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实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程一辅导课程一第1页第一章第一章 集集 合合 本本章章主主要要介介绍绍集集合合基基本本概概念念，运运算算及及其其运运算算性性质质。经经过过本本章章学学习习，要要掌掌握握集集合合基基本本概概念念及及运运算算规规律律，掌掌握握可可数数集集基基本本概概念念及及其其性性质质，了了解解集集合合对对等等概概念念，了了解解基基数数概概念念，同同时时我我们们要要知知道道一一些些惯惯用用可可数数集集与不可数集。与不可数集。第2页第一节第一节 集集 合合一、概念二、表示法三、简单术语第3页一、概一、概 念念集合：在一定范围内个体事物全体，集合：在一定范围内个体事物全体，当当把它们看作一个整体时，我们把这个整体称为把它们看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中每个事物叫做该集合元素。一个集合，其中每个事物叫做该集合元素。注意：注意：1 集合对象是确定。集合对象是确定。2 集合元素是互异集合元素是互异.3 任一对象或事物任一对象或事物x被看成某一给定集合被看成某一给定集合A元素时元素时,x或者是或者是A元元,或者不是或者不是A元元,二者必居其二者必居其一一,而且只居其一而且只居其一.例例1：1，2，3，5，8五个自然数组成一五个自然数组成一 个集合。个集合。例例2：全体自然数组成一个集合。：全体自然数组成一个集合。例例3：全体大个子不组成一个集合。：全体大个子不组成一个集合。第4页二、表示法二、表示法1、列举法：、列举法：2、描述法：、描述法：第5页三、一些简单术语三、一些简单术语假如假如A元均为元均为B元元假如假如A与与B有完全相同元有完全相同元第6页结论结论:对任何集合对任何集合 有有(1)(2)则则(3)注意注意 定理中结论（定理中结论（2）是证实两个集合）是证实两个集合 相等主要方法，以后我们经惯用到。相等主要方法，以后我们经惯用到。则则第7页第二节第二节 集合运算集合运算一、概念一、概念 1 并集并集 2 交集交集 3 差集差集 4 上限集与下限集上限集与下限集 二、运算规律二、运算规律第8页1 并集并集（1）设设A,BA,B是两个集。由是两个集。由A A中元以及中元以及B B中元中元全体所成集称为全体所成集称为 A,BA,B二者并，记成二者并，记成 例例1 1第9页（2）设）设=例例2 设设是一组集，这里是一组集，这里I是指标集，在是指标集，在I中中取值，那么它们并定义为取值，那么它们并定义为 第10页2 交交 集集例例1 1 A A（1 1）设设A,BA,B是两个集，由同时属于是两个集，由同时属于A A与与B B二者二者那些元所成集称为那些元所成集称为A A与与B B交，记成交，记成 第11页（2）设）设 ，例例2 2在在I I中取值，那么它们交定义为中取值，那么它们交定义为是一组集，这里是一组集，这里I I是指标集是指标集第12页3 差集差集 设设A,B是两个集，由是两个集，由属于属于A而不属于而不属于B那些元那些元所成集称为所成集称为A与与B差，记成差，记成A-B.当当B例例1 1 A AA时，差集时，差集A-B又称为又称为B关于关于A 补集，补集，记成记成第13页4 上限集与下限集（1 1）上限集）上限集设设 =易知：易知：，可它表示为，可它表示为是任意一列集是任意一列集.由属于上述集列中由属于上述集列中无限多个集那种元素全体所组成集称为这一集列无限多个集那种元素全体所组成集称为这一集列上限集或上极限记为上限集或上极限记为第14页实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程二辅导课程二第15页4 上限集与下限集（1 1）上限集）上限集设设 是任意一列集是任意一列集.由属于上述集列中无限由属于上述集列中无限多个集那种元素全体所组成集称为这一集列上多个集那种元素全体所组成集称为这一集列上限集或上极限记为限集或上极限记为 ，可它表示为，可它表示为 =易知：易知：第16页（2 2）下限集）下限集 设设 是是任任意意一一列列集集，对对于于集集列列那那种种除除有有限限个个下下标标外外，属属于于集集列列中中每每个个集集元元素素全全体体所所组组成成集集称称为为这这一一集集列列 下下限限集集或或下下极极限限，记记为为 ，可可它它表表示示为为 =第17页（）极限集（）极限集假如假如 ，则称集列收，则称集列收敛，并将这一集称为极限，记为敛，并将这一集称为极限，记为 易知：易知：假假如如 为为单单调调增增加加（降降低低）集集列列，即（），则收敛，且有即（），则收敛，且有=（=）。）