复数的热点题型解析.pdf

马春林 复数是高考的常考点,但不是同学们学习的难点。高考中有关复数的考题都是基础题,是基本概念与运算法则的应用。下面就复数的热点题型进行举例分析,供同学们学习与参考。题型1:复数的有关概念例1 下列命题中,正确命题的个数为()。两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等;两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等;1-ai(aR)是一个复数;若复数z1,z2满足z21+z22=0,则z1=z2=0;若x,yR,且x+yi=1+i,则x=y=1;“a=-2”是“复数z=(a2-4)+(a+1)i(a,bR)为纯虚数”的必要不充分条件;若(m2-1)+(m2-2m)i 1,则实数m的值为2;若复数z满足z(1+i)20 2 2=2+i,则复数z在复平面内对应的点位于第三象限。A.3 B.4C.5 D.6解:若两个复数相等,则它们的实部、虚部均相等,正确。若虚部不相等,则两个复数一定不相等,正确。满足形如a+bi(a,bR)的数均为复数,正确。若复数z1=i,z2=1满足z21+z22=0,则z1z20,不正确。由x,yR,且x+yi=1+i,根据复数相等的性质得x=y=1,正确。当a=-2时,z=(22-4)+(-2+1)i=-i,是纯虚数;当z为纯虚数时,a2-4=0,且a+10,即a=2。由“a=2”可以推出“z为纯虚数”,反之不成立,即为充分不必要条件,不正确。由题意得m2-2m=0,m2-1 1,解得m=2,正确。因为(1+i)20 2 2=(1+i)210 1 1=(2 i)10 1 1=-210 1 1i,所 以z=2+i-210 1 1i=-1+2 i210 1 1=-1210 1 1+1210 1 0i,可知z在复平面内对应的点为-1210 1 1,1210 1 0 ,此点位于第二象限,不正确。应选C。题型2:复数的几何意义例2 (多选题)已知复数z1对应的向量为O Z1,复数z2对应的向量为O Z2,则下列说法正确的是()。A.若|O Z1|=1,则z1=1或z1=iB.若z1=4+3 i,z2=3+4 i,则Z1Z2=(1,-1)C.若|z1+z2|=|z1-z2|,则O Z1O Z2D.若(O Z1+O Z2)(O Z1-O Z2),则|z1|=|z2|解:当z1=12+32i时,满足|O Z1|=1,A错误。Z1Z2=O Z2-O Z1=(3,4)-(4,3)=(-1,1),B错误。设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,dR,若|z1+z2|=|z1-z2|,则(a+c)2+(b+d)2=(a-c)2+(b-d)2,化简得a c+b d=0,所 以O Z1OZ2=a c+b d=0,所以O Z1O Z2,C正确。设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,dR,则O Z1+O Z2=(a+c,b+d),O Z1-O Z2=(a-c,b-d)。由(O Z1+O Z2)(O Z1-O Z2),可 得(a+23 创新题追根溯源 高一数学 2 0 2 4年3月c)(a-c)+(b+d)(b-d)=a2+b2-c2-d2=0,所以a2+b2=c2+d2,即|z1|=|z2|,D正确。应选C D。题型3:复数的四则运算例3 设z1,z2为复数,下列命题成立的个数为()。如 果|z1|=a,a是 正 实 数,那 么z1z1=a2;如 果|z1|=|z2|,那 么z1=z2;如 果|z1|a,a是 正 实 数,那 么-az1a;|z1z2|=|z1z2|;|z1z2|=|z1|z2|;|z2|2=z22;1z1=1|z1|。A.3 B.4C.5 D.6解:设z1=x1+y1i,其中x1,y1R,因为|z1|=x21+y21=a,所以x21+y21=a2,所以z1z1=(x1+y1i)(x1-y1i)=x21+y21,正确。如z1=1,z2=i,这时|z1|=|z2|=1,但z1z2,错误。设z1=x1+y1i,因为|z1|=x21+y21a,所以x21+y21a2,只有实数才能比较大小,虚数不能比较大小,错误。设z1=a+bi,z2=c+di,则|z1z2|=|(a+bi)(c-di)|=|a c+b d+(b c-a d)i|=(a c+b d)2+(b c-a d)2,|z1z2|=|(a-bi)(c+di)|=|a c+b d-(b c-a d)i|=(a c+b d)2+(b c-a d)2,正确。设z1=a+bi,z2=c+di,则|z1z2|=|(a+bi)(c+di)|=|a c-b d+(b c+a d)i|=(a c-b d)2+(b c+a d)2=(a2+b2)(c2+d2),|z1|z2|=a2+b2c2+d2,正确。设z2=c+di,则|z2|2=c2+d2,z22=c2-d2+2c di,不 正 确。设z1=a+bi,则1z1=a-bia2+b2=1a2+b2=1|z1|,正确。应选B。题型4:复数的综合应用例4 已知i为虚数单位,复数z=2+2 i是关于x的实系数一元二次方程x2+m x+n=0的一个根。(1)求实数m,n的值。(2)在复平面内,复数z,z,z2对应的向量分别为a,b,c,若(a+b)(b+c),求实数的值。解:(1)实系数一元二次方程a x2+b x+c=0(a,b,cR,a0)在复数集中的解为x1,2=-b2ab2-4a c2a。因为z=2+2 i是关于x的实系数一元二次方程x2+m x+n=0的一个 根,所 以z=2-2 i也 是 此 方 程 的 一 个 根,所 以n=zz=(2+2 i)(2-2 i)=8,m=-(z+z)=-(2+2 i+2-2 i)=-4,解得m=-4,n=8。(2)因为z=2+2 i,z=2-2 i,z2=(2+2 i)2=8 i,所以a=(2,2),b=(2,-2),c=(0,8)。因为(a+b)(b+c),所以(a+b)(b+c)=(2+2,2-2)(2,6)=4+4+1 2-1 2=0,解得=12。已知m为实数,复数z=(m2+m-6)i+m2-7m+1 2m+3。(1)当m为何值时,z是实数?(2)当m为何值时,z是虚数?(3)当m为何值时,z是纯虚数?提示:(1)由m2+m-6=0,m+30,解得m=2,所以当m=2时,z是实数。(2)由m2+m-60,m+30,解 得m2,且m-3,所以当m2,且m-3时,z是虚数。(3)由m2+m-60,m+30,m2-7m+1 2=0,解得m=3或m=4,所以当m=3或m=4时,z是纯虚数。作者单位:河南省商丘市实验中学高中部(责任编辑 郭正华)33创新题追根溯源 高一数学 2 0 2 4年3月