创意平板折叠桌.doc

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

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日期： 2014 年 9 月 12 日

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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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创意平板折叠桌
摘要
本文对创意平板折叠桌的折叠过程进行研究，用数学模型描述折叠桌的相关设计参数及其动态变化，用非线性优化模型确定最优设计参数，并给出折叠桌设计的程序。
问题一中，要求桌腿开槽的长度和桌脚边缘线。在整个变化过程中所有桌腿都由钢筋相连，且各桌腿与桌面连接点的相对位置不变。根据几何关系，由折叠后钢筋的位置及每根桌腿的长度即可计算每个桌脚边缘的位置。求出桌脚边缘的参数方程即可描绘桌脚边缘线。在折叠过程中，以桌高为参数，就可以描绘动态变化过程。分析发现，铺展时钢筋位于开槽的顶部，折叠时则位于底部。因此可由初末两个状态的钢筋与桌脚边缘距离之差计算开槽长度。结果是，从外到内桌脚槽宽依次为：0, 8.4, 11.5, 14.1, 16.2, 17.9, 19.3, 20.3, 21.0, 21.3 （单位：）。
问题二只给定了桌面面积与桌高，需自主确定桌腿长与钢筋位置。本文从三个方面来决定桌子具体形状：是否节约材料、稳固性、加工难易。分析发现桌腿越长用材越多，但稳固性越好。而开槽长度越短则加工越容易。由力学分析得桌子受压后不会变形的前提是最中间桌腿与桌面的夹角小于90度，即向内“凹”。为求得最优方案，本文采用非线性规划的方法，利用桌面面积和底面积建立目标函数，根据几何关系寻找约束条件，考虑实际赋予桌面与桌脚接触面积权值。用Lingo软件求得最优解。结果是桌脚接触面为正方形时达到最优。桌腿长度确定后，通过考察不同钢筋位置所形成的开槽长度来确定合适的钢筋位置。其中，槽长须为正且不超过相应的桌腿长。据此可以确定一个范围，再根据槽长越短加工越易的原则确定最优钢筋位置。
问题三由用户自由选择桌高、桌面形状与桌角线大致形状。本文提供一种简单的思路使得能够尽量满足客户的任意组合。确定桌子形状后参照第二问的标准确定桌腿长与钢筋位置。本文的程序利用第一问描述的几何关系描绘图案并计算加工参数。在最后本文设计了椭圆型桌面及心形桌面的桌子并描绘折叠过程的示意图。

关键字：数学模型 非线性规划 加工参数 边缘线 设计优化

一、 问题的重述
某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示）。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。
试建立数学模型讨论下列问题：
1. 给定长方形平板尺寸为，每根木条宽，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图中红色曲线）的数学描述。
2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高，桌面直径的情形，确定最优设计加工参数。
3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

二、问题分析
第一问所有参数都已给定，该问就变成了纯几何分析问题。首先注意到几个特征：桌腿的长度不变，桌腿与桌面连接处不变，同侧所有桌腿由不可弯曲的钢筋连接，平铺时所有桌脚成一条直线。对于桌子折叠时的静止状态，每一根桌腿可看作是最外侧桌腿沿钢筋平行旋转而成。
建立空间直角坐标系，根据桌腿与桌面及钢筋接触的两点可确定桌腿的直线方程，再由每根桌腿的长度即可确定桌脚的坐标，依次连接即成桌脚线。对于桌腿开槽长度，分析发现桌子平铺时钢筋位于槽靠近桌面的顶端，而折叠时位于靠近桌脚的顶端。由此，计算两个状态下钢筋与桌脚距离之差即可得每根桌腿开槽长度。对于桌子折叠的过程，取桌面离地面高度为变量，每确定一个桌高即用上述方法进行分析计算。由此可得到桌子在折叠过程中各参数的变化。
问题二给定了桌面面积与桌高，需要确定的是腿长与钢筋位置。由此可确定第二问是一个求最优解的问题。制作桌子要考虑三方面因素：是否节省材料、稳固性、加工难易。分析发现最外侧桌脚越长越费材料，但由于增加了底面积而增加了稳固性。另由力学分析得桌子在受压后不会恢复原状的必要条件是每侧最中间的桌腿与桌面的夹角小于90度，即向内“凹”。这样桌子受压时外侧桌腿向外的趋势与中间桌腿向内的趋势可通过钢筋抵消，从而使桌子具备抗压能力。钢筋的位置会影响桌腿开槽长度。槽的长度又有限制条件，即须为正数且小于所在桌腿长。其它的限制条件有：平铺时钢筋的位置须在最短桌腿范围内；折叠时以两侧中间向内的桌腿相碰为极限状态。
该问难点在于如何建立一个优化模型以求得最优解。本文以材料总面积大小作为节省材料的评判标准，以桌脚与地面形成的底面积大小评判其稳固性。以两者的加权差作为优化的目标函数。考虑实际确定权值后利用Lingo计算出最优解。考虑了前两个因素后考虑加工难易。以开槽长短作为加工难易的标准。考察不同钢筋位置时桌腿开槽长度，在约束范围内选取最优的槽长。
问题三需要满足客户提出的需求以设计桌子。在设计时需要全面考虑所有限制因素，并选择最优方案。沿用第一问的计算方法及第二问的优化模型，根据客户给出的桌面形状、桌高及桌角线形状计算桌腿长、钢筋位置以及桌腿开槽长度等加工参数。应用前两问的程序，改动桌面边缘线的方程，输入客户给定的参数，即可绘图并得出最优的加工参数。在最后本文给出了两例分别以椭圆形与心形作为桌面形状。