。第18页二二 运算规律运算规律定理定理（参见书上第页定理）（参见书上第页定理）（交换律）（交换律）（结合律）（结合律）（分配律）（分配律）第19页定理定理2 2 对于基本集对于基本集X X中并集与交集余集运算，有中并集与交集余集运算，有 （1 1）=（2 2）=证证 设设 ，则则不不属属于于任任何何 ，故故属属于于每每个个C C ,所所 以以 ，可可 见见 ，同同 理理 可可 证证，右边是左边子集故得（右边是左边子集故得（1 1）由（由（1 1）取余集得）取余集得C(C()=C()=C()即即=C(C(）再将换成再将换成C C,即得（即得（2 2）。）。所所证证定定理理常常称称为为笛笛摩摩根根法法则则。它它提提供供一一个个对对偶偶方方法法，能能将已证实关于集性质转移到它们余集上去将已证实关于集性质转移到它们余集上去。第20页定理定理 对于集对于集E E与任意一组集，恒有分配律与任意一组集，恒有分配律 E E（）（）证证 任任取取 E E（），则则且且，于于是是知知且且属属于于某某个个 ，对对于于这这个个，有有 ，从从而而更更有有 ，这就证实了，这就证实了E E（）（）反反之之 ，设设，则则属属于于某某个个，从从而而且且（对于这个），故更有且，这就证实了（对于这个），故更有且，这就证实了 E E（）（）由所得两步结果便证实了定理中等式。由所得两步结果便证实了定理中等式。第21页第三节第三节 对等与基数对等与基数一一 对等对等 定定义义1 1 设设A,BA,B是是两两个个非非空空集集，若若依依一一定定法法则则f,f,对对每每个个x x A,A,在在B B中中有有唯唯一一确确定定元元y y与与之之对对应应，则则称称f f是是定定义义在在A A上上而而在在B B中中取取值值映映射射，记记成成 ，并并将将x x与与y y关关系系写写成成 。我们称。我们称A A为为f f定义域，定义域，为为f f值域。值域。设设给给定定映映射射 ，而而 ，称称f f为为到到上上映映射射；假假如如对对每每个个 ，仅仅有有唯唯一一 使使 ，称称f f为为 1-1 1-1 设设给给定定两两映映射射 ，称称映映射射 由由关关系系式式 ()()定义。定义。定义定义2 2 设设A,BA,B为两个非为两个非 空集，如有空集，如有1-11-1，到上，到上 存在，使存在，使 ，则称，则称A A与与B B对等，记成对等，记成 B B 第22页例例1 1 自然数全体与正偶数全体对等。自然数全体与正偶数全体对等。证实证实 令令 即可即可例例2 2 全体正奇数与全体正偶数对等全体正奇数与全体正偶数对等证实证实 令令 即可即可例例3 3 （0 0，1 1）与全体实数对等）与全体实数对等证实证实 令令 即可即可注意注意 例例1 1表明一个无限集能够和它一个表明一个无限集能够和它一个真子集对等，这正是无限集本质特征。真子集对等，这正是无限集本质特征。第23页定理定理1 1 对任何集合对任何集合A A、B B、C C，都有都有（1 1）（反射性反射性）A AA A （2 2）（对称性对称性）若若A AB B，则则B BA A（3 3）（传递性传递性）若若A AB,BB,BC,C,则则A AC C 由此可知，当两个有限集相互对等时，它们元素个素必相同。所以，我们能够用对等概念对两个无限集元个数进行比较 第24页二二 基基 数数 依据定理依据定理1 1，我们可把彼此对等集合，我们可把彼此对等集合归做一类。这么任何集合属于一类。我归做一类。这么任何集合属于一类。我们把两个彼此对等集合称为含有相同基们把两个彼此对等集合称为含有相同基数（亦称势、浓度），用数（亦称势、浓度），用 表示集合表示集合A A基基数数 定定义义3 3 设设 A A、B B是是两两个个集集合合，假假如如A A不不和和B B 对对等等，但但存存在在B B真真子子集集 ，有有A A ,则则称称A A比比B B有有较较小小基基数数（B B比比A A有有较较大大基基数数）并并记为记为 第25页定理定理 2 2（BernsteinBernstein定理）定理）设设 A A、B B是两个非空集合，假如是两个非空集合，假如存在存在 使使A T,B S,A T,B S,则则A B.A B.