模糊分析方法及其应用ppt课件.ppt

西南财经大学经济数学学院 刘刘 丽 模糊分析方法及其模糊分析方法及其应用用1 1.参考参考资料：料：1 杨纶标、高英、高英仪，模糊数学原理及其，模糊数学原理及其应用，用，华南理工大学出版社南理工大学出版社2 谢季季坚、刘承平，模糊数学方法及其、刘承平，模糊数学方法及其应用，用，华中科技大学出版社。中科技大学出版社。教材：教教材：教师自自编讲义本本课程的教学目程的教学目标是使学生掌握模糊分析是使学生掌握模糊分析的主要方法，培养学生的主要方法，培养学生应用模糊分析方法用模糊分析方法研究不确定性的复研究不确定性的复杂系系统的能力。的能力。2 2.第一章第一章 绪论3 3.1.1 模糊模糊现象象4 4.一、一、模糊性模糊性现象象现象本身不确定，具有模糊性。它是由概念的模糊性产生的。5 5.例如：胖子，瘦子，例如：胖子，瘦子，高山，大河，高山，大河，富裕，富裕，贫困，困，健康，不健康，健康，不健康，年年轻，年老，年老，产品品质量好，量好，质量不好量不好.6 6.模糊与清晰是相悖的：模糊与清晰是相悖的：凡在凡在类属属问题上判断上判断“是是”与与“非非”的属清晰。的属清晰。如：地球是如：地球是“行星行星”吗？是。？是。鸡蛋呢？非。蛋呢？非。7 7.凡在凡在类属属问题上可用程度，等上可用程度，等级区区别的，的，属模糊。属模糊。如：如：“高山高山”，青城山：高？不高？，青城山：高？不高？（相比（相比较而言）而言）成都市的空气成都市的空气质量：好？不好？量：好？不好？（以等（以等级划分）划分）8 8.二、二、模糊数学的模糊数学的诞生与生与发展展 在在较长时间里，精确数学及随机数学在描里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运述自然界多种事物的运动规律中，律中，获得得显著效果。但是，在客著效果。但是，在客观世界中世界中还普遍存在普遍存在着大量的模糊着大量的模糊现象。以前人象。以前人们回避它，但回避它，但是，由于是，由于现代科技所面代科技所面对的系的系统日益复日益复杂，模糊性模糊性总是伴随着复是伴随着复杂性出性出现。9 9.在日常生活中，在日常生活中，经常遇到常遇到许多模糊事物，多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些模糊没有分明的数量界限，要使用一些模糊的的词句来形容、描述。比如，比句来形容、描述。比如，比较年年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远。这些概念是不可以些概念是不可以简单地用是、地用是、非或数字来表示的。非或数字来表示的。1010.精确数学方法：精确数学方法：1.精确的定精确的定义2.在精确定在精确定义的基的基础上上进一步推理一步推理3.得出正确的，合乎常理的得出正确的，合乎常理的结论1111.模糊性模糊性现象无法采用精确数学方法象无法采用精确数学方法解决解决例1 著名著名问题：“秃头悖悖论”_古希腊学者古希腊学者发现秃头定定义：n根根头发者者为秃头1212.1313.这样，k可以取很大可以取很大当当k很大很大时，结论:“头发很多者很多者为秃头”这是一个不合常理的，荒是一个不合常理的，荒谬的的结论1414.例例2 2.“找人找人”定定义要找的人：要找的人：如果恰逢如果恰逢头发掉了一根，就找不到此人了。掉了一根，就找不到此人了。太精确了，未必是好事太精确了，未必是好事!1515.但如果要你某日上午但如果要你某日上午10点在校点在校门口接一个口接一个“大胡子，高个子，大胡子，高个子，长头发，戴，戴宽边黑色眼黑色眼镜的中年男人的中年男人”这里只有一个精确信息里只有一个精确信息男人男人其余其余模糊的概念模糊的概念经综合分析判断，就可以找到此人。