2018中考数学压轴题汇编因动点产生的梯形问题人教版有答案.docx

1.5 因动点产生的梯形问题 例1 2018年上海市徐汇区中考模拟第24题 如图1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A(1,0)和点B(3, 0)，D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5, 6) （1）求抛物线的解析式； （2）点E在x轴上，且AEC和AED相似，求点E的坐标； （3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标例2 2018年上海市金山区中考模拟第24题 如图1，在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点A，点B是这条直线上第一象限内的一个点，过点B作x轴的垂线，垂足为D，已知ABD的面积为18 （1）求点B的坐标； （2）如果抛物线 经过点A和点B，求抛物线的解析式； （3）已知（2）中的抛物线与y轴相交于点C，该抛物线对称轴与x轴交于点H，P是抛物线对称轴上的一点，过点P作PQ/AC交x轴于点Q，如果点Q在线段AH上，且AQCP，求点P的坐标例3 2018年上海市松江区中考模拟第24题 已知直线y3x3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线yax22xc经过点A，B （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形 求点D的坐标； 将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y3x3交于点E，若 ，求四边形BDEP的面积例4 2017年衢州市中考第24题 如图1，把两个全等的RtAOB和RtCOD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F抛物线yax2bxc经过O、A、C三点（1）求该抛物线的函数解析式； （2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），AOB在平移的过程中与COD重叠部分的面积记为S试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由例5 2017年义乌市中考第24题 已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B （1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标； （2）如图1，在直线 y2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒 个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN/x轴，交PB于点N 将PMN沿直线MN对折，得到P1MN 在动点M的运动过程中，设P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式1.5 因动点产生的梯形问题 例1 2018年上海市徐汇区中考模拟第24题 如图1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A(1,0)和点B(3, 0)，D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5, 6) （1）求抛物线的解析式； （2）点E在x轴上，且AEC和AED相似，求点E的坐标； （3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标 动感体验 请打开几何画板文件名“15徐汇24”，拖动点E在x轴上运动，可以体验到，直线CA和直线DA与x轴的夹角都是45，CAEEAD存在两种情况 思路点拨 1由A、C、D三点的坐标，可以得到直线CA、直线DA与x轴的夹角都是45，因此点E不论在点A的左侧还是右侧，都有CAEDAE因此讨论AEC和AED相似，要分两种情况每种情况又要讨论对应边的关系 2因为CAD是直角，所以直角梯形存在两种情况 满分解答 （1）如图1，因为抛物线与x轴交于点A(1,0)和点B(3, 0)，设ya(x1)(x3) 将点C(5, 6)代入ya(x1)(x3)，得12a6 解得 所以抛物线的解析式为 （2）由 ，得顶点D的坐标为(1,2) 由A(1,0)、C(5, 6)、D(1,2)，得CAO45，DAO45，AC ，AD 因此不论点E在点A的左侧还是右侧，都有CAEDAE 图2 图3 如果CAEDAE，那么它们全等，这是不可能的 如图2，图3，如果CAEEAD，那么AE2ACAD 所以AE 所以点E的坐标为 ，或 （3）因为CAD90，因此直角梯形存在两种情况 如图4，当DF/AC时，由 ，得 解得DF 此时F、D两点间的水平距离、竖直距离都是2，所以F(3,0) 如图5，当CF/AD时，由 ，得 解得CF 此时F、C两点间的水平距离、竖直距离都是 ，所以F 图4 图5 考点伸展 