注注 利用基数说法是利用基数说法是:设设 ，则，则注意：这一定理提供了一个判定两个集合注意：这一定理提供了一个判定两个集合 对等一个工具，以后我们经惯用到对等一个工具，以后我们经惯用到。第26页第四节第四节 可数集可数集 本本节节我我们们主主要要介介绍绍一一类类非非常常主主要要无无限限集集可可数数集集。经经过过本本节节学学习习，我我们们要要掌掌握握可可数数集集概概念念及及其其运运算算性性质质，同同时时我我们还要知道一些惯用可数集。们还要知道一些惯用可数集。第27页一、可数集合概念一、可数集合概念 定义定义1 1 假如集假如集 A A与自然数集对等，就称它为与自然数集对等，就称它为可数集（可列集）。可数集（可列集）。显然，可数集一切元可用自然数编号使之成显然，可数集一切元可用自然数编号使之成为无穷序列形式为无穷序列形式:结论：集合结论：集合A A是可数集合充要条件是：是可数集合充要条件是：A A能够排成一个无穷序列能够排成一个无穷序列例例1 1 全体正偶数可数。全体正偶数可数。例例2 2 全体整数可数。全体整数可数。第28页二、可数集性质二、可数集性质定理定理1 1 任何无限集必含有可数子集。任何无限集必含有可数子集。证证-可取出可数子集可取出可数子集第29页定理定理2 2 可数集子集至多是可数。可数集子集至多是可数。即或为有限集或为可数集。即或为有限集或为可数集。定理定理3 3 设设A A为可数集，为可数集，B B 为有限集合或为有限集合或 可数集，则可数集，则 可数可数证实证实 （1）先设）先设 因为可数集总可排成无穷序列，因为可数集总可排成无穷序列，不妨设不妨设 或或 则则或或第30页（2 2）普通情形普通情形 可由已知结论得出可由已知结论得出定理定理4 4 可数个可数集并集是可数集。可数个可数集并集是可数集。证实证实 参见书第参见书第1717页定理页定理4 4。=（按下标递增）第31页例例3 3 全体有理数为可数集。全体有理数为可数集。实实际际上上，把把非非零零有有理理数数a a写写成成既既约约分分数数 形形式式，0,0,把把和和n=|p|+qn=|p|+q称称为为a a模模。现现要要求求0 0模模为为1 1，很很显显著著，模模为为n n有有理理数数个个数数是是有有限限，于于是是把把一一切切有有理理数数按按模模递递增增编编组组，其其模模相相同同编编在在同同一一组组，最最终终再再依依次次把把这这些些有有理理数数逐逐一一编编号号，但但重重复复者者除除去去不不计计。这这么么，每每一一个个有有理理数数得得到到了了一一个个确确定定号号码码。因因而而建建立立了了有有理理数数与与自自然然数数之间一一对应，这就证实了有理数集可数性之间一一对应，这就证实了有理数集可数性第32页定定理理 5 5 若若A A中中每每个个元元素素由由n n个个相相互互独独立立记记 号所决定号所决定,各记号跑遍一个可数集各记号跑遍一个可数集 A=A=，则则A A为可数集。为可数集。证实证实 用数学归纳法给予证实。用数学归纳法给予证实。若若n=1,n=1,则则定定理理显显然然成成立立。今今假假设设当当 n=mn=m时时定定理成立，由此证实当理成立，由此证实当n=m+1n=m+1时也成立。时也成立。设设A=A=，A A中中满满足足 元元素素，记记其其全全体为体为 ,则由假定则由假定 为一可数集而为一可数集而 故故A A可数可数第33页例例4 4 平面上坐标为有理点全体所成集 为一可数集。例5整系数多项式全体所成集为一 可数集。A=(x,y)|x,yA=(x,y)|x,y为有理数为有理数 所以全体所以全体n n次多项式可数，故整系数多项式次多项式可数，故整系数多项式可数可数第34页第五节第五节 不可数集不可数集一、概念一、概念 不是可数集无限集合称为不可数集合不是可数集无限集合称为不可数集合二、不可数集合二、不可数集合定理定理1 全体实数不可数。（见第全体实数不可数。（见第20页）页）用用c表示连续基数，表示连续基数，a表示可数集基数表示可数集基数定理定理2 任意区间均含有连续基数。任意区间均含有连续基数。第35页实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程三辅导课程三第36页第三节第三节 对等与基数对等与基数一一 对等对等 定定义义1 1 设设A,BA,B是是两两个个非非空空集集，若若依依一一定定法法则则f,f,对对每每个个x x A,A,在在B B中中有有唯唯一一确确定定元元y y与与之之对对应应，则则称称f f是是定定义义在在A A上上而而在在B B中中取取值值映映射射，记记成成 ，并并将将x x与与y y关关系系写写成成 。