三、模型假设
1.假设桌子的材料和钢筋足够坚固，能承受桌子上物体的压力不会断裂；
2.计算时桌脚接触面为平面，轴穿过桌面中心，桌子关于轴对称。
四、变量说明

桌子的长度的一半

桌子的高度

最外侧桌脚在面上的投影长度

长方形木板面积

四个桌脚所围面积

圆桌面面积

桌面的半径

五、模型的建立与求解

5.1问题一的求解

如图1建立空间直角坐标系

图1 桌子的坐标示意图
最外侧四个桌脚均落在平面内，桌子的圆心在轴上，且整个桌子关于轴对称。所有桌腿都平行于平面。其侧视图为

图2 折叠后的桌子侧面示意图
设圆桌面边缘上任意点（），钢筋固定点(),桌脚边缘点 （）。
桌面长度为，则桌脚长度为。
桌子折叠后，钢筋相对于每一根桌腿的位置就确定了，因此每一根桌脚必然经过、、三点。可以利用几何关系求出所需加工参数。
过作桌面的垂线，垂足为，则。则
,，
其中，，

点()满足

过作桌面的垂线，使垂足为，根据两个相似三角形的关系得到桌脚点的坐标

由于
则 均可以用参数 来表示。因为 已知，而 ，所以折叠桌子的动态变化过程即是随着 变化，桌脚边缘线的变化过程。
由于桌子的高度为 53 ，桌子厚度为 3 ，则桌脚的高度为 50 。
由 ，利用matlab作图得
图3 桌子折叠后桌子边缘线的坐标图

当桌子平铺为一张木板时，每根桌腿的槽的上沿位于同一条直线，即M点均在桌子长的处。故，所以槽的宽度。桌子折叠后后的距离即为图1中的长度。

图4 木板上的槽宽示意图

利用两点间距离公式得

利用matlab作图，得到槽长关于的变化曲线

图5 不同桌脚的槽的长度示意图

由图可以看出两侧的桌脚槽长为零，越中间的桌脚槽长越长。从一侧到中央的十根桌脚槽宽依次为：

表1 各桌腿的开槽长度
桌脚序号（从外到里）
槽的长度(cm)
第 1根
0
第2根
8.4015
第 3根
11.5360
第 4根
14.1148
第5根
16.2456
第 6根
17.9768
第7根
19.3364
第 8根
20.3426
第9根
21.0072
第 10根
21.3377

5.2最优化模型与问题二的求解：
5.2.1 该问分两部走，首先确定最外侧桌腿长，其次确定钢筋位置。折叠桌的最外侧桌腿长度决定了长方形木板的长，从而决定长方形木板的面积，面积越少，所用材料就越少，于是通过建立最外侧桌腿长与面积的关系反映用材量。四个桌脚在地面围成长方形，根据物理常识，四个桌脚所围成的面越大，重心越不易落到接触面之外，桌子就越稳固。以木板总面积与桌脚形成矩形面积之差为目标函数，根据几何关系得出约束条件，对腿长的选择进行优化。