合分析判断，就可以找到此人。模糊，未必不好！模糊，未必不好！1616.例例例例3.3.有人曾有人曾有人曾有人曾经经精确定精确定精确定精确定义义:“GDP:“GDP连续连续减少减少减少减少6 6个月个月个月个月则为则为经济经济衰退衰退衰退衰退”若从若从若从若从1 1月月月月1 1日起日起日起日起GDPGDP连续连续减少，那到减少，那到减少，那到减少，那到6 6月月月月3030日就是日就是日就是日就是6 6个月，个月，个月，个月，则则7 7月月月月1 1日就是日就是日就是日就是经济经济衰退，而衰退，而衰退，而衰退，而6 6月月月月3030日日日日则则算是算是算是算是经济经济繁荣。繁荣。繁荣。繁荣。这这就有些不合常理。就有些不合常理。就有些不合常理。就有些不合常理。1717.结论：精确数学不适用于解决模糊性问题于是，模糊数学诞生了。1818.1.模糊数学的模糊数学的诞生生模糊数学模糊数学诞生于生于1965年。年。1965年，美国年，美国California大学的大学的L.A.Zadeh教授教授发表了表了论文：文：“fuzzy sets”，模糊数学便作，模糊数学便作为一一门独立的数学学独立的数学学科而科而诞生了。生了。Zadeh教授教授这篇文章被公篇文章被公认为模糊数学模糊数学诞生的生的标志。志。1919.模糊数学的其它命名：模糊分析、模糊数学的其它命名：模糊分析、模糊学，模糊模糊学，模糊论。2020.2.模糊数学的模糊数学的发展展 Zadeh教授具有教授具有创新精神，又具有新精神，又具有务实态度，度，他的研究（隶属度，隶属数，模糊集合等）他的研究（隶属度，隶属数，模糊集合等）为模糊数学作模糊数学作为一一门独立的学科建立了必独立的学科建立了必要的基要的基础。更。更为可可贵的是的是Zadeh的研究与的研究与解决解决现代科学技代科学技术的的实际问题紧密地密地联系系在一起。在一起。这一新一新兴的学科吸引了众多国内的学科吸引了众多国内外科技工作者的外科技工作者的浓厚厚兴趣。因此，模糊数趣。因此，模糊数学理学理论和和应用方面都呈用方面都呈现出朝气蓬勃的景出朝气蓬勃的景象。象。2121.模糊数学从模糊数学从诞生到生到现在已在已经四十多四十多年了，年了，现在在自然科学，工程技在在自然科学，工程技术，社会、社会、经济、农业科学各科学各领域都有域都有广泛的广泛的应用。用。2222.经典的集合典的集合论明确地明确地规定：每一个集合都必定：每一个集合都必须由确定的元素所构成，元素由确定的元素所构成，元素对集合的隶属集合的隶属关系必关系必须是明确的，决不能模棱两可。是明确的，决不能模棱两可。对于于那些外延不分明的概念和事物，那些外延不分明的概念和事物，经典集合典集合论没没办法法对模糊概念模糊概念处理，运算就理，运算就产生了模糊生了模糊集合集合论。2323.1965 1965 年美国控制年美国控制年美国控制年美国控制论论学者学者学者学者L.A.L.A.扎德扎德扎德扎德发发表表表表论论文文文文模糊集模糊集模糊集模糊集合合合合，标标志着志着志着志着这门这门新学科的新学科的新学科的新学科的诞诞生。在模糊集合中，生。在模糊集合中，生。在模糊集合中，生。在模糊集合中，给给定范定范定范定范围围内元素内元素内元素内元素对对它的隶属关系不一定只有它的隶属关系不一定只有它的隶属关系不一定只有它的隶属关系不一定只有“是是是是”或或或或“否否否否”两种情况，而是用介于两种情况，而是用介于两种情况，而是用介于两种情况，而是用介于0 0和和和和1 1之之之之间间的的的的实实数来数来数来数来表示隶属程度，表示隶属程度，表示隶属程度，表示隶属程度，还还存在中存在中存在中存在中间过间过渡状渡状渡状渡状态态。