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现代数字信号处理复习题
一、填空题
1、平稳随机信号是指：概率分布不随时间推移而变化的随机信号，也就是说，平稳随机信号的统计特性与起始时间无关，只与时间间隔有关。
判断随机信号是否广义平稳的三个条件是：
（1）x(t)的均值为与时间无关的常数： （C为常数） ；
（2）x(t)的自相关函数与起始时间无关，即：；
（3）信号的瞬时功率有限，即：。
高斯白噪声信号是指：噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时其功率谱密度函数是常数的一类噪声信号。
信号的遍历性是指：从随机过程中得到的任一样本函数,好象经历了随机过程的所有可能状态,因此,用一个样本函数的时间平均就可以代替它的集合平均 。
广义遍历信号x(n)的时间均值的定义为： ，其时间自相关函数的定义为： 。

2、连续随机信号f(t)在区间上的能量E定义为：

其功率P定义为：

离散随机信号f(n)在区间上的能量E定义为：

其功率P定义为：
注意:(1)如果信号的能量0<E<∞，则称之为能量有限信号，简称能量信号。
(2)如果信号的功率0<P<∞，则称之为功率有限信号，简称功率信号。
3、因果系统是指：对于线性时不变系统，如果它在任意时刻的输出只取决于现在时刻和过去时刻的输入，而与将来时刻的输入无关，则该系统称为因果系统。
4、对平稳随机信号，其自相关函数为，自协方差函数为，
（1）当时，有：= ，＝。
（2）当时，有：= ，＝。
5、由Wold分解定理推论可知，任何或序列均可用 无限阶的惟一MA模型MA(∞) 来表示。
6、经典功率谱估计的方法主要有 周期图法(直接法) 和 相关图法(间接法) 两大类。对经典谱估计方法的改进措施主要有: (1)经典谱估计性能分析；(2)Bartlett法谱估计；(3)Welch法谱估计 。
7、设计维纳滤波器时使用的正交性原理是指： 在最小均方误差（MMSE）准则下，误差e(n)与每一个输入样本x(n-k)都是正交的 。
8、在训练自适应滤波器时，收敛速度与学习率及输入信号的自相关矩阵的最小特征值取值有关。学习率越大，收敛速度越 快 ；最小特征值越小，收敛速度越 慢 。
9、谱估计的分辨率是指 估计值保证真实谱中两个靠得很近的谱峰仍然能被分辨出来的能力 ，在经典谱估计中，决定谱估计分辨率的主要因素是 窗函数的主瓣宽度。
注意：主瓣越宽，分辨率越低。

二、问答题
1、 什么叫能量信号？什么叫功率信号？
答：（1）如果信号的能量0<E<∞，则称之为能量有限信号，简称能量信号。
（2）如果信号的功率0<P<∞，则称之为功率有限信号，简称功率信号。
2、 什么叫线性时不变系统？什么叫因果系统？
答：（1）具有线性性和时不变性的系统叫线性时不变系统。
（2）对于线性时不变系统，如果它在任意时刻的输出只取决于现在时刻和过去时刻的输入，而与将来时刻的输入无关，则该系统称为因果系统。
注意：因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出响应的系统。也就是说，因果系统的响应不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。
3、 如何判断一个线性时不变系统是稳定的？
答：一个线性时不变系统是稳定的充要条件：
（1）充分性：如果成立，对有界的输入，输出也是有界的；
（2）必要性：如果系统稳定，成立。

4、 对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳－辛欣定理的主要内容。
答：(1)连续时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：
连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：

(2)离散时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：
离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：

5、 试列举出随机信号的功率谱密度函数的三条性质。
答：

6、 什么是估计的偏差？什么叫无偏估计？什么叫渐进无偏估计？
答：假设估计量为（可以是均值、方差、自相关函数等），它的估计值为，如果，则称为的无偏估计，否则称为有偏估计；
定义估计的偏差为：，如果估计值不是无偏估计，但随着样本数目的增加，其数学期望趋近于真实的估计量，即：，则称估计值为渐近无偏估计。
7、 请写出ARMA的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。
答：（1）ARMA的数学模型表达式：

式中，为常数，
（2）该模型的电路框图如下所示：

8、 请写出AR的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。
答：（1）AR的数学模型表达式:

（2）该模型的电路框图如下所示：

注意：AR模型又称全极点模型。
10、请写出MA的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。
答：（1）MA的数学模型表达式:

（2）该模型的电路框图如下所示：

注意：MA模型又称全零点模型。
11、什么是谱估计的分辨率？在经典谱估计中，决定其分辨率的主要因素是什么？
答：谱估计的分辨率是指估计值保证真实谱中两个靠得很近的谱峰仍然能被分辨出来的能力，在经典谱估计中，决定谱估计分辨率的主要因素是窗函数的主瓣宽度,主瓣越宽，分辨率越低。
12、BT谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。
答：（1）相关图法又称BT法，BT谱估计的理论根据是：通过改善对相关函数的估计方法，来对周期图进行平滑处理以改善周期图谱估计的方差性能。
（2）此方法的具体步骤是：
①给出观察序列，估计出自相关函数：

②对自相关函数在（-M，M）内作Fourier变换，得到功率谱：

式中，一般取，为一个窗函数，通常可取矩形窗。
可见，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。
13、AR谱估计的基本原理是什么？与经典谱估计方法相比，其有什么特点？
答：（1）AR谱估计的基本原理是：
阶的AR模型表示为：
其自相关函数满足以下YW方程：

取，可得到如下矩阵方程：

在实际计算中，已知长度为N的序列，可以估计其自相关函数，再利用以上矩阵方程，直接求出参数及，于是可求出的功率谱的估计值。
（2）与经典谱估计方法相比，其有以下特点：

14、Burg算法有什么特点？
答：(1)不需要估计自相关函数,而是从数据直接求解；
(2)比自相关函数法有更好的分辨率，但会出现“谱线分裂”的现象，对于高阶模型可能产生虚假的峰值；
(3)对于短序列（N较小），Burg算法的性能不亚于LD算法的性能，N较大时，两者性能相当；
(4)Burg算法估计的参数满足，即求出的AR模型总是稳定的；
(5)对于有噪声的正弦信号，Burg算法存在着对正弦初相位的敏感问题，尤其当数据长度比较短时，随着频率偏差的增加，这种敏感性就越来越明显，从而会导致与相位有关的频率偏差。

1. 已知一个随机信号的观测数据为，该信号统计独立，均值和方差分别为和，信号的均值，求的方差。
2. 一个均值为零、方差为的白噪声，通过幅频特性为

的离散带通滤波器，求滤波器输出信号的均方值。若白噪声的方差为0.1，滤波器是带宽为1Hz的离散低通滤波器，该过程为实值，计算滤波器输出的方差；若输入信号为高斯过程，确定滤波器输出的概率密度函数。
3. 证明：纯正弦波可用AR模型描述，而正弦波加噪声则为ARMA过程。

4. 用相关卷积定理证明：
（1）
（2）已知，为白噪声，则

5．设观测信号为，其中信号和噪声的功率谱密度分别为：， ，求的最佳维纳滤波器。

6．考虑如下差分方程描述的二阶AR过程， ，其中是零均值和方差为0.5的白噪声，（1）写出该过程的Yule-Walker方程；（2）对自相关函数值和，求解这两个方程；（3）求的方差

7．在下图所示自适应滤波系统中，设，试求性能函数
图：

8. 已知信号的4个取样值，分别用自相关法 和协方差法估计AR（1）模型参数。
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