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极坐标知识点剖析1极坐标系(1)定义在平面内取定点O，叫做极点，引一条射线OX叫做极轴，再选定一个长度单位和角的正方向(通常以逆时针方向)，这样就建立了极坐标系；(2)点的极坐标点M在极坐标平面内，|OM|=，MOX=，则点M的坐标为M(，)，叫做点M的极径，叫做点M的极角当0时，XOP=，在OP的反向延长线上取一点M，使|OM|=|，点M就是坐标为(，)的点由于(，+2k)，(-，+(2k+1)(kZ)都表示同一点，因此在极坐标平面上点与有序数对不是一一对应的但如果限定0，02或-，则除极点外就可以一一对应了；(3)对称点坐标点M(，)关于极轴的对称点为M；(，-)，点M(，)关于极点的对称点为M。(-，)，点M(，)关于过极点与极轴垂直的直线(极垂线)的对称点为M(-，-)；(4)极坐标内两点的距离公式2直角坐标与极坐标的互化(1)互化条件原点与极点重合，极轴与x轴正半轴重合，两个坐标系长度单位一致(2)互化公式(3)互化公式所得到的圆锥曲线的方程例题在极坐标系中，点(，0)与(-，-)的位置是 A关于极轴所在直线对称；B关于极点对称；D重合说明 一般地，为了求出点(，)满足一定条件的极坐标，可先写出它的极坐标的一般形式，再根据和的条件确定k的值，从而得到所要求的坐标【例4】 已知点B，C，D的直角坐标为(2，-2)，(0，-15)，(-12，5)，求它的极坐标(0，02) A直线B圆C双曲线D抛物线分析 将方程化为直角坐标方程，即可判断曲线形状因为给定的 极坐标方程是=1+cos(图形是心脏线)说明 通过上两例可看出，化极坐标方程为直角坐标方程有时较容易判断曲线形状，但如曲线是由动点旋转运动而产生的，则它的极坐标方程可能比直角坐标方程简单解法2 由圆锥曲线的统一方程可知b2=a2-c2=132-122=52以下同上说明 显然解法2简便，直接根据，的几何意义求出a和c*【例8】 求以抛物线y2=3x的焦点为极点，对称轴向右的方向为极轴的正方向时，抛物线的极坐标方程说明 本例作了特殊的要求，则不能用互化公式，利用圆锥曲线统一的极坐标方程不仅方程形式简单，而且几何意义明显，这种特殊的互化方法有广泛的应用，应予以特别注意解(0)=6即a+c=6()=2即a-c=2【例10】 点P在直线x+y=1上移动，在连接原点与点P的射线上取点Q，使|QP|OQ|=4，求点Q的轨迹方程(如图3-2)解 x+ y=1化成极坐标方程为cos+sin=1即x2+y2=(4x+4y)故Q点轨迹方程为 x2+y2-4x-4y=0，和x2+y2+4x+4y=03曲线的极坐标方程在极坐标系中，称方程F(，o)=0是曲线C的极坐标方程，如果以这个方程的每一个解为坐标的点都是曲线C上的点，而且C上每一个点的坐标中至少有一个坐标能够满足这个方程4求曲线的极坐标方程和直角坐标系中一样，在极坐标系中求曲线的极坐标方程的主要方法有直接法、转移法和参数法，每种方法的计算步骤与直角坐标系完全类似，只需把步骤中的直角坐标(x，y)改成极坐标(，)就可以了求曲线的极坐标方程，经常要用正、余弦定理三角形面积公式和有关三角知识5常见曲线的极坐标方程(1)经过极点倾斜角为的直线方程为=和=+；(2)与极轴平行并与极轴距离为a(a0)的直线方程为sin=a；(3)与极轴垂直(含极轴所在直线)与极点距离为b(b0)的直线方程 