多元函数的极值及其求法省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第八章 第八节第八节一、多元函数极值一、多元函数极值 二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数极值及其求法多元函数极值及其求法第1页一、一、多元函数极值多元函数极值 定义定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).比如比如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值点称为极值点.某邻域内有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页说明说明:使偏导数都为 0 点称为驻点.比如,定理定理1(必要条件)函数偏导数,证证:据一元函数极值必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页时,含有极值定理定理2(充分条件)某邻域内含有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A0 时取极小值.2)当3)当证实见 第九节(P65).时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页例例1.1.求函数解解:第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 判别判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组极值.求二阶偏导数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页例例2.讨论函数及是否取得极值.解解:显然(0,0)都是它们驻点,在(0,0)点邻域内取值,所以 z(0,0)不是极值.所以为极小值.正正负负0在点(0,0)而且在(0,0)都有 可能为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页二、最值应用问题二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可到达最值 最值可疑点 驻点边界上最值点尤其尤其,当区域内部最值存在,且只有一个只有一个极值点P 时,为极小 值为最小 值(大大)(大大)依据机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页例例3 3.解解:设水箱长,宽分别为 x,y m,则高为则水箱所用材料面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2依据实际问题可知最小值在定义域内应存在,有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样尺寸时,才能使用料最省?所以可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页例例4.有一宽为 24cm 长方形铁板,把它折起来做成解解:设折起来边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形水槽,倾角为,积最大.为问怎样折法才能使断面面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页令解得:由题意知,最大值在定义域D 内到达,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页三、条件极值三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值:条件极值求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制比如,转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法 1 所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数极值问题,极值点必满足设 记比如比如,故 故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值方法称为拉格朗日乘数法.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件情形.设解方程组可得到条件极值可疑点.比如比如,求函数下极值.在条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页例例5.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解解:设 x,y,z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？长方体开口水箱,试问 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页得唯一驻点由题意可知合理设计是存在,长、宽为高 2 倍时，所用材料最省.所以,当高为机动 目录 上页 下页 返回 结束 思索思索:1)当水箱封闭时,长、宽、高尺寸怎样?提醒提醒:利用对称性可知,2)当开口水箱底部造价为侧面二倍时,欲使造价最省,应怎样设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸怎样?提醒提醒:长、宽、高尺寸相等.第17页内容小结内容小结1.函数极值问题函数极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.2.函数条件极值问题函数条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)普通问题用拉格朗日乘数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页设拉格朗日函数如求二元函数下极值,解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值大小 依据问题实际意义确定最值第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数最值问题函数最值问题在条件求驻点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点 C,使ABC 面积 S最大.解答提醒解答提醒:设 C 点坐标为(x,y),思索与练习思索与练习则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形面积最大.点击图中任意点动画开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页 作业作业 P61 3,4,8,9,10 习题课 目录 上页 下页 返回 结束 第22页备用题备用题 1.求半径为R 圆内接三角形中面积最大者.解:设内接三角形各边所对圆心角为 x,y,z,则它们所对应三个三角形面积分别为设拉氏函数解方程组,得故圆内接正三角形面积最大,最大面积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页为边面积最大四边形,试列出其目标函数和约束条件?提醒提醒:目标函数目标函数:约束条件约束条件:答案答案:即四边形内接于圆时面积最大.2.求平面上以机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页