比如。比如。比如。比如“老人老人老人老人”是个模糊概念，是个模糊概念，是个模糊概念，是个模糊概念，7070岁岁的肯定属于老人，它的从属的肯定属于老人，它的从属的肯定属于老人，它的从属的肯定属于老人，它的从属程度是程度是程度是程度是 1 1，4040岁岁的人肯定不算老人，它的从属程度的人肯定不算老人，它的从属程度的人肯定不算老人，它的从属程度的人肯定不算老人，它的从属程度为为 0 0，按照，按照，按照，按照查查德德德德给给出的公式，出的公式，出的公式，出的公式，5555岁岁属于属于属于属于“老老老老”的程的程的程的程度度度度为为0.50.5，即，即，即，即“半老半老半老半老”，6060岁岁属于属于属于属于“老老老老”的程度的程度的程度的程度0.80.8。2424.扎德扎德认为，指明各个元素的隶属，指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。当集合，就等于指定了一个集合。当隶属于隶属于0和和1之之间值时，就是模糊，就是模糊集合。集合。2525.模糊数学模糊数学发展的主流是在它的展的主流是在它的应用方面。用方面。由于模糊性概念已由于模糊性概念已经找到了模糊集的描述找到了模糊集的描述方式，人方式，人们运用概念运用概念进行判断、行判断、评价、推价、推理、决策和控制的理、决策和控制的过程也可以用模糊数学程也可以用模糊数学的方法来描述。的方法来描述。2626.例如模糊聚例如模糊聚例如模糊聚例如模糊聚类类分析、模糊分析、模糊分析、模糊分析、模糊综综合合合合评评判、模糊决策、判、模糊决策、判、模糊决策、判、模糊决策、模糊控制等。模糊控制等。模糊控制等。模糊控制等。这这些方法构成了一种模糊系些方法构成了一种模糊系些方法构成了一种模糊系些方法构成了一种模糊系统统理理理理论论，构成了一种思辨数学的，构成了一种思辨数学的，构成了一种思辨数学的，构成了一种思辨数学的雏雏形，它已形，它已形，它已形，它已经经在医在医在医在医学、气象、心理、学、气象、心理、学、气象、心理、学、气象、心理、经济经济管理、石油、地管理、石油、地管理、石油、地管理、石油、地质质、环环境、生物、境、生物、境、生物、境、生物、农业农业、林、林、林、林业业、化工、化工、化工、化工、语语言、控制、言、控制、言、控制、言、控制、遥感、教育、体育等方面取得具体的研究成果。遥感、教育、体育等方面取得具体的研究成果。遥感、教育、体育等方面取得具体的研究成果。遥感、教育、体育等方面取得具体的研究成果。2727.模糊数学的研究内容模糊数学的研究内容 2828.模糊性数学自身的理模糊性数学自身的理模糊性数学自身的理模糊性数学自身的理论论研究研究研究研究进进展迅速。我国模糊性展迅速。我国模糊性展迅速。我国模糊性展迅速。我国模糊性数学自身的理数学自身的理数学自身的理数学自身的理论论研究仍占模糊性数学及其研究仍占模糊性数学及其研究仍占模糊性数学及其研究仍占模糊性数学及其应应用学用学用学用学科的主科的主科的主科的主导导地位，所取得的研究成果在地位，所取得的研究成果在地位，所取得的研究成果在地位，所取得的研究成果在模糊性数模糊性数模糊性数模糊性数学学学学、模糊系模糊系模糊系模糊系统统与数学与数学与数学与数学等数十种学等数十种学等数十种学等数十种学术术期刊和期刊和期刊和期刊和全国高校学全国高校学全国高校学全国高校学报报中中中中经经常可常可常可常可见见，模糊聚，模糊聚，模糊聚，模糊聚类类分析理分析理分析理分析理论论、模糊神模糊神模糊神模糊神经经网网网网络络理理理理论论和各种新的模糊定理及算法不和各种新的模糊定理及算法不和各种新的模糊定理及算法不和各种新的模糊定理及算法不断取得断取得断取得断取得进进展。