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(完整版)概率论与数理统计多维随机变量及其分布

第三章 多维随机变量及其分布

在实际应用中， 有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。 例如, 研究某地区学龄前儿童的发育情况时， 就要同时抽查儿童的身高、体重， 这里, 和是定义在同一个样本空间｛某地区的全部学龄前儿童}上的两个随机变量. 又如, 考察某次射击中弹着点的位置时,就要同时考察弹着点的横坐标和纵坐标. 在这种情况下，我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之间的统计相依关系，因而还需考察它们的联合取值的统计规律，即多为随机变量的分布。 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难, 故我们重点讨论二维随机变量。

第一节 多维随机变量的分布

内容分布图示

★ 二维随机变量
★ 二维随机变量的分布函数 ★ 例1
★ 二维离散型随机变量及其概率分布
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 例5 ★ 例6
★ 二维连续型随机变量及其概率密度
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9
★ 二维均匀分布 ★ 例10
★ 二维正态分布 ★ 例11
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题3-1 ★ 返回

内容要点：
一、 二维随机变量
定义1 设随机试验的样本空间为, 为样本点,而

是定义在上的两个随机变量， 称为定义在上的二维随机变量或二维随机向量。

二、 二维随机变量的分布函数
定义2 设是二维随机变量, 对任意实数, 二元函数

称为二维随机变量的分布函数或称为随机变量和的联合分布函数。
联合分布函数的性质：
（1） 且
对任意固定的
对任意固定的

(2） 关于和均为单调非减函数, 即
对任意固定的 当
对任意固定的 当
（3） 关于和均为右连续， 即

三、 二维离散型随机变量及其概率分布
定义3 若二维随机变量只取有限个或可数个值， 则称为二维离散型随机变量.
结论：为二维离散型随机变量当且仅当均为离散型随机变量。
若二维离散型随机变量所有可能的取值为 则称

为二维离散型随机变量的概率分布(分布律）, 或的联合概率分布（分布律)。
与一维情形类似,有时也将联合概率分布用表格形式来表示， 并称为联合概率分布表：
注：对离散型随机变量而言, 联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观, 而且能够更加方便地确定取值于任何区域上的概率,即
,
特别地， 由联合概率分布可以确定联合分布函数:

四、二维连续型随机变量及其概率密度
定义 设为二维随机变量，为其分布函数， 若存在一个非负可积的二元函数， 使对任意实数， 有

则称为二维连续型随机变量, 并称为的概率密度（密度函数）， 或的联合概率密度(联合密度函数).
概率密度函数的性质：

（3） 设是平面上的区域，点落入内的概率为

特别地, 边缘分布函数

上式表明: 是连续型随机变量, 且其密度函数为:

同理， 是连续型随机变量, 且其密度函数为:
，
分别称和为关于和的边缘密度函数。
(4） 若在点连续, 则有
进一步, 根据偏导数的定义， 可推得：当很小时， 有

即， 落在区间上的概率近似等于

五、二维均匀分布
设是平面上的有界区域,其面积为.若二维随机变量具有概率密度函数

则称在上服从均匀分布.

六、二维正态分布
若二维随机变量具有概率密度

其中均为常数，且，则称服从参数为的二维正态分布.
注:二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布,且都不依赖于参数，亦即对给定的，不同的对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布都是相同的，因此仅由关于和关于的边缘分布，一般来说是不能确定二维随机变量的联合分布的。

例题选讲：
二维随机变量的分布函数
例1 (讲义例1) 设二维随机变量的分布函数为

(1） 试确定常数
(2) 求事件的概率.

二维离散型随机变量及其概率分布
例2 （讲义例2） 设随机变量在1, 2, 3, 4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量在1～中等可能地取一整数值，试求的分布律.
例3 (讲义例3） 把一枚均匀硬币抛掷三次, 设为三次抛掷中正面出现的次数， 而为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值, 求的概率分布及关于的边缘分布.
例4 设二维随机变量的联合概率分布为

Y
X

0
1

0.3
0。1
0.1
1
0.05
0。2
0
2
0。2
0
0。05

求及

二维连续型随机变量及其概率密度
例5 （讲义例4) 的概率分布由表3—1B给出，求

表3—1B

0
2
0
0.1
0。2
0
1
0.2
0。05
0。1
2
0.15
0
0.1

例6 一整数等可能地在十值中取一个值. 设是能整除的正整数的个数,是能整除的素数的个数(注意1不是素数）. 试写出和的联合分布律。并求分布律.
例7 (讲义例5)

