第五章二次曲线的一般理论.doc

第五章 二次曲线的一般理论
§5.1 二次曲线与直线的相关位置
1.求直线x-y-1=0与二次曲线的交点.
解: 将y=x-1代入曲线方程,得

故直线在二次曲线上.
2.试决定k的值,使得
(1) 直线与二次曲线交于两不同实点;

(2) 直线

(3) 直线与二次曲线交于两个相互重合的实点;
(4) 已知直线 与二次曲线有两个共轭虚点，求k的值
解: (1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得

(2). 二次曲线的矩阵为

且 .

(3). 二次曲线的矩阵为
且

令
解之，得
1） 当
2） 当
时，直线与二次曲线有二重合实交点.
(4). 二次曲线的系数矩阵为且
取即
解得 ，且此时，
时, 直线与二次曲线有两个共轭虚交点。
§5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线
1. 求下列二次曲线的渐进方向,并指出曲线是属于何种类型的.

解:(1)

∴ 曲线有两个共轭的虚渐进方向,是椭圆型的.

(3)

∴曲线有两个渐进方向,是双曲型的.
2. 判断下列二次曲线是中心曲线,无心曲线还是线心曲线.

解：(1) ，故为中心曲线;

∴ 曲线为无心曲线;

∴曲线为线心曲线.
3. 求下列二次曲线的中心.

∴中心为

∴中心为

∴ 曲线没有中心.

∴ 曲线为线心曲线,中心直线方程为2x-y+1=0.
4. 当a,b满足什么条件时，二次曲线

（1） 有唯一中心；（2） 没有中心； （3） 有一条中心直线。
解：因为，，
∴ （1）当即为任意实数时，曲线有唯一中心；

二次曲线没有中心；

（3）当a=b=9时，二次曲线有一条中心直线。
5、试证明如果二次曲线，
有渐近线，则它的两渐近线方程是

式中为二次曲线的中心。
证：设渐进方向为X:Y,在渐进线上任取一点,则.
由，即
化简，得渐进线方程为：
6． 求下列二次曲线的渐进线。

解：（1）由

（2）由

（3） 原方程变形为，即为两条平行直线。
其渐进线方程为中心直线：x+y+1=0.
7. 试证二次曲线成为线心曲线的充要条件是成为无心曲线的充要条件是.
证：（1）若二次曲线为线心曲线，则

（2）若曲线为无心曲线，则

8、求以点（0，1）为中心，且通过点（2，3），（4，2）与（-1，-3）的二次曲线方程。
解：设所求的二次曲线方程为，
因为（0，1）是其中心，点（2，3），（4，2），（-1，-3）在曲线上，它们关于（0，1）的对称点（-2，-1），（-4，0），（1，5）也在曲线上，从而

由上六式解得 ，
∴所求方程为.
§5.3 二次曲线的切线
1. 求以下曲线在所给点或经过所给点的切线方程.
(1) 曲线
(2) 曲线
(3) 曲线

解 (1)
∴ 所求切线方程为
(2)

∴ 所求切线方程为
(3)

∴ 所求切线方程为
即
2. 求以下曲线的切线方程,并求出且点的坐标.
(1) 曲线的切线平行于直线。
(2) 曲线的切线平行于轴.
解：(1) 设切点为，则切线为：，
这切线与直线平行，从而，
即，所以………（1）
又因为在二次曲线上，故有………（2）
由（1）（2）得或。所以曲线的方程是或。
(2) 设切点为,因为切线的方向数X:Y为1:0或0:1,

∴ 平行于ox轴的切线方程为y=2与y=-2.
3． 求下列二次曲线的奇异点。

解:

∴ 奇异点为（-1，1）.

∴ 奇异点为(-1,1).

4. 试求经过原点且切直线4x+3y+2=0于点（1,-2），切直线x-y-1=0于点（0，-1）的二次曲线方程.
解 ∵ 二次曲线过原点
∴ 可设其方程为,
以其上一点为切点的切线方程为:
,
故以(1,-2)为切点的切线方程为
,
以点(0,- 1) 为切点的切线方程为

此两直线方程分别与4x+3y+2=0和x-y-1=0同解，从而有

故所求二次曲线方程为：
5、设有共焦点的曲线族这里是一个变动的参数，作曲线的平行于已知直线的切线，求这些切线切点的轨迹方程.
解：过曲线上一点的切线方程为:
按题设有，
从而这些切线的切点的全体符合方程组
消去参数并整理，得所求轨迹方程为：.
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