我们称。我们称A A为为f f定义域，定义域，为为f f值域。值域。设设给给定定映映射射 ，而而 ，称称f f为为到到上上映映射射；假假如如对对每每个个 ，仅仅有有唯唯一一 使使 ，称称f f为为 1-1 1-1 设设给给定定两两映映射射 ，称称映映射射 由由关关系系式式 ()()定义。定义。定义定义2 2 设设A,BA,B为两个非为两个非 空集，如有空集，如有1-11-1，到上，到上 存在，使存在，使 ，则称，则称A A与与B B对等，记成对等，记成 B B 第37页例例1 1 自然数全体与正偶数全体对等。自然数全体与正偶数全体对等。证实证实 令令 即可即可例例2 2 全体正奇数与全体正偶数对等全体正奇数与全体正偶数对等证实证实 令令 即可即可例例3 3 （0 0，1 1）与全体实数对等）与全体实数对等证实证实 令令 即可即可注意注意 例例1 1表明一个无限集能够和它一个表明一个无限集能够和它一个真子集对等，这正是无限集本质特征。真子集对等，这正是无限集本质特征。第38页定理定理1 1 对任何集合对任何集合A A、B B、C C，都有都有（1 1）（反射性反射性）A AA A （2 2）（对称性对称性）若若A AB B，则则B BA A（3 3）（传递性传递性）若若A AB,BB,BC,C,则则A AC C 由此可知，当两个有限集相互对等时，它们元素个素必相同。所以，我们能够用对等概念对两个无限集元个数进行比较 第39页二二 基基 数数 依据定理依据定理1 1，我们可把彼此对等集合，我们可把彼此对等集合归做一类。这么任何集合属于一类。我归做一类。这么任何集合属于一类。我们把两个彼此对等集合称为含有相同基们把两个彼此对等集合称为含有相同基数（亦称势、浓度），用数（亦称势、浓度），用 表示集合表示集合A A基基数数 定定义义3 3 设设 A A、B B是是两两个个集集合合，假假如如A A不不和和B B 对对等等，但但存存在在B B真真子子集集 ，有有A A ,则则称称A A比比B B有有较较小小基基数数（B B比比A A有有较较大大基基数数）并并记为记为 第40页定理定理 2 2（BernsteinBernstein定理）定理）设设 A A、B B是两个非空集合，假如是两个非空集合，假如存在存在 使使A T,B S,A T,B S,则则A B.A B.注注 利用基数说法是利用基数说法是:设设 ，则，则注意：这一定理提供了一个判定两个集合注意：这一定理提供了一个判定两个集合 对等一个工具，以后我们经惯用到对等一个工具，以后我们经惯用到。第41页第四节第四节 可数集可数集 本本节节我我们们主主要要介介绍绍一一类类非非常常主主要要无无限限集集可可数数集集。经经过过本本节节学学习习，我我们们要要掌掌握握可可数数集集概概念念及及其其运运算算性性质质，同同时时我我们还要知道一些惯用可数集。们还要知道一些惯用可数集。第42页一、可数集合概念一、可数集合概念 定义定义1 1 假如集假如集 A A与自然数集对等，就称它为与自然数集对等，就称它为可数集（可列集）。可数集（可列集）。显然，可数集一切元可用自然数编号使之成显然，可数集一切元可用自然数编号使之成为无穷序列形式为无穷序列形式:结论：集合结论：集合A A是可数集合充要条件是：是可数集合充要条件是：A A能够排成一个无穷序列能够排成一个无穷序列例例1 1 全体正偶数可数。全体正偶数可数。例例2 2 全体整数可数。全体整数可数。第43页二、可数集性质二、可数集性质定理定理1 1 任何无限集必含有可数子集。任何无限集必含有可数子集。证证-可取出可数子集可取出可数子集第44页定理定理2 2 可数集子集至多是可数。可数集子集至多是可数。即或为有限集或为可数集。即或为有限集或为可数集。定理定理3 3 设设A A为可数集，为可数集，B B 为有限集合或为有限集合或 可数集，则可数集，则 可数可数证实证实 （1）先设）先设 因为可数集总可排成无穷序列，因为可数集总可排成无穷序列，不妨设不妨设 或或 则则或或第45页（2 2）普通情形普通情形 可由已知结论得出可由已知结论得出定理定理4 4 可数个可数集并集是可数集。可数个可数集并集是可数集。证实证实 参见书第参见书第1717页定理页定理4 4。=（按下标递增）第46页例例3 3 全体有理数为可数集。全体有理数为可数集。实实际际上上，把把非非零零有有理理数数a a写写成成既既约约分分数数 形形式式，0,0,把把和和n=|p|+qn=|p|+q称称为为a a模模。