线性代数矩阵的初等变换与线性方程组省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第 三 章矩阵初等变换与线性方程组第1页 第一节第一节 矩阵初等变换矩阵初等变换第2页 本章先讨论矩阵初等变换，建立矩阵秩概本章先讨论矩阵初等变换，建立矩阵秩概念念,并提出求秩有效方法再利用矩阵秩反过来并提出求秩有效方法再利用矩阵秩反过来研究齐次线性方程组有非零解充分必要条件和非研究齐次线性方程组有非零解充分必要条件和非齐次线性方程组有解充分必要条件，并介绍用初齐次线性方程组有解充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组方法等变换解线性方程组方法初等变换初等变换秩秩 初等初等 方阵方阵关键概念关键概念主要工具主要工具求解线性方程组求解线性方程组第3页引例引例一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解以下方程组过程分析：用消元法解以下方程组过程第4页 2 3 2 2+53(i)交换方程次序交换方程次序 (ii)以数以数k(0)乘某个方程乘某个方程(iii)一个方程加上另一个方一个方程加上另一个方程程 k 倍倍均可逆均可逆2同同 解解同同解解变变换换阶梯形阶梯形 0=0自由未知量自由未知量第5页小结：小结：1上述解方程组方法称为消元法上述解方程组方法称为消元法 2一直把方程组看作一个整体变形，用到如一直把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换下三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于数乘某个方程；）以不等于数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程）一个方程加上另一个方程k倍倍（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）（以替换）（以替换）3上述三种变换都是可逆也就是说上述三种变换都是可逆也就是说第6页因为三种变换都是可逆，所以变换前方程因为三种变换都是可逆，所以变换前方程组与变换后方程组是组与变换后方程组是同解同解故这三种变换是故这三种变换是同同解变换解变换 因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组系数因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组系数和常数进行运算，未知量并未参加运算所以对和常数进行运算，未知量并未参加运算所以对方程组变换完全能够转换为对方程组系数矩阵方程组变换完全能够转换为对方程组系数矩阵(方方程组（程组（1）增广矩阵）增广矩阵B）变换即：）变换即：第7页若记若记 2 3 22 2+53(行行)梯形阵梯形阵ji iijk抽象到了矩阵！抽象到了矩阵！第8页定义定义 下面三种变换称为矩阵初等行变换下面三种变换称为矩阵初等行变换:二、矩阵初等变换二、矩阵初等变换1、初等行变换和初等变换、初等行变换和初等变换第9页定义定义 矩阵矩阵初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等初等变换变换 初等变换逆变换仍为初等变换初等变换逆变换仍为初等变换,且变换类型相且变换类型相同同 同理可定义矩阵初等列变换同理可定义矩阵初等列变换(所用记号是把所用记号是把“r”换成换成“c”)逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换利用初等变换能够将任一矩阵化为梯形阵利用初等变换能够将任一矩阵化为梯形阵唯一唯一?不不 !作用第10页等价关系性质：等价关系性质：含有上述三条性质关系称为等价含有上述三条性质关系称为等价比如，两个线性方程组同解，比如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价2、矩阵等价、矩阵等价第11页用矩阵初等行变换用矩阵初等行变换 解方程组（解方程组（1）：）：第12页第13页那么等价最终形状是什么呢？那么等价最终形状是什么呢？