（1) 求分布函数 (2） 求概率
例8 (讲义例6） 设的概率密度是

求 （1) 的值； (2） 两个边缘密度。

二维均匀分布
例9 设随机变量和具有联合概率密度

求边缘概率密度。
例10 (讲义例7） 设服从单位圆域上的均匀分布, 求X和Y的边缘概率密度。

二维正态分布
例11 (讲义例8） 设二维随机变量的概率密度

试求关于的边缘概率密度函数。

课堂练习
1。将两封信随意地投入3个邮筒， 设,分别表示投入第1, 2号邮筒中信的数目, 求和的联合概率分布及边缘概率分布.
2。设向量的密度函数的密度函数为

求 (1） 参数的值；（2）的边缘密度。

第二节 条件分布与随机变量的独立性

内容分布图示

★ 条件分布的概念 ★ 例1
★ 随机变量的独立性
★ 离散型随机变量的条件分布与独立性
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 连续型随机变量的条件分布与独立性 ★ 例5
★ 例6 ★ 例7 ★ 例8
★ 例9 ★ 例10 ★ 例11
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题3—2 ★ 返回

内容要点：
一、 条件分布的概念
设是一个随机变量, 其分布函数为

若另外有一事件已经发生， 并且的发生可能会对事件发生的概率产生影响, 则对任一给定的实数， 记

并称为在发生的条件下， 的条件分布函数.
二、 随机变量的独立性
设是随机变量所生成的事件： , 且， 则有
.
一般地, 由于随机变量之间存在相互联系，因而一个随机变量的取值可能会影响另一个随机变量的取值统计规律性。 在何种情况下, 随机变量之间没有上述影响， 而具有所谓的“独立性”, 我们引入如下定义。
定义 设随机变量的联合分布函数为, 边缘分布函数为,， 若对任意实数，有

即
则称随机变量和相互独立.
关于随机变量的独立性， 有下列两个定理。
定理1 随机变量与相互独立的充要条件是所生成的任何事件与生成的任何事件独立， 即, 对任意实数集, 有

定理2 如果随机变量与相互独立, 则对任意函数
均有相互独立。

三、离散型随机变量的条件分布与独立性
设是二维离散型随机变量, 其概率分布为

则由条件概率公式, 当, 有

称其为在条件下随机变量的条件概率分布.
对离散型随机变量， 其独立性的定义等价于：
若对的所有可能取值 有

即
则称和相互独立。

四、 连续型随机变量的条件密度与独立性
定义 设二维连续型随机变量的概率密度为,边缘概率密度为, 则对一切使的， 定义在的条件下的条件概率密度为
.
类似地， 对一切使的， 定义在的条件下的条件密度函数为
。
注: 关于定义表达式内涵的解释。 以

为例. 在上式左边乘以， 右边乘以即得

换句话说, 对很小的和,表示已知取值于和之间的条件下, 取值于和之间的条件概率。
对二维连续型随机变量， 其独立性的定义等价于:
若对任意的， 有

几乎处处成立, 则称相互独立.
注: 这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为0的集合外,处处成立.

例题选讲：
条件分布的概念
例1 (讲义例1) 设服从上的均匀分布， 求在已知的条件下的条件分布函数。

随机变量的独立性
例2 （讲义例2) 设与的联合概率分布为
Y
X

0
2
0
0.1
0.2
0
1
0.3
0.05
0。1
2
0。15
0
0。1

（1） 求时, 的条件概率分布以及时, 的条件概率分布;
（2）判断与是否相互独立？
例3 （讲义例3） 设随机变量X与Y相互独立， 下表列出了二维随机变量联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值， 试将其余数值填入表中的空白处。

Y
X

1/8

1/8

1/6

1

例4 (讲义例4) 一射手进行射击，击中目标的概率为， 射击进行到击中目标两次为止。 以表示首次击中目标所进行射击次数, 以表示总共进行的射击次数。 试求和的联合分布及条件分布.

连续型随机变量的条件密度与独立性
例5 (讲义例5)设的概率密度为
；
问和是否独立?

例6 设服从单位圆上的均匀分布，概率密度为

求
例7 (讲义例7）设
(1） 求 和 。
(2) 证明与相互独立的充要条件是.
例8 （讲义例6）甲乙两人约定中午12时30分在某地会面。 如果甲来到的时间在12：15到12:45之间是均匀分布. 乙独立地到达, 而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布。 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率。 又甲先到的概率是多少?
例9 设数在区间均匀分布,当观察到时，数在区间上等可能随机地取值.求的概率密度.

例10 设店主在每日开门营业时，放在柜台上的货物量为，当日销售量为假定一天中不再上柜台上补充货物，于是. 根据历史资料，的概率密度函数为

即服从直角三角形区域上的均匀分布， 见图3—2A. 求
(1) 给定条件下，的条件分布.
（2）假定某日开门时,件,求这天顾客买走件的概率. 如果件呢?
例11 （讲义例8）设随机变量的概率密度为

(1) 求与的边际概率密度, 并判断与是否相互独立；
（2) 求在的条件下, 的条件概率密度；
(3） 求概率

课堂练习
1。 设的分布律如下
Y
X
1
2
3
1
1/6
1/9
1/18
2
1/3

问为何值时， 与相互独立.