如果第（3）题改为：点F在抛物线上，点F和点A、C、D构成梯形，求点F的坐标，那么就要分三种情况讨论了 如图4，当DF/AC时，点F就是点B(3, 0) 如图6，当CF/AD时，FHCH设F ，那么 解得x5此时点F的坐标为(5,16) 如图7，当AF/CD时， 所以 解得x7此时点F的坐标为(7,16) 图6 图7 例2 2018年上海市金山区中考模拟第24题 如图1，在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点A，点B是这条直线上第一象限内的一个点，过点B作x轴的垂线，垂足为D，已知ABD的面积为18 （1）求点B的坐标； （2）如果抛物线 经过点A和点B，求抛物线的解析式； （3）已知（2）中的抛物线与y轴相交于点C，该抛物线对称轴与x轴交于点H，P是抛物线对称轴上的一点，过点P作PQ/AC交x轴于点Q，如果点Q在线段AH上，且AQCP，求点P的坐标 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“14金山24”，拖动点P运动，可以体验到，AQCP有两种情况，四边形CAQP为平行四边形或等腰梯形思路点拨 1ABD是等腰直角三角形，根据面积可以求得直角边长，得到点B的坐标 2AQCP有两种情况，四边形CAQP为平行四边形或等腰梯形 平行四边形的情况很简单，等腰梯形求点P比较复杂，于是我们要想起这样一个经验：平行于等腰三角形底边的直线截两腰，得到一个等腰梯形和一个等腰三角形满分解答 （1）直线yx2与x轴的夹角为45，点A的坐标为(2, 0) 因为ABD是等腰直角三角形，面积为18，所以直角边长为6 因此OD4所以点B的坐标为(4, 6) （2）将A(2, 0)、B (4, 6)代入 ， 得 解得b2，c6 所以抛物线的解析式为 （3）由 ，得抛物线的对称轴为直线x2，点C的坐标为(0, 6) 如果AQCP，那么有两种情况： 如图2，当四边形CAQP是平行四边形时，AQ/CP，此时点P的坐标为(2, 6) 如图3，当四边形CAQP是等腰梯形时，作AC的垂直平分线交x轴于点F，那么点P在FC上 设点F的坐标为(x, 0)，根据FA2FC2列方程，得(x2)2x262 解得x8所以OF8，HF6 因此 此时点P的坐标为 图2 图3 考点伸展 第（3）题等腰梯形CAQP时，求点P的坐标也可以这样思考： 过点P作PE/x轴交AC于E，那么PEPC 直线AC的解析式为y3x6，设E(m, 3m6)， 那么P(2, 3m6) 根据PE2PC2列方程，得(2m)222(3m)2 解得 所以P 图4 其实第（3）题还有一个“一石二鸟”的方法： 设QHn，那么AQ4n，PH3n，P(2, 3n ) 根据AQ2CP2，列方程，得(4n)222(3n6)2 整理，得2n27n60解得n12， 当n12时，P(2, 6)，对应平行四边形CAQP（如图2）； 当 时，P ，对应等腰梯形CAQP（如图4）例3 2018年上海市松江区中考模拟第24题 已知直线y3x3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线yax22xc经过点A，B （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形 求点D的坐标； 将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y3x3交于点E，若 ，求四边形BDEP的面积 动感体验 请打开几何画板文件名“12松江24”，拖动点P向右运动，可以体验到，D、P间的垂直距离等于7保持不变，DPE与PDH保持相等 请打开超级画板文件名“12松江24”， 拖动点P向右运动，可以体验到，D、P间的垂直距离等于7保持不变，DPE与PDH保持相等， ，四边形BDEP的面积为24 思路点拨 1这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了 2抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P两点间的垂直距离等于7 3已知DPE的正切值中的7的几何意义就是D、P两点间的垂直距离等于7，那么点P向右平移到直线x3时，就停止平移 满分解答 （1）直线y3x3与x轴的交点为A(1，0)，与y轴的交点为B(0,3) 将A(1，0)、B(0,3)分别代入yax22xc， 得 解得 所以抛物线的表达式为yx22x3 对称轴为直线x1，顶点为(1,4) （2）如图2，点B关于直线l的对称点C的坐标为(2,3) 因为CD/AB，设直线CD的解析式为y3xb， 代入点C(2,3)，可得b3 所以点D的坐标为（0，3） 过点P作PHy轴，垂足为H，那么PDHDPE 由 ，得 而DH7，所以PH3 因此点E的坐标为（3，6） 所以 图2 图3 考点伸展 第（2）用几何法求点D的坐标更简便： 因为CD/AB，所以CDBABO 因此 所以BD3BC6，OD3因此D（0，3）例4 2017年衢州市中考第24题 如图1，把两个全等的RtAOB和RtCOD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F抛物线yax2bxc经过O、A、C三点（1）求该抛物线的函数解析式； （2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），AOB在平移的过程中与COD重叠部分的面积记为S试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由 