第14页特点：特点：（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线下方全为零；下方全为零；（2）、每个台阶）、每个台阶 只只 有一行，台阶数即是有一行，台阶数即是非零行行数，阶梯线竖线后面第一个元素为非非零行行数，阶梯线竖线后面第一个元素为非零元，即非零行第一个非零元零元，即非零行第一个非零元3、矩阵行阶梯形、行最简形、标准形、矩阵行阶梯形、行最简形、标准形第15页注意：注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定，行阶行最简形矩阵是由方程组唯一确定，行阶梯形矩阵行数也是由方程组唯一确定梯形矩阵行数也是由方程组唯一确定 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标标准形准形.1 5其它元素都为零其它元素都为零列列，且这些非零元所在，且这些非零元所在零行第一个非零元为零行第一个非零元为即非即非还称为行最简形矩阵，还称为行最简形矩阵，行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵B第16页特点：特点：全部与矩阵全部与矩阵 等价矩阵组成一个集合，称为等价矩阵组成一个集合，称为一个一个等价类等价类，标准形，标准形 是这个等价类中最简单矩是这个等价类中最简单矩阵阵.任一个矩阵任一个矩阵都有标准形都有标准形唯一！唯一！第17页比如，比如，第18页三、小结三、小结1.1.初等行初等行(列列)变换变换初等变换逆变换仍为初等变换初等变换逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同3.3.矩阵等价含有性质矩阵等价含有性质2.2.初等变换初等变换结论结论 矩阵矩阵 A 与与 B 等价等价 A与与 B 有相同标准形有相同标准形第19页 第二节第二节 初等矩阵初等矩阵第20页 等价等价三类三类行梯形阵行梯形阵 非零行非零行 数数 r 行最简形行最简形对应方程组对应方程组？标准型标准型 可逆可逆唯一唯一解解同解方程组同解方程组r 唯唯一一自由未知量自由未知量nr 个个多出方程多出方程 经经行行变换均可化为变换均可化为梯形阵梯形阵最简形最简形？与解无关与解无关复习初等变换初等变换第21页定义定义 由单位矩阵由单位矩阵 经过经过一次一次初等变换得到方阵初等变换得到方阵称为称为初等矩阵初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵初等变换是矩阵一个基本运算，应用广矩阵初等变换是矩阵一个基本运算，应用广泛泛.一、初等矩阵概念一、初等矩阵概念第22页这个初等矩阵有什么作用呢？我们看一个实际例这个初等矩阵有什么作用呢？我们看一个实际例子子。第23页单位阵交换单位阵交换1、2两行两行设设看有什么改变？看有什么改变？第24页作用！作用！作用！作用！第25页第26页第27页第28页第29页 定理定理1 1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 左边乘以对应左边乘以对应 阶初阶初等矩阵；对等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在施行一次初等列变换，相当于在 右边乘以对应右边乘以对应 阶初等矩阵阶初等矩阵.二、初等矩阵应用二、初等矩阵应用初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵可知初等逆矩阵也是初等矩阵！即：可知初等逆矩阵也是初等矩阵！即：第30页第31页 定理定理2 2 设设A A为可逆方阵，则存在有限个初等为可逆方阵，则存在有限个初等方阵方阵证证即即第32页利用初等变换求逆阵方法：利用初等变换求逆阵方法：第33页 解解例例第34页第35页能够验证能够验证?例2 求矩阵标准形并用初等矩阵表示初等变换。A 可逆可逆第36页逆阵应用求解矩阵方程即即 将将 A 变成变成 E 初等变换就是将初等变换就是将 B 变为变为 X 初等变换初等变换第37页三、小结三、小结1.1.单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵.一次初等变换一次初等变换2.利用初等变换求逆阵步骤是利用初等变换求逆阵步骤是:逆阵求法逆阵求法用伴随阵求用伴随阵求用定义求用定义求用初等变换求用初等变换求第38页第三节第三节 矩阵秩矩阵秩第39页一、矩阵秩概念一、矩阵秩概念(矩阵秩矩阵秩)第40页秩秩是是矩矩阵阵一一个个主主要要数数字字特特征征显然显然:R(O)=0;r.r.只要只要A不是零阵不是零阵,就有就有 R(A)0.而且而且:第41页例例1解解例例 2解解第42页例例3 3解解计算计算A3阶子式，阶子式，第43页另解另解显然，非零行行数为显然，非零行行数为2，此方法简单！此方法简单！第44页问题：问题：经过行变换矩阵秩变吗？经过行变换矩阵秩变吗？证证二、矩阵秩求法二、矩阵秩求法我们只要看三种行初等变换下矩阵秩变吗？