长方形木板面积

四个桌脚形成的面积

圆桌面的面积

当时，这样的桌子被称为独脚桌，不稳定
所以

图6 折叠后桌子的侧视图

因为 OC=,CD= , 而最内侧的桌脚最多碰地，所以,
即

则可建立有约束条件的优化模型

对于厂商来说，节约成本很重要，所以取

代入数据 ，。用lingo运行得到结果 , 经计算可知最外侧的两根桌脚连线大约与圆相切，即四个桌脚形成的图形为正方形。
该桌中最外侧桌脚 ，长方形木板面积为 ，桌脚最外侧桌脚面积为 。

5.2.2利用所得的最优桌脚围成形状来确定最小槽宽
桌腿上开槽长度越小加工越容易。同时槽长须满足一定约束条件：为正数、小于腿长。参照上述分析作示意图如下

图7 木板上的槽宽示意图

， 其中,,,图一中

在中，由余弦定理得

槽宽
=

代入原始数据和所得的 ，在Matlab中考察不同值对开槽长度的影响。除去不可取的位置后选取最优的槽长。

表2各桌腿的开槽长度
桌脚序号（从外到里）
槽的最短长度
第 1根
0
第2根
13.8582
第 3根
18.6100
第 4根
17.8793
第5根
14.7612
第 6根
12.2463
第7根
10.2795
第 8根
8.8275
第9根
7．8697
第 10根
7.3937

5.3问题三的求解：
根据客户的设定要求来设计，找出最优的加工参数。在问题一和问题二中我们研究的都是圆形，且给定了一些设计参数。但对于问题三，需要全面考虑所有限制条件以及客户所给出的各种组合能否实现的问题。
在问题一中，给定长方形木板材料，但是实际上，桌子展开成平面时不一定非要是长方形。我们可以这样来想：首先，按照客户指定的桌面大小形状来做出桌面，然后根据桌高来确定并且做出四根接触地面的桌腿（如图Ⅰ，图Ⅰ只画了正面的两条桌腿）；在桌腿插上钢筋，然后再将木条向钢筋上放，要求是这些木条能恰好插入到钢筋（如图Ⅱ）；最后延长木条，使得木块下沿构成客户所需要的形状（如图Ⅲ，图Ⅲ）。

图Ⅰ 图Ⅱ 图Ⅲ
这个方法很显然可以实现，这样做可以方便加工，而且若是客户没有要求铺开时木板形状，我们还可以将木条的长度缩减到恰好能被钢筋连接起来，这样又可以节省一部分材料。
在程序实现中，客户给定桌面形状、桌高以及桌脚边缘线大致形状，只要能给出桌面边缘的显式或参数方程，就可以自动计算加工参数并制图。
本文考察了桌面为半长轴为50，半短轴为40的椭圆，高80的桌子，以及以系数为20的心形为桌面，高为70的桌子。给出了开槽长度及折叠过程示意图。

1、 椭圆形桌面
表3 各桌腿的开槽长度
桌脚序号（从外到里）
槽的长度
第 1根
0
第2根
17.8746
第 3根
24.5662
第 4根
30.0544
第5根
34.5735
第 6根
37.2380
第7根
34.3708
第 8根
32.2532
第9根
30.8564
第 10根
30.1623

2、 心形桌面

表4 各桌腿的开槽长度
桌脚序号（从外到里）
槽的长度
第 1根
0
第2根
8.7391
第 3根
18.3158
第 4根
10.3634
第5根
6.7269
第 6根
3.6755
第7根
1.4695
第 8根
0.3274
第9根
0.4012
第 10根
1.7568
第 11根
4.3605
第 12根
8.0718
第 13根
12.6481
第 14根
17.7660
第 15根
12.0498
第 16根
0.0515