2. 设的概率密度是

求

3.设，试判断与是否相互独立.

第三节 多维随机变量函数的分布

在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数。 例如,考虑全国年龄在40岁以上的人群,用和分别表示一个人的年龄和体重，表示这个人的血压,并且已知与，的函数关系式
，
现希望通过的分布来确定的分布。 此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题。
在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系:
(i) ；
(ii） 和，其中与相互独立.
注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到个随机变量函数的分布问题只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异.

内容分布图示

★ 引言
★ 离散型随机向量的函数的分布
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 连续型随机向量的函数的分布 ★ 例4
★ 连续型随机向量函数的联合概率密度 ★ 例5
★ 和的分布 ★ 例6 ★ 例7
★ 正态随机变量的线性组合
★ 例8 ★ 例9 ★ 例10
★ 商的分布 ★ 例11 ★ 积的分布 ★ 例12
★ 最大、最小分布 ★ 例13 ★ 例14
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题3-3 ★ 返回

内容要点:
一、 离散型随机变量的函数的分布
设是二维离散型随机变量， 是一个二元函数， 则作为的函数是一个随机变量, 如果的概率分布为

设的所有可能取值为， 则的概率分布为

二、 连续型随机变量的函数的分布
设是二维连续型随机向量, 其概率密度函数为, 令为一个二元函数， 则是的函数.
可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求的分布。
a） 求分布函数

其中,
b) 求其概率密度函数, 对几乎所有的z, 有

定理1 设是具有密度函数的连续型随机向量.
（1) 设是到自身的一一映射， 即存在定义在该变换的值域上的逆变换：

（2） 假设变换和它的逆都是连续的；
（3) 假设偏导数存在且连续;
(4） 假设逆变换的雅可比行列式
，
即对于在变换的值域中的是不为0的. 则具有联合密度

定理2 设相互独立,且 则仍然服从正态分布，且

更一般地,可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布， 即有
定理3 若且它们相互独立，则对任意不全为零的常数，有
.

三、 及的分布
设随机变量相互独立,其分布函数分别为和, 由于不大于z等价于和都不大于z, 故有

类似地, 可得的分布函数

例题选讲：
离散型随机变量的函数的分布
例1 (讲义例1） 设随机变量的概率分布如下表
Y
X

0
1
2

0.2
0.15
0.1
0.3
2
0。1
0
0.1
0。05
求二维随机变量的函数Z的分布：
例2 （讲义例2） 设和相互独立, 求的分布.
例3 （讲义例3） 若和相互独立， 它们分别服从参数为的泊松分布, 证明服从参数为的泊松分布。

连续型随机变量的函数的分布
例4 (讲义例4） 设随机变量与相互独立， 且同服从上的均匀分布, 试求的分布函数与密度函数.

例5 (讲义例5) 设的密度函数为 令

试用表示和的联合密度函数。
和的分布：设和的联合密度为， 求的密度。
卷积公式： 当和独立时， 设关于的边缘密度分别为 则上述两式化为

以上两个公式称为卷积公式.
例6 (讲义例6）设和是两个相互独立的随机变量. 它们都服从分布， 其概率密度为

例7 （讲义例7) 设某种商品一周的需要量是一个随机变量， 其概率密度函数为

如果各周的需要量相互独立， 求两周需要量的概率密度函数。
例8 设与相互独立， 且均在区间上服从均匀分布, 求的密度函数。
例9 （讲义例8) 设相互独立且分别服从参数为的分布（分别记成的概率密度分别为

试证明服从参数为的分布。
商的分布：设二维随机向量的密度函数为, 求的密度函数。

例10 在一简单电路中， 两电阻和串联连接， 设相互独立，它们的概率密度均为

求总电阻的概率密度。

例11 (讲义例9） 设X与Y相互独立, 它们都服从参数为的指数分布. 求的密度函数.

积的分布: 设具有密度函数, 则的概率密度为

例12 (讲义例10） 设二维随机向量在矩形上服从均匀分布， 试求边长为和的矩形面积的密度函数.
例13 (讲义例11) 设随机变量相互独立， 并且有相同的几何分布：
，
求的分布.

例14 （讲义例12)设系统由两个相互独立的子系统联接而成,联接方式分别为串联、并联、备用（当系统损坏时，系统开始工作），如图3—3—6所示。 设的寿命分别为， 已知它们的概率密度分别为

其中且 试分别就以上三种联接方式写出寿命的概率密度。

课堂练习
1. 已知的分布律为

0
1
2
0
0。10
0。25
0.15
1
0。15
0.20
0.15
求： （1）
（2）
(3)
（4)的分布律。

2。 若和独立， 具有共同的概率密度

求的概率密度.