我们只要看三种行初等变换下矩阵秩变吗？.,梯形梯形等行变换把他变为行阶等行变换把他变为行阶总可经过有限次初总可经过有限次初因为对于任何矩阵因为对于任何矩阵nmA()().,1 BRARBA=则则若若定理定理第45页第46页第47页 经一次初等行变换矩阵秩不变，即可知经有经一次初等行变换矩阵秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵秩仍不变限次初等行变换矩阵秩仍不变证毕证毕第48页初等变换求矩阵秩方法：初等变换求矩阵秩方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行行数就是矩阵秩行阶梯形矩阵中非零行行数就是矩阵秩.例例4解解第49页由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知第50页例例5 5解解分析：分析：第51页第52页第53页解解例6设第54页定义定义3 若方阵若方阵A秩与其阶数相等，秩与其阶数相等，满秩满秩非奇异非奇异 降秩降秩奇异奇异 A为满秩阵为满秩阵 A标准形为同阶单位阵标准形为同阶单位阵.即即满秩阵行列式？满秩阵行列式？则称则称A为为满秩矩阵满秩矩阵；不然称不然称 A 为为降秩矩阵降秩矩阵.三、满秩矩阵三、满秩矩阵关于秩一些性质总结，同学们请看书本关于秩一些性质总结，同学们请看书本P70。.第55页三、小结三、小结(2)(2)初等变换法初等变换法1.矩阵秩概念矩阵秩概念2.求矩阵秩方法求矩阵秩方法(1)(1)利用定义利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行行数就是矩阵秩阶梯形矩阵中非零行行数就是矩阵秩).(即寻找矩阵中非零子式最高阶数即寻找矩阵中非零子式最高阶数);第56页第四节第四节 线性方程组解线性方程组解第57页一、线性方程组有解判定条件一、线性方程组有解判定条件问题：问题：证证必要性必要性.(),nDnAnAR阶非零子式阶非零子式中应有一个中应有一个则在则在设设=(),依据克拉默定理依据克拉默定理个方程只有零解个方程只有零解所对应所对应nDn从而从而第58页这与原方程组有非零解相矛盾，这与原方程组有非零解相矛盾，().nAR 即即充分性充分性.(),nrAR=设设.个自由未知量个自由未知量从而知其有从而知其有rn-任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，即可得方程组一个非零解即可得方程组一个非零解.第59页证证必要性必要性,有解有解设方程组设方程组bAx=()(),BRAR 设设则则B B行阶梯形矩阵中最终一个非零行对应矛盾方行阶梯形矩阵中最终一个非零行对应矛盾方程，程，这与方程组有解相矛盾这与方程组有解相矛盾.()().BRAR=所以所以第60页并令并令 个自由未知量全取个自由未知量全取0 0，rn-即可得方程组一个解即可得方程组一个解充分性充分性.()(),BRAR=设设()()(),nrrBRAR=设设证毕证毕其余其余 个作为自由未知量个作为自由未知量,把这把这 行第一个非零元所对应未知量作为行第一个非零元所对应未知量作为非自由未知量非自由未知量,第61页小结小结有唯一解有唯一解bAx=()()nBRAR=()()nBRAR=有没有穷多解有没有穷多解.bAx=齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；简形矩阵，便可写出其通解；第62页例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解二、线性方程组解法二、线性方程组解法第63页即得与原方程组同解方程组即得与原方程组同解方程组第64页由此即得由此即得第65页例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，故方程组无解故方程组无解第66页例例 求解非齐次方程组通解求解非齐次方程组通解解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换进行初等变换第67页故方程组有解，且有故方程组有解，且有所以方程组通解为所以方程组通解为第68页例例 解证解证对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，方程组增广矩阵为方程组增广矩阵为第69页第70页因为原方程组等价于方程组因为原方程组等价于方程组由此得通解：由此得通解：第71页例例 设有线性方程组设有线性方程组解解第72页第73页其通解为其通解为第74页这时又分两种情形：这时又分两种情形：第75页()()nBRAR=()()nBRAR=有没有穷多解有没有穷多解.bAx=非齐次线性方程组非齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组三、小结三、小结第76页