数列通项公式与求和习题(经典).doc

(完整word版)数列通项公式与求和习题(经典)
数列通项
一．求数列通项公式
1 观察法
已知数列试写出其一个通项公式：__________

2 公式法：（①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。）
等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式．

3用作差法：已知（即）求，用作差法：
1设正整数数列前n项和为，满足，求

2.已知的前项和满足，求

3.数列满足，求

4 数列满足，求

4作商法： 已知求，用作商法：。
如 数列中，对所有的都有，则 ；

5累加法：若求：。
1已知数列，且a1=2，an+1=an+n，求an．

2已知数列满足，，则=______

6累乘法：已知求，用累乘法：
1已知数列满足，，求。

.2已知数列中，，前项和，若，求

7 用构造法（构造等差．等比数列）。
（1）形如只需构造数列，消去带来的差异．其中有多种不同形式
①为常数，即递推公式为（其中p，q均为常数，）。
解法：转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。
例． 已知数列中，，，求．

②为一次多项式，即递推公式为
例．设数列：，求．

通项专题答案
1
2
3 (1)
(2)
(3)
(4)
4
5 (1)

(2)

6 (1) (2)

7 (1)
(2)

2.已知且，求答案：答案：

8.已知且，求答案：

11.已知数列{an}的首项a1=，an+1=，n=1，2，…，求{an}的通项公式；答案：

二．数列求和
1． 公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，
特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论．；③常用公式：，，．
例．已知，求的前n项和.答案：

2．分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．
例2． 求数列的前n项和：，…答案：

3．倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）．
例3．求的值 答案：

4．错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）．
例4． 求和：………………………①

例5．求数列前n项的和．答案：

5．裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用裂项形式有：
①；②；
③，；
④ ；⑤；
⑥．

例6．求数列的前n项和．答案：

例7．在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和．
答案：

6．通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。
例8 ．求之和． 答案：

三．能力综合
1．数列{an}的通项公式为an=，已知前m项和Sm=9，则m为( )
A． 99 B．98 C．10 D．9
2．数列1，1+2，l+2+22，…，1+2+22+…+2n-1前n项和等于( )
A．2n+1-n B．2n C．2n-n D．2n+1-n-2
3．数列的首项为3，为等差数列且，若，则（ ）
A．0 B．3 C．8 D．11
4．设数列满足且。
（1）求的通项公式；（2）设，记，证明：

5．如果f(x+y)=f(x)·f(y)，且 f(1)=-2，则等于 答案：-502
6．设数列{an}的前n项和为Sn=2n2，{bn}为等比数列，且a1=b1，b2（a2-a1）=b1
(l)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn答案：（1）（2）

7．求满足下列条件的数列的通项公式。
（1）已知满足；（2）已知满足，且，求。
答案：（1）（2）
8．求下面各数列的前n项和。
（1）； （2）

9．设函数的定义域为N+，且满足，，求。

10．设正值数列{}的前n项和为，满足
（1）求，，（2）求出数列{}的通项公式（3）设求数列{}的前n项和
答案：（1）；（2）；（3）
11．已知数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…构造一个新数列：a1，(a2 –a1)，（a3-a2），…，（an-an-1）…，此数列是首项为1，公比为的等比数列
(l)求数列{an}的通项； (2)求数到{an}的前n项和Sn

12．已知数列{an}的首项a1=，，n=1，2，…
(1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和Sn

13．（2012大连一模）已知各项均为正数的数列满足。
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）求数列前n项和。
答案：（1）（2）

14．（2012东三省第一次联考）数列前n项和，且，数列满足，且。
（1）求数列与的通项公式；（2）设数列满足，其前n项和为，求。
答案：（1）；（2）

15．（2012东三省第三次联考）数列满足，且
（1）求数列的通项公式；（2）令，当数列为递增数列时，求正实数的取值范围。
答案：（1）（2）

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