六、模型的评价与推广
6.1模型的优缺点
缺点：
1.问题一二中，模型是理想化的，桌面并不是理想的圆形，最外侧的桌脚的长度也不是桌长的一半。
2.桌脚构成的边缘线并不是连续的，槽的长度构成的曲线也不是连续的，求得的数据有误差。
优点：
利用桌子各个参数之间的关系，将桌子加工的方式进行改进，使加工方式简化；
6．2模型的推广
1.本文建立的模型是简化很多条件后的，因为最外侧桌腿的顶侧并不是相接的，而是留有一小块木块，实际上不论是什么形状的桌子，都必须要留有一部分，否则两条桌腿便无法合上，实际的最外侧桌腿应该比长方形的一半要小，可以根据木块的厚度来决定所留木块的长短，再将这一数据代入模型中可以减小与实际情况的误差。
2.槽长和最外侧桌腿与地面的夹角以及钢筋的位置有关，这样就可以将槽长和桌腿地面的面积以及桌面面积联系在一起，建立一个二元变量的目标函数，钢筋的位置是有范围的，不能接触到桌面边缘，也不能超出最外侧木板，在这个约束条件内求最优的钢筋位置和最外侧桌腿与地面夹角。

七、参考文献

[1] 王思成，GBT，10357.7-1995家具力学性能试验桌类稳定性[J]，16-18.2012-09-13.

八、附录
附录一 计算第一问的加工参数

clear
i=0;
for x=-25:0.05:25;%%以x为参数计算桌脚坐标及开槽长度
i=i+1;
x0(i)=x;
z(i)=50;
y(i)=sqrt(25^2-x^2);
y0(i)=sqrt(625-x.^2)+(60-sqrt(625-x.^2)).*(16.583-sqrt(625-x.^2))/sqrt(1250-x.^2+16.583.^2-2.*16.583.*sqrt(625-x.^2));
z0(i)=50-25.*(60-sqrt(625-x.^2))/sqrt(625+(sqrt(625-x.^2)-16.583).^2);
d2(i)=sqrt((y0(i)-16.583).^2+(z0(i)-25).^2);%%折叠时钢筋到桌脚的距离
d(i)=30-d2(i);%%开槽长度
end

subplot(1,2,1)
plot3(x0,y0,z0,'r-')%%绘制桌脚边缘线
hold on
grid on
subplot(1,2,2)%%绘制槽长变化曲线
plot(x0,d)
grid on

附录二 第二问

clear
i=0;
y1=30; %%更改不同的y1来模拟不同的钢筋位置
for x=-40:0.05:40
i=i+1;
y(i)=sqrt(1600-x^2);
co(i)=(y1-y(i))/sqrt((y1-y(i))^2+(7/4*y1)^2);
si(i)=7/4*y1/sqrt((y1-y(i))^2+(7/4*y1)^2);
x0(i)=x;
y0(i)=y(i)+(sqrt(6500)-y(i))*co(i);
z0(i)=70-(sqrt(6500)-y(i))*si(i);%%计算桌脚的坐标
d2(i)=sqrt((y1-y0(i))^2+(70-7/4*y1-z0(i))^2);
d(i)=sqrt(6500)-sqrt(y1^2+(7/4*y1)^2)-d2(i);
y2(i)=-y0(i);
l(i)=sqrt(6500)-y(i);
end
subplot(1,2,1)
plot3(x0,y0,z0,'r-')
hold on
plot3(x0,y2,z0)%%绘制桌脚边缘线
grid on
subplot(1,2,2)%%绘制槽长变化曲线
plot(x0,d)
hold on
plot(x0,l,'r')%%绘制桌腿长变化曲线
grid on

附录三

min=11200*(1-0.5*@sqrt(1-x^2))/x; //此函数为加权后的目标函数
x>=0.580322535; //程序中的x就是,为了计算简便用了换元
x<=0.921573912;

附录四 第四问 椭圆桌面

clear
a=50;
b=40;%%输入桌面形状
h=80;%%输入桌高
hp=70;%%折叠时变化的桌高
i=0;
y1=30;
l=sqrt(a^2+h^2);
z1p=hp-y1*hp/a;
y1p=y1/a*sqrt(l^2-hp^2);

for x=-b:0.01:b;
i=i+1;
x0(i)=x;
y(i)=sqrt((1-x^2/b^2)*a^2);
z(i)=hp;
l0(i)=l-y(i);
si(i)=(hp-z1p)/sqrt((y1p-y(i))^2+(hp-z1p)^2);
co(i)=(y1p-y(i))/sqrt((y1p-y(i))^2+(hp-z1p)^2);
y0(i)=l0(i)*co(i)+y(i);
z0(i)=hp-l0(i)*si(i);%%计算桌脚坐标
d2(i)=sqrt((y1p-y0(i))^2+(z1p-z0(i))^2);
d(i)=l-l*y1/a-d2(i);%%计算槽长
end

plot3(x0,y0,z0,'r-')
hold on
plot3(x0,-y0,z0,'r-')
plot3(x0,y,z,'r-')
plot3(x0,-y,z,'r-')
grid on