动感体验 请打开几何画板文件名“12衢州24”， 拖动点P在线段OC上运动，可以体验到，在AB的左侧，存在等腰梯形ABPM拖动点A在线段AC上运动，可以体验到，RtAOB、RtCOD、RtAHG、RtOEK、RtOFG和RtEHK的两条直角边的比都为12 请打开超级画板文件名“12衢州24”，拖动点P在线段OC上运动，可以体验到，在AB的左侧，存在AMBP拖动点A在线段AC上运动，发现S最大值为0.375思路点拨 1如果四边形ABPM是等腰梯形，那么AB为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分成的3小段，两侧的线段长线段 2AOB与COD重叠部分的形状是四边形EFGH，可以通过割补得到，即OFG减去OEH 3求OEH的面积时，如果构造底边OH上的高EK，那么RtEHK的直角边的比为12 4设点A移动的水平距离为m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示 满分解答 （1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入yax2bxc， 得 解得 ， ， 所以 （2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP、MM，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AMBP，因此yAy MyPyB 直线OC的解析式为 ，设点P的坐标为 ，那么 解方程 ，得 ， x2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在所以 图2 图3 （3）如图3，AOB与COD重叠部分的形状是四边形EFGH，作EKOD于K 设点A移动的水平距离为m，那么OG1m，GBm 在RtOFG中， 所以 在RtAHG中，AG2m，所以 所以 在RtOEK中，OK2 EK；在RtEHK中，EK2HK；所以OK4HK 因此 所以 所以 于是 因为0m1，所以当 时，S取得最大值，最大值为 考点伸展 第（3）题也可以这样来解：设点A的横坐标为a 由直线AC：yx3，可得A(a, a3) 由直线OC： ，可得 由直线OA：y2x及A(a, a3)，可得直线OA：y2x3a3， 由直线OC和直线OA可求得交点E(2a2，a1) 由E、F、G、H 4个点的坐标，可得例5 2017年义乌市中考第24题 已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B （1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标； （2）如图1，在直线 y2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒 个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN/x轴，交PB于点N 将PMN沿直线MN对折，得到P1MN 在动点M的运动过程中，设P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式图1 图2动感体验 请打开几何画板文件名“11义乌24”，拖动点M从P向O运动，可以体验到，M在到达PO的中点前，重叠部分是三角形；经过中点以后，重叠部分是梯形思路点拨 1第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况 2第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO的中点满分解答 （1）设抛物线的解析式为 ，代入A（2，0）、C(0，12) 两点，得 解得 所以二次函数的解析式为 ，顶点P的坐标为（4，4） （2）由 ，知点B的坐标为（6，0） 假设在等腰梯形OPBD，那么DPOB6设点D的坐标为(x，2x) 由两点间的距离公式，得 解得 或x2 如图3，当x2时，四边形ODPB是平行四边形 所以，当点D的坐标为( ， )时，四边形OPBD为等腰梯形 （3）设PMN与POB的高分别为PH、PG 在RtPMH中， ， 所以 在RtPNH中， ， 所以 如图4，当0t2时，重叠部分的面积等于PMN的面积此时 如图5，当2t4时，重叠部分是梯形，面积等于PMN的面积减去PDC的面积由于 ，所以 此时 考点伸展 第（2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图： 方法一，按照对角线相等画圆以P为圆心，OB长为半径画圆，与直线y2x有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点 方法二，按照对边相等画圆以B为圆心，OP长为半径画圆，与直线y2x有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点20 20