现现要要求求0 0模模为为1 1，很很显显著著，模模为为n n有有理理数数个个数数是是有有限限，于于是是把把一一切切有有理理数数按按模模递递增增编编组组，其其模模相相同同编编在在同同一一组组，最最终终再再依依次次把把这这些些有有理理数数逐逐一一编编号号，但但重重复复者者除除去去不不计计。这这么么，每每一一个个有有理理数数得得到到了了一一个个确确定定号号码码。因因而而建建立立了了有有理理数数与与自自然然数数之间一一对应，这就证实了有理数集可数性之间一一对应，这就证实了有理数集可数性第47页定定理理 5 5 若若A A中中每每个个元元素素由由n n个个相相互互独独立立记记 号所决定号所决定,各记号跑遍一个可数集各记号跑遍一个可数集 A=A=，则则A A为可数集。为可数集。证实证实 用数学归纳法给予证实。用数学归纳法给予证实。若若n=1,n=1,则则定定理理显显然然成成立立。今今假假设设当当 n=mn=m时时定定理成立，由此证实当理成立，由此证实当n=m+1n=m+1时也成立。时也成立。设设A=A=，A A中中满满足足 元元素素，记记其其全全体为体为 ,则由假定则由假定 为一可数集而为一可数集而 故故A A可数可数第48页例例4 4 平面上坐标为有理点全体所成集 为一可数集。例5整系数多项式全体所成集为一 可数集。A=(x,y)|x,yA=(x,y)|x,y为有理数为有理数 所以全体所以全体n n次多项式可数，故整系数多项式次多项式可数，故整系数多项式可数可数第49页第五节第五节 不可数集不可数集一、概念一、概念 不是可数集无限集合称为不可数集合不是可数集无限集合称为不可数集合二、不可数集合二、不可数集合定理定理1 全体实数不可数。（见第全体实数不可数。（见第20页）页）用用c表示连续基数，表示连续基数，a表示可数集基数表示可数集基数定理定理2 任意区间均含有连续基数。任意区间均含有连续基数。第50页实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程四辅导课程四第51页例例3 3 全体有理数为可数集。全体有理数为可数集。实实际际上上，把把非非零零有有理理数数a a写写成成既既约约分分数数 形形式式，0,0,把把和和n=|p|+qn=|p|+q称称为为a a模模。现现要要求求0 0模模为为1 1，很很显显著著，模模为为n n有有理理数数个个数数是是有有限限，于于是是把把一一切切有有理理数数按按模模递递增增编编组组，其其模模相相同同编编在在同同一一组组，最最终终再再依依次次把把这这些些有有理理数数逐逐一一编编号号，但但重重复复者者除除去去不不计计。这这么么，每每一一个个有有理理数数得得到到了了一一个个确确定定号号码码。因因而而建建立立了了有有理理数数与与自自然然数数之间一一对应，这就证实了有理数集可数性之间一一对应，这就证实了有理数集可数性第52页定定理理 5 5 若若A A中中每每个个元元素素由由n n个个相相互互独独立立记记 号所决定号所决定,各记号跑遍一个可数集各记号跑遍一个可数集 A=A=，则则A A为可数集。为可数集。证实证实 用数学归纳法给予证实。用数学归纳法给予证实。若若n=1,n=1,则则定定理理显显然然成成立立。今今假假设设当当 n=mn=m时时定定理成立，由此证实当理成立，由此证实当n=m+1n=m+1时也成立。时也成立。设设A=A=，A A中中满满足足 元元素素，记记其其全全体为体为 ,则由假定则由假定 为一可数集而为一可数集而 故故A A可数可数第53页例例4 4 平面上坐标为有理点全体所成集 为一可数集。例5整系数多项式全体所成集为一 可数集。A=(x,y)|x,yA=(x,y)|x,y为有理数为有理数 所以全体所以全体n n次多项式可数，故整系数多项式次多项式可数，故整系数多项式可数可数第54页第五节第五节 不可数集不可数集一、概念一、概念 不是可数集无限集合称为不可数集合不是可数集无限集合称为不可数集合二、不可数集合二、不可数集合定理定理1 全体实数不可数。（见第全体实数不可数。（见第20页）页）用用c表示连续基数，表示连续基数，a表示可数集基数表示可数集基数定理定理2 任意区间均含有连续基数。任意区间均含有连续基数。