22.本小题满分14分）
已知数列满足
（I）求数列通项公式；
（II）若数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列；
（Ⅲ）证明：

类型4 （其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q， r均为常数）。
解法：普通地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。
例:已知数列中，,，求。
变式:（，全国I,理22,本小题满分12分）
设数列前项和，
（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：

类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。
解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为
其中s，t满足
解法二(特性根法)：对于由递推公式，给出数列，方程，叫做数列特性方程。若是特性方程两个根，当时，数列通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B方程组）；当时，数列通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B方程组）。
解法一（待定系数——迭加法）:
数列：， ，求数列通项公式。
例:已知数列中，,,，求。
变式:
1.已知数列满足
（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列通项公式；
（III）若数列满足证明是等差数列

2.已知数列中，,,，求

3.已知数列中，是其前项和，并且，
⑴设数列，求证：数列是等比数列；
⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列通项公式及前项和。

类型6 递推公式为与关系式。(或)
解法：这种类型普通运用与消去 或与消去进行求解。
例：已知数列前n项和.
（1）求与关系；（2）求通项公式.
（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））办法，上式两边同乘以得：
由.于是数列是以2为首项，2为公差等差数列，因此

变式:（，陕西,理,20本小题满分12分)
已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}通项an
变式：(,江西,文,22．本小题满分14分）
已知数列{an}前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}通项公式.

类型7
解法：这种类型普通运用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为等比数列。
例:设数列：，求.
变式:（，山东,文,22,本小题满分14分）
已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3…
(Ⅰ)令 (Ⅱ)求数列
(Ⅲ)设前n项和,与否存在实数，使得数列为等差数列？若存在试求出 不存在,则阐明理由.

类型8
解法：这种类型普通是等式两边取对数后转化为，再运用待定系数法求解。
例：已知数列｛｝中，，求数列
变式:（，江西,理,21．本小题满分12分）
已知数列
（1）证明 （2）求数列通项公式an.

变式:（,山东,理,22,本小题满分14分）
已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x图象上，其中=1，2，3，…
（1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝通项；
记bn=，求｛bn｝数列前项和Sn，并证明Sn+=1

类型9
解法：这种类型普通是等式两边取倒数后换元转化为。
例：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝通项公式。
变式:（，江西,理,22,本大题满分14分）
1.已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝
（1） 求数列｛an｝通项公式；
（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1·a2·……an<2·n！

2、若数列递推公式为，则求这个数列通项公式。

3、已知数列{}满足时，，求通项公式。

4、已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝通项公式。

5、若数列｛a｝中，a=1，a= n∈N，求通项a．

类型10
解法：如果数列满足下列条件：已知值且对于，均有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特性方程,当特性方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特性方程有两个相异根、时，则是等比数列。
例：已知数列满足性质：对于且求通项公式.

例：已知数列满足：对于均有
（1） 若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？

变式:（，重庆,文,22,本小题满分12分）
数列记
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4值； （Ⅱ）求数列通项公式及数列前n项和

类型11 或
解法：这种类型普通可转化为与是等差或等比数列求解。
例：（I）在数列中，，求

（II）在数列中，，求

类型12 归纳猜想法
解法：数学归纳法
变式:（，全国II,理,22,本小题满分12分）
设数列｛an｝前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…
（Ⅰ）求a1，a2；
（Ⅱ）｛an｝通项公式

类型13双数列型
解法：依照所给两个数列递推公式关系，灵活采用累加、累乘、化归等办法求解。
例：已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.

类型14周期型
解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。
例：若数列满足，若，则值为___________。
变式:（，湖南,文，5）
已知数列满足，则= （ ）
A．0 B． C． D．