复数常见考点全覆盖.pdf

刘长柏 复数是初等数学与高等数学的一个重要衔接点,是历年高考的必考内容。将复数问题化归为实数问题,即将复数问题实数化,是解决复数问题的一种基本思想方法。一、考查复数的基本概念复数z=a+bi(a,bR)为实数、虚数、纯虚数的充要条件是复数问题实数化的依据,对基本概念的理解是实现复数问题实数化的基础。例1 已知复数z=m2-2m-1 5+(m2-9)i,其中mR,i为虚数单位。(1)若z为实数,求m的值。(2)若z为纯虚数,求z1+i的虚部。解:(1)若z为实数,则m2-9=0,解得m=3。(2)由 题 意 得m2-2m-1 5=0,m2-90,解 得m=5,所 以z=1 6 i,所 以z1+i=1 6 i1+i=1 6 i(1-i)(1+i)(1-i)=8+8 i,可知z1+i的虚部为8。复数z=a+bi(a,bR),当b=0时,z为实数;当b0时,z为虚数;当a=0,b0时,z为纯虚数。练习1:设i是虚数单位,已知复数z满足(1-i)z=1+(a-1)i(aR),且复数z是纯虚数,则实数a=()。A.-12 B.12 C.1 D.2提示:由(1-i)z=1+(a-1)i,可得z=1+(a-1)i1-i=1+(a-1)i(1+i)(1-i)(1+i)=1-(a-1)+1+(a-1)i2=2-a2+a2i。因为z为纯虚数,所以a=2。应选D。二、考查复数的相等复数相等的充要条件是复数问题实数化的重要途径之一。要明确由一个复数等式可得到两个实数等式这一性质,这也是高考的常考点。例2 若复数z是方程x2-2x+2=0的一个根,则iz的虚部为()。A.2 B.2 i C.i D.1解:设z=a+bi(a,bR)。依题意得(a+bi)2-2(a+bi)+2=0,即(a2-b2-2a+2)+2(a b-b)i=0,所 以a2-b2-2a+2=0,2(a b-b)=0,显 然b0,解 得a=1,b=1,所以z=1-i或z=1+i。因为iz=i(1-i)=1+i或iz=i(1+i)=-1+i,所以iz的虚部为1。应选D。两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等。练习2:若a,b均为实数,且a+bi1-i=2+i3,则a b=()。A.-2 B.2 C.-3 D.3提示:因为a+bi1-i=2+i3=2-i,所以a+bi=(1-i)(2-i)=1-3 i,所以a=1,b=-3,可得a b=-3。应选C。三、考查复数的有关性质复数a+bi(a,bR)的模为a2+b2,共轭复数为a-bi,实系数一元二次方程的虚根成对出现。模与共轭复数的性质:若z+zR,则|z|=|z|;z1z2=|z1|z2|。例3 若复数z满足(1+3 i)z=2+4 i,其中i是虚数单位,复数z的共轭复数为z,71知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 4年3月 则|z|=()。A.2 58 B.5 24 C.2 D.2解:因为(1+3 i)z=2+4 i,所 以z=2+4 i1+3 i=(2+4 i)(1-3 i)(1+3 i)(1-3 i)=75-15i,所以复数z的共 轭 复 数 为z=75+15i,所 以|z|=75 2+15 2=2。应选C。若复数z=a+bi(a,bR),则|z|=a2+b2。练习3:已知复数z=-3+2 i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2+p x+q=0(p,q为实数)的一个根,则p+q的值为()。A.2 2 B.3 6 C.3 8 D.4 2提示:将 复 数z=-3+2 i代 入 方 程2x2+p x+q=0,可得2(-3+2 i)2+p(-3+2 i)+q=0,即1 0-3p+q+(2p-2 4)i=0,所 以1 0-3p+q=0,2p-2 4=0,解 得p=1 2,q=2 6。所 以p+q=3 8。应选C。四、考查复数的几何意义复数有着鲜明的几何背景和浓厚的几何意义,复数z=a+bi(a,bR)与复平面上的点Z(a,b)及平面向量O Z是一一对应的关系。在处理复数问题时,灵活运用复数的几何意义,可使问题直观、迅速地获得解决。例4 在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是O A=(1,-2),O B=(-3,1),则复数z1z2对应的点位于()。A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解:因为复数z1,z2对应的向量分别是O A=(1,-2),O B=(-3,1),所以z1=1-2 i,z2=-3+i,z2=-3-i,所以z1z2=(1-2 i)(-3-i)=-5+5 i,所以复数z1z2对应的点(-5,5)位于第二象限。应选B。复数对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应满足的条件,进而利用象限和坐标的特点进行求解。练习4:已知复数z=(a2-2a-3)+(a2-5a+6)i(aR)。(1)若复数z为纯虚数,求实数a的值。(2)若复数z在复平面内对应的点在第二象限,求实数a的取值范围。提示:(1)由题意得a2-2a-3=0,a2-5a+60,解得a=-1。(2)因为复数z在复平面内对应的点在第二象限,所 以a2-2a-3 0,解 得-1a 2。故实数a的取值范围是(-1,2)。1.已知1+i是关于x的方程a x2+b x+2=0(a,bR)的一个根,则a+b=()。A.-1 B.1 C.-3 D.3提示:因为实系数一元二次方程的虚根成对出现,所以1-i为方程的另一个根,所以1+i+1-i=-ba,(1+i)(1-i)=2a,所以a=1,b=-2,即a+b=-1。应选A。2.已知zC,且|z+i|=1,i为虚数单位,则|z-2 2|的最大值是。提示:记z=a+bi(a,bR)。因 为|z+i|=1,即a2+(b+1)2=1,所以复数z表示以(0,-1)为圆心,半径为1的圆C。而|z-2 2|=(a-2 2)2+b2表示圆C上的点到(2 2,0)的距离,此距离的最大值为圆心C(0,-1)到(2 2,0)的距离再加上半径,故|z-2 2|的最大值为4。3.已知zC,且|z+i|=3,i为虚数单位,则|z-3-3 i|的最大值是。提示:已知zC,且|z+i|=3,根据复数模的几何意义,可知z表示以(0,-1)为圆心,3为半径的圆,所以|z-3-3 i|表示此圆上的点到点(3,3)的距离。因为圆心(0,-1)到点(3,3)的距离为0-3 2+-1-3 2=5,所以|z-3-3 i|m a x=3+5=8。作者单位:江苏省盐城市时杨中学(责任编辑 郭正华)81 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 4年3月