第55页实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程六辅导课程六第56页定义定义 4 4 设设E E为为n n维空间维空间 中一点集，有中一点集，有（1 1）E E全全体体内内点点所所成成集集合合，称称为为E E开开核核 或内部，记为或内部，记为 （2 2）E E全全体体界界点点所所成成集集合合，称称为为E E边边界界，记为记为（3 3）E E全体聚点所成集合，称为全体聚点所成集合，称为E E导集，导集，记记为为（4 4）称为称为E E闭包，记为闭包，记为第57页例例1 1 设设 是普通平面，是普通平面，求求解解第58页 例例2 2 设设 ，则，则 充要条件是充要条件是 对任意邻域对任意邻域 有有证实证实 因为因为 必要性显然必要性显然下证充分性下证充分性 有假设有假设对任意邻域有对任意邻域有若若 ，则，则 由聚点定义由聚点定义 第59页定理定理2 2 设设 则则定理定理3 3 定理定理4 4 设设 E E是一个有界无限集合，则是一个有界无限集合，则 E E 最少有一个聚点。最少有一个聚点。定理定理5 5 任何非空真子集最少有一个界点任何非空真子集最少有一个界点（参见书上第参见书上第3737页页）第60页第三节第三节 开集开集 闭集闭集 完备集完备集定义定义1 1 设设E E为为 中一点集，若中一点集，若E E每个每个 点都是内点，则称点都是内点，则称E E为开集。为开集。例例 1 1 开区间开区间 ，空集及，空集及R R均为开集。均为开集。定义定义2 2 设设E E为为 中一点集，若中一点集，若E E每个每个 聚点都属于聚点都属于E,E,则称则称E E为闭集。为闭集。例例 2 2 闭区间闭区间a,ba,b，空集及，空集及R R均为闭集。均为闭集。第61页定理定理1 E1 E为开集充要条件是为开集充要条件是 。定理定理2 2 非空集非空集E E为闭集充要条件是为闭集充要条件是定理定理3 3 对任何对任何 是开集，是开集，和和 是闭集是闭集例例 点集点集 为闭集充要条件是为闭集充要条件是证实证实 显然显然又又从而从而充分性显然充分性显然第62页定理定理 4 4 设设E E为开集，则为开集，则CECE是闭集；是闭集；设设E E为闭集，则为闭集，则CECE是开集。是开集。证实证实 第一部分：设第一部分：设E E为开集，而为开集，而 是是CECE任一聚点，那么，任一聚点，那么，任一邻域都有任一邻域都有不属于不属于E E点。这么，点。这么，就不可能是就不可能是E E内点，从而不属于内点，从而不属于E,E,也就是也就是 。第第二二部部分分：设设 E E为为闭闭集集，对对任任一一 ，假假如如 不不是是CECE内内点点，则则 任任一一邻邻域域内内最最少少有有一一个属于个属于E E点，而且这点又必定异于点，而且这点又必定异于 （因因 ），这这么么 就就是是E E聚聚点点，从从而而必必属属于于E,E,这这和和假设矛盾。假设矛盾。第63页定理定理5 5 开集有以下性质开集有以下性质 （1 1）任意个开集并是开集；）任意个开集并是开集；（2 2）有限个开集交是开集。）有限个开集交是开集。证证 （1 1）设设 是是一一组组开开集集，令令 。任任取取 ，则有某个，则有某个 故故 内内点点，从从而而更是更是G G内点。故内点。故G G是开集。是开集。（2 2）设）设 为开集。令为开集。令 ，任取，任取 则则对对每每个个k=1,2,nk=1,2,n有有 ，于于是是有有 邻邻域域 ，k=1,2,nk=1,2,n使使 ，令令 ，则则 ，可可见见 是是内内点点，这这就就证证实实了了 G G为为开集。开集。第64页实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程七辅导课程七第65页 注意注意 无限个开集交不一定是开集。无限个开集交不一定是开集。比如比如 令令 则则 ，不是开集。，不是开集。第66页定理定理6 6 闭集有以下性质：闭集有以下性质：（1 1）任意个闭集交是闭集；任意个闭集交是闭集；（2 2）有限个闭集并是闭集。有限个闭集并是闭集。证证 设为设为 闭集类，则闭集类，则 为开为开集类。据定理集类。据定理3 3 据定理据定理5 5（1 1），任意指标集），任意指标集I I，为开集，为开集，从而从而 是开集，是开集，是闭集是闭集一样，对于有限指标集一样，对于有限指标集I I，据定理，据定理3 3（2 2）即得结论（即得结论（2 2）。定理得证。）。定理得证。第67页注意注意 无限个闭集并集可能不是闭集无限个闭集并集可能不是闭集比如比如 取取 每个每个 都是闭集，但它们并都是闭集，但它们并 不是闭集。不是闭集。定义定义3 3 若若 ,则称则称E E为完备集或为完备集或 完全集完全集。能能够够证证实实，在在数数直直线线一一切切集集中中，只只有有 空空集与整个直线才是既开又闭集合。