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左右导数和导数的左右极限

函数 在 点的左导数定义为
。
函数 在 点的右导数定义为
。
函数 在 点导数的左极限定义为
。
函数 在 点导数的右极限定义为
。
在很多情况下，导数的左极限 往往就是左导数 ，导数的右极限 往往就是右导数 。
例如，函数 。
在 点的左导数为 ；导数的左极限为 ，两者是一样的。
在 点的右导数为 ；导数的右极限为 ，两者也是一样的。

但有时候，导数的左极限 并不等于左导数 ，导数的右极限 并不等于右导数 。

例如，函数 。
在 的左导数为 ；
导数的左极限为 ，显然两者是不一样的。
在 的右导数为 ；
导数的右极限为 ，显然两者也是不一样的。
又例如，函数 （见下图）。

在 的左导数为
；
而导数的左极限的计算式为
，
这个极限不存在。
在 的右导数为
；
而导数的右极限的计算式为
，
这个极限不存在。

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