cos=b；(4)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为=r；(5)圆心在O(0，0)，半径为r的圆的极坐标方程为2-20cos(-0)+02-r2=0；当0el时，方程表示椭圆，当e=1，2k时方程表示抛物线，*(7)等速螺线方程(二)极坐标习题解法提要(1)极坐标系是用长度和角度来确定平面内点的位置的一种坐标系，通常点的极坐标(，)中，取非负值，表示极点O到点A的距离，极角采用弧度制必要时，也可取负值极坐标平面上同一点的极坐标有无数种表示法，即若(，)是一个点的极坐标，则(，2k+)，-，(2k+1)+(kZ)都是此点的极坐标(2)在极坐标系中，由于曲线上同一点有不同的坐标，故对于一条曲线的同一极坐标方程，点的坐标中有的满足该方程，有的则不一定满足；但曲线上点的极坐标中应至少有一个满足此曲线的这一方程同一曲线的极坐标方程也可能不止一种形式(3)由于极坐标是用长度和角度来表示的，故在求曲线的极坐标方程时，常构造三角形，利用三角形中的边角关系及三角函数的有关公式求出和的关系式，即曲线的方程求曲线的极坐标方程的基本方法有：直接法：建立极坐标系，根据动点的运动规律，列出动点的极径与极角间的关系式，化简整理得出极坐标方程=f()同时应注意的取值范围代入法：若已知Q点的轨迹方程和动点P与Q点的相关关系，则可先求出P，Q的极坐标间的关系式，再将关系式代入Q点满足的极坐标方程中，求出P点的轨迹的极坐标方程先求曲线的普通方程，再转化为极坐标方程(4)在同一平面内建立的一个极坐标系和一个直角坐标系，当极点与坐标原点重合，极轴与x轴正半轴重合时，平面上任一点P的极坐标(，)与直角坐标(x，y)之间存在下列关系：(5)常见曲线的极坐标方程：(i)直线过极点、倾斜角为的直线：=(R)与极轴垂直的直线：cos=a与极轴平行的直线：sin=a倾斜角为、极点到它的距离在d的直线：sin(-)=d(ii)圆圆心在极点、半径为a的圆：=a过极点、圆心为(a，0)、半径为|a|的圆：=2acos圆心为C(0，0)，半径为r的圆：(iii)圆锥曲线的统一的极坐标方程其中e为离心率，p为焦点到对应准线的距离当0e1时，方程表示极点为左焦点，极轴所在直线为对称轴的椭圆；当e=1时，方程表示极点为焦点，开口向右的抛物线；当e1时，方程表示极点为右焦点，极轴所在直线为对称轴的双曲线0时，为右支；0时，为左支椭圆的极坐标方程=ep/(1-ecos)是以左焦点F1为极点O，射线F1F2为极轴，依据椭圆的第二定义得来此时极点到椭圆的左准线是p,椭圆的任意点P（，)满足/(p+cos)=e-=ep+ecos-(1-ecos)=ep-=ep/(1-ecos)(0e1就是双曲线方程】何量一般有两种方法：极坐标双基知识导学 1点的极坐标：(1)点M(，)的极坐标通式是(，+2n)或(-，+2n+)，nZ(2)限定0，02或-，那么除极点外，平面内的点和极坐标(，)一一对应2极坐标和直角坐标互化公式是这两组公式必须满足下面的“三同条件”才能使用：原点与极点重合；x轴正半轴与极轴重合；长度单位相同3曲线极坐标方程的特性：=0上的充分不必要条件4直线、圆的极坐标方程：(1)直线：=，cos=，sin=，cos(-)=P，sin(-)=P(2)圆：=，=cos，=sin，=cos(-) ，=sin(-)，1高考命题分析主要考极坐标与直角坐标的互化，以及对直线和圆的极坐标方程的理解和掌握。2典型题例析【例1】在极坐标系中，点（，）与（-，-）的位置是_。 A关于极轴所在直线对称B关于极点对称D重合分解 点（-，-）与点（，-）是同一个点，它与点（，）关于极轴所在直线对称，所以选A。_，适合0，-20的极坐标是_。说明 一般地，为了求出点（，）满足一定条件的极坐标，可写出它的极坐标的一般形式，再根据和的条件确定k的值，从而得到所要求的坐标。【例3】如图13-2所示，点A在直线x=5上移动，等腰OPA的顶角OPA为120（O，P，A按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程。解 取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x=5的方程为cos=5设P（，），A（0，0），则代入0cos0=5，得此即为P点的轨迹的极坐标方程。证明 取原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则双曲线的方程为 10 / 10