集与整个直线才是既开又闭集合。第68页第四节第四节直线上开集、闭集直线上开集、闭集 及完备集结构及完备集结构 本本节节主主要要讨讨论论直直线线上上开开集集、闭闭集集结结构构。经经过过学学习习我我们们要要掌掌握握直直线线上上开开集集、闭闭集集结结构构，同同时时要要了解康托尔集主要性质。了解康托尔集主要性质。在在本本节节中中，我我们们将将详详细细讨讨论论直直线线上上有有界界开开集集结结构，以下考虑点集都是有界集。构，以下考虑点集都是有界集。第69页 设设G G是是任任一一非非空空有有界界开开集集。任任取取 ，由由开开集集定定义义，存存在在开开区区间间使使 。显显然然，这这种种开开区区间间有有没没有有穷穷多多个个，把把它它们们并并记记为为U U，那那么么能能够够证证实实，U U是是含含有有 这这种种开开区区间间最最大大者者。也也就就是是说说，令令 ，则有，则有，（1 1），（2 2），。我们把我们把G G中含有性质（中含有性质（1 1），（），（2 2）区间称为）区间称为G G组成区间。组成区间。由上所述，由上所述，G G中任一点必属于中任一点必属于G G某一组成区间。某一组成区间。第70页定定理理1 1 有有界界非非空空开开集集G G可可表表示示成成有有限限个个或或可可数数个个互互不不相相交交组组成成区区间间并并。当当非非空空开开集集G G表表示示成互不相交开区间并时，这些区间必是组成区间。成互不相交开区间并时，这些区间必是组成区间。证证 （1）G G每每一一点点都都对对应应有有一一个个G G组组成成区区间间，因而因而G G可表示成一些组成区间并：。可表示成一些组成区间并：。（2）G G任任意意两两个个组组成成区区间间若若有有公公共共点点，则则必必重重合合，不不然然就就不不相相交交。因因而而G G可可表表示示成成一一些些互不相交组成区间并。互不相交组成区间并。第71页（3 3）由由第第二二节节结结论论知知道道，这这些些区区间间是是至至多多可列（可列（G G组成区间集与有理数集子集一一对应）。组成区间集与有理数集子集一一对应）。（4 4）当当 非非空空开开集集G G表表示示成成互互不不相相交交开开区区间间并时，这些区间必是组成区间。并时，这些区间必是组成区间。该定理提出表示，以后将称为该定理提出表示，以后将称为G G结构表示。结构表示。注注 对于无界开集情形，定理对于无界开集情形，定理1 1结论本质上也是结论本质上也是正确，只是要把正确，只是要把 与与 都算成组成区间表现形式都算成组成区间表现形式 第72页 定定义义1 1 设设A A是是直直线线上上闭闭集集，称称A A余余集集组组成成区区间间为为A A余区间或邻接区间。余区间或邻接区间。我们又可得到闭集结构以下：我们又可得到闭集结构以下：定定理理2 2 直直线线上上闭闭集集或或者者是是全全直直线线，或或者者是是从从直直线线上上挖挖掉掉有有限限个个或或可可数数个个互互不不相相交交开开区区间间所所得到集。得到集。最最终终，我我们们举举出出一一个个闭闭集集例例子子，它它是是不不可可数数，但但不不含含有有任任何何区区间间。这这个个集集将将称称为为康康脱脱三三分分集集，今后将不止一次用到。今后将不止一次用到。第73页例例1 1 康脱三分集康脱三分集 第一步第一步 将区间三等分，并除去中间开区间将区间三等分，并除去中间开区间 ，剩下，剩下2 2个长为个长为 闭区间闭区间 第二步第二步 将剩下将剩下2 2个闭区间三等分，并除去中间个闭区间三等分，并除去中间开区间开区间 ，剩下，剩下 个长为个长为 闭区间闭区间第74页第三步第三步 将剩下将剩下 个闭区间各自三等分，并个闭区间各自三等分，并除去中间开区间除去中间开区间 ，剩下，剩下 个长为个长为 闭区间闭区间第第n n步步 将剩下将剩下 个闭区间各自三等分，个闭区间各自三等分，并除去中间开区间并除去中间开区间 ，剩下，剩下 个长为个长为 闭区间闭区间第75页这么便得到所谓康脱三分集P与开集 ：第76页P P含有以下性质：含有以下性质：（1 1）P P 是完备集；是完备集；显然显然 是闭集，只须证实是闭集，只须证实 无孤立点。无孤立点。假假定定相相反反，有有一一孤孤立立点点 。因因为为0 0与与1 1显显然然是是聚点，故能够设聚点，故能够设 。那么，在。那么，在中存在开区间中存在开区间 与与 ，其中均无，其中均无点点，即即 ，且且 从从而而可可知知，将将分分别别含含在在 某某两两个个组组成成区区间间 中，于是中，于是 将成为将成为某某两两个个组组成成区区间间公公共共端端点点。