计数原理排列与组合二项式定理.doc

计数原理、排列与组合、二项式定理知识要点一、计数原理1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nm+n种不同的方法。2分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的办法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法。3两个原理的关系两个原理回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题。区别在于分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事。二、排列、组合1公式和性质三、二项式定理1. 二项式定理（a+b）=+ 2.二项式系数的性质（1）在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等；（2）若二项式的幂指数是偶数，中间的一项的二项式系数最大，若是奇数则中间的两项系数最大；（3）二项式系数的和等于，即3. 注意：二项式系数和展开式的系数的区别规律方法指津1.排列、组合应用题大致可分为三类:(1)不带限制条件的简单排列或组合题,可直接根据题意利用公式求得最后结果.(2)带有限制条件的排列或组合题,常有两种计算方法,一是把符合要求的排列或组合数直接计算出来;二是先算出不含限制条件的所有排列和组合的总数,然后再从中减去所有不符合要求的排列和组合数.(3)排列、组合混合综合题,一般采取先组合后排列的方法,要分类清楚准确、独立,分步有条不紊、连续.2.排列组合应用题,常用的基本类型有以下几种:从n个不同元素中（1）选出m个（mn）个元素，排成一列，所有不同的排法共有种.(2)选出m个元素,且有k（个元素必须入选，把这m个元素排成一列，排法共有（3）将n个元素排成一列，且其中某k个元素排在相邻位置上，排法共有种（捆绑法）（4）将n个元素排成一列，且其中某k个元素不能排在相邻位置上，排法共有种（插空法）1页（5）将n个元素排成一列，且其中某k个元素不全相邻，排法共有种（间接法）（6）将n个元素排成一列，且其中某k个元素保持一定的顺序，排放法共有种（消序法）3.在解排列组合综合题时,常见的解题策略有以下几种:(1)特殊元素优先安排的策略.(2)合理分类与准确分步的策略.(3)排列、组合混合问题先选后排的策略(4)正难则反、等价转化的策略.(5)相邻问题捆绑处理的策略.(6)不相邻问题插空处理的策略.(7)定序问题除法处理的策略.(8)分排问题直排处理的策略(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略(10)构造模型的策略4.在解决排列组合应用题时,经常运用的数学思想:分类讨论的思想;转化的思想;对称思想典型例题分析1) 对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排，在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”有时“位置优先”。例1 由0，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数中，其中偶数共有几个？2）对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不少于2个元素时，不可分批进入，必须先分堆再排入。例2 4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒内，则恰有一个空盒的放法有几种？3） 对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑并看作1个元素再与其他元素进行排列，同时对相邻元素进行自排。例3 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几排法？ 2页4） 对于某些元素要求间隔的排列，用插入法。例4 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？思考 4男4女排成一列，要求男女间隔，有几种排法？（ ）例5 10垄地选2垄种A，B两种作物，且A，B至少间隔6垄，有几种方法？5） 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中先出定序元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。例6 5人参加百米赛跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？6） 若n个元素要分m排列，可把每排首尾相连成一列，对于每排的特殊要求，只要分段考虑特殊元素，然后对其余元素作统一排列。例7 2个老师、4个女生、12个男生，排成三排照相，要求第一排5人，第二排6人，第三排7人，且老师在第一排，女生在第二排，共有几种不同的排法？7） 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素与其他元素排列。 例8 4名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的顺序要求2名女歌手之间恰有2名男歌手，则出场方案有几种？8） 住店法解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解的方法称为“住店法”。例9 七名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能的和数有9） 两类元素的排列问题例10 10级楼梯，要求7步跨完，且每步最多跨2级，问有几种不同的跨法？ 思考1: 3面红旗2面黄旗，全都升上旗杆作信号，可打出几种不同的信号？（ 种）B思考2: 沿图中的网格线从顶点A到顶点B，最短的路线有几条？（ 条）A说明 怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是关键10） 排列、组合与解析、立几的综合例11 （2003年春季高考题北京卷）在直角坐标系xOy中，已知AOB三边所在直线的方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30,则AOB内部和边上整点（即坐标均为整数的点）的总数是（ ）A. 95 B. 91 C. 88 D. 7511） 试验（树枝法）题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律有时也是行之有效的方法。例12 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有12） 对应例13 在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即每一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场？13） 特征分析研究有约束条件的排数问题，须紧扣题目所提供的数字特征、结构特征，进行推理、分析求解例14 由1、2、3、4、5、6六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数。14） 分组问题与分配问题（1）分组问题的常见形式及处理方法a) 非均匀无序分组 n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间的顺序.例如：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为 种 。 3页b) 均匀无序分组 将n个不同元素分成不编号的m组，假定m组元素个数相等，不管是否分尽.例如：若6人分成三组每组2人则其分法种数为;10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为 种.(部分均匀)c) 非均匀有序分组 n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序.例如：10人分成三组，去参加不同的劳动，各组人数分别为2、3、5，其安排方法有 种。d) 均匀有序分组n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序.例如9人分成三组，参加三种不同的劳动，各组人数分别为3、3、3，分法种数为种。（2）分配问题的处理途径将n个元素按一定要求分给m个人，称为分配问题，分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不可区分的；而后者即使两个元素个数相同，但因人不同，仍然是可区分的。对于这类问题必须遵循先分组后排列的原则。例15 六本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1) 一堆一本，一堆两本，一堆三本；(2) 甲得一本，乙得两本，丙得三本；(3) 一人得一本，一人得二本，一人得三本；(4) 平均分给甲、乙、丙三人，每人两本；(5) 平均分成三堆，每堆两本。15） “隔板法”常用于指标问题和不定方程整数解的个数问题例16 从5个班中选10人组成校入篮球队，每班至少1人，有几种选法？16） 涂色问题 例17 一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种。（以数字作答）BCEAD二项式定理一. 二项式定理常有以下几种类型题1求指定项或指定项的项数；2.求指定项的系数或二项式系数；3.近似计算；4.整除或求余数的问题5.求有理项或最大值;6.求各项系数和.二. 典型例题 的展开式中x的系数为19，求f（x）展开式中x 4页例9 求例10求证：对一切n