附录五 第四问 心形线桌面

clear
a=52;
b=45;
h=70;%%输入桌子尺寸，高度
hp=70;
i=0;
y1=40;
l=sqrt(a^2+h^2);
z1p=hp-y1*hp/a;
y1p=y1/a*sqrt(l^2-hp^2);

for t=0:0.01:pi;
i=i+1;
x(i)=20*(2*cos(t)-cos(2*t));
x0(i)=x(i);
z(i)=hp;
y(i)=20*(2*sin(t)-sin(2*t));
l0(i)=l-y(i);
si(i)=(hp-z1p)/sqrt((y1p-y(i))^2+(hp-z1p)^2);
co(i)=(y1p-y(i))/sqrt((y1p-y(i))^2+(hp-z1p)^2);
x0(i)=x(i);
y0(i)=l0(i)*co(i)+y(i);
z0(i)=hp-l0(i)*si(i);%%计算桌脚坐标
d2(i)=sqrt((y1p-y0(i))^2+(z1p-z0(i))^2);
d(i)=l-l*y1/a-d2(i);%%计算槽长
end

plot3(x0,y0,z0,'r-')
hold on
plot3(x0,-y0,z0,'r-')
plot3(x0,y,z,'r-')
plot3(x0,-y,z,'r-')
grid on目 录
第一章 项目摘要 3
1.1项目基本情况 3
1.2建设目标 3
1.3建设内容及规模 4
1.4产品及去向 4
1.5效益分析 4
第二章 项目建设的可行性和必要性 5
2.1建设的必要性 5
2.2建设的可行性 5
2.3编制依据 6
2.4编制原则 9
第三章 项目建设的基础条件 9
3.1建设单位的基本情况 9
3.2项目的原料供应情况 10
3.3地址选择分析 10
第四章 产品 11
4.1沼气 11
4.2 沼气产量确定 12
4.3有机肥 13
4.4产品去向 13
第五章 沼气工程工艺设计 14
5.1工艺参数 14
5.2处理工艺选择 14
5.3工艺流程的组成 15
5.4厌氧处理工艺选择与比较 15
5.5沼气存储和净化工艺 16
5.6工艺流程 18
5.7沼气输配设施 19
5.8沼气计量设施 19
第六章 总体设计 19
6.1站内总体设计 19
6.2站外配套设计 19
第七章 土建设计 20
7.1建筑设计 20
7.2结构设计 20
第八章 电气设计 21
8.1设计依据 21
8.2设计规范 22
8.3 设计说明 22
8.4控制与保护 22
8.5防雷与接地 22
8.6配电系统 23
8.7防雷与接地 23
8.8 防爆设计 23
8.9供电负荷 23
第九章 安全、节能及消防 24
9.1安全生产 24
9.2防火消防 24
9.3节能 25
第十章 主要构（建）筑物、设备的设计参数 25
10.2 厌氧消化系统工艺参数设计 27
10.3 沼气净化系统工艺参数设计 28
10.4 沼气储存系统 28
10.5 沼肥储存系统 29
10.6配套设施区 29
第十一章 投资概算和资金筹措 30
11.1编制说明 30
11.2总投资估算表 31
11.3投资概算 33
11.4资金筹措 33
第十二章 项目实施进度和投招标 34
12.1进度安排 34
12.2招（投）标依据 34
12.3招（投）标范围 34
12.4招（投）方式 35
第十三章 项目组织与管理 35
13.1管理 35
13.2劳动定员和组织培训 37
第十四章 环境保护和安全生产 37
14.1污染源和污染物 37
14.2污染治理方案 38
14.3安全生产 39
第十五章 产品市场分析与预测 41
15.1沼气 41
15.2沼气发电 41
15.3沼液和沼渣 43
15.4（生态）农产品。 43
第十六章 社会、生态及经济效益分析 43
16.1社会效益 43
16.2生态效益 44
16.3经济效益 44
第十七章 结论 46
第十八章 附件 47

21