但但据据 作作法法，这这是不可能。是不可能。第77页 （2 2）不含任何区间，即不含任何区间，即P P没有内点；没有内点；实实际际上上，由由P P作作法法中中知知道道，“去去掉掉”手手续续进进行行到到第第n n次次为为止止时时，剩剩下下 个个长长度度是是 相相互互隔隔离离闭闭区区间间，所所以以任任何何一一点点 必必含含在在这这 个个闭闭区区间间某某一一个个里里面面，从从而而在在 任任一一邻邻域域 内内最最少少有有一一点点不不属属于于P,P,但但 ，故不可能是，故不可能是P P内点。内点。第78页（3 3）是不可数。是不可数。用反证法用反证法 设设 是可数，将是可数，将 中点编号中点编号 成点列成点列故故 中任意一点必在上述点列中出现。中任意一点必在上述点列中出现。与与 中应有一个闭区间不含点中应有一个闭区间不含点 ，用，用 表示表示这个闭区间。将这个闭区间。将 三等分所得左与右两个闭三等分所得左与右两个闭区间中，应有一个不含区间中，应有一个不含 ，用，用 表示这个闭表示这个闭区间。然后把区间。然后把 三等分，记不含三等分，记不含 左或右左或右那个闭区间为那个闭区间为 ，如此等等，这么，据归纳，如此等等，这么，据归纳法我们得到一个闭区间列法我们得到一个闭区间列 第79页=易见易见 长度长度 据区间套定理，必有点据区间套定理，必有点 可是，可是，是是 等端点集聚点，等端点集聚点，因而也是闭集因而也是闭集 聚点，故聚点，故 。因为上面已指出因为上面已指出 这将是矛盾。这将是矛盾。这么，我们证实了：这么，我们证实了：是不可数完备集是不可数完备集 （4 4）P P有连续基数有连续基数第80页实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程八辅导课程八第81页第三章第三章 勒贝格测度勒贝格测度 从从本本章章开开始始，我我们们将将讨讨论论欧欧几几里里德德空空间间点点集集测测度度理理论论。测测度度概概念念在在 中中是是长长度度概概念念推推广广，在在 中中是是面面积积概概念念推推广广，在在 中中是是体体积积概概念念推推广广。我我们们首首先先介介绍绍外外测测度度、内内测测度度等等概概念念，然然后后采采取取卡卡拉拉皆皆屋屋铎铎利利方方法法在在点点集集论论基基础础上上直直接接定定义义中中L L测测度度，最最终终讨讨论论可可测测集集性性质质和和可可测测集集类。类。第82页 第一节第一节 外外 测测 度度 本本节节主主要要讨讨论论有有界界点点集集外外测测度度及及其其性性质质。经经过过本本节节学学习习，我我们们要要掌掌握握外外测测度度概概念念及及其其性性质质，知知道道区区间间外外测测度度就就是是区区间间体体积积，可可数数点点集集外外测度为零。测度为零。第83页定义1 设 为 任一点集，对于每一列覆盖 开区间，作出它体积和 （能够等于 ，不一样区间列普通有不一样 ），全部这一切 组成一个下方有界数集，它下确界（由 完全决定）称为 勒贝格外测度，简称 外测度或外测度，记为 ，即=第84页定理定理1 1 外测度含有以下性质：外测度含有以下性质：（1 1），当，当 为空集时，则为空集时，则 =0=0（2 2）设）设 ，则，则 ；(单调性）单调性）（3 3）（次可数可加性）（次可数可加性）证实（证实（1 1）显然成立。）显然成立。（2 2）证证实实：设设 ，则则任任一一列列覆覆盖盖 开区间开区间 一定也是覆盖一定也是覆盖 ，因而因而，第85页（3 3）证实：）证实：任给任给 ，由外测度定义，由外测度定义对每个对每个 都有一列开区间都有一列开区间 使，使，=第86页证实证实 设设对任意对任意 ，令，令由由 任意性任意性例例1 1 单点集外测度为单点集外测度为0 0第87页例例2 2 可数集外测度为可数集外测度为0 0。由次可数可加性即得结论由次可数可加性即得结论例例3 3 对于区间对于区间I I 有有第88页实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程九辅导课程九第89页第二节第二节 可可 测测 集集有界可测集有界可测集 普通可测集普通可测集可测集性质可测集性质 第90页定定义义1 1 设设E E为为 中中有有界界集集，为为任任一一包包含含E E开区间，则开区间，则 称为称为E E内测度，记为内测度，记为定定义义2 2 设设E E为为 中中有有界界集集，假假如如 =
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