展。展。展。一、研究模糊性数学的理一、研究模糊性数学的理论2929.二、研究模糊二、研究模糊语言学和模糊言学和模糊逻辑。人人人人类类自然自然自然自然语语言具有模糊性，人言具有模糊性，人言具有模糊性，人言具有模糊性，人们经们经常接受模糊常接受模糊常接受模糊常接受模糊语语言言言言与模糊信息，并能做出正确的与模糊信息，并能做出正确的与模糊信息，并能做出正确的与模糊信息，并能做出正确的识别识别和判断。和判断。和判断。和判断。如果我如果我如果我如果我们们把合乎把合乎把合乎把合乎语语法的法的法的法的标标准句子的从属函数准句子的从属函数准句子的从属函数准句子的从属函数值值定定定定为为1 1，那么，其他文法稍有，那么，其他文法稍有，那么，其他文法稍有，那么，其他文法稍有错误错误，但尚能表达相仿的，但尚能表达相仿的，但尚能表达相仿的，但尚能表达相仿的思想的句子，就可以用以思想的句子，就可以用以思想的句子，就可以用以思想的句子，就可以用以0 0到到到到1 1之之之之间间的的的的连续连续数来表征数来表征数来表征数来表征它从属于它从属于它从属于它从属于“正确句子正确句子正确句子正确句子”的隶属程度。的隶属程度。的隶属程度。的隶属程度。这样这样，就把模，就把模，就把模，就把模糊糊糊糊语语言言言言进进行定量描述，并定出一套运算、行定量描述，并定出一套运算、行定量描述，并定出一套运算、行定量描述，并定出一套运算、变换规则变换规则。目前，模糊目前，模糊目前，模糊目前，模糊语语言言言言还还很不成熟，很不成熟，很不成熟，很不成熟，语语言学家正在深入研言学家正在深入研言学家正在深入研言学家正在深入研究。究。究。究。3030.三、研究模糊数学的三、研究模糊数学的应用。用。更多的学者和更多的学者和更多的学者和更多的学者和专专家是搞家是搞家是搞家是搞应应用的。主要的用的。主要的用的。主要的用的。主要的应应用方面用方面用方面用方面是：是：是：是：模糊数学目前在自模糊数学目前在自模糊数学目前在自模糊数学目前在自动动控制技控制技控制技控制技术领术领域仍然得到最广域仍然得到最广域仍然得到最广域仍然得到最广泛的泛的泛的泛的应应用，所涉及的技用，所涉及的技用，所涉及的技用，所涉及的技术术复复复复杂杂繁多，从微繁多，从微繁多，从微繁多，从微观观到宏到宏到宏到宏观观、从地下到太空无所不有，在机器人、从地下到太空无所不有，在机器人、从地下到太空无所不有，在机器人、从地下到太空无所不有，在机器人实时实时控制、控制、控制、控制、电电磁元件自适磁元件自适磁元件自适磁元件自适应应控制、各种物理及力学参数反控制、各种物理及力学参数反控制、各种物理及力学参数反控制、各种物理及力学参数反馈馈控制、控制、控制、控制、逻辑逻辑控制等高新技控制等高新技控制等高新技控制等高新技术术中均成功地中均成功地中均成功地中均成功地应应用了模用了模用了模用了模糊性数学理糊性数学理糊性数学理糊性数学理论论和方法。和方法。和方法。和方法。3131.模糊性数学在模糊性数学在计算机仿真技算机仿真技术、多媒体辨、多媒体辨识等等领域的域的应用取得突破性用取得突破性进展，如展，如图像和文像和文字的自字的自动辨辨识、自、自动学学习机、人工智能、音机、人工智能、音频信号辨信号辨识与与处理等理等领域均借助了模糊性数域均借助了模糊性数学的基本原理和方法。学的基本原理和方法。3232.模糊聚模糊聚模糊聚模糊聚类类分析理分析理分析理分析理论论和模糊和模糊和模糊和模糊综综合合合合评评判原理等更多地被判原理等更多地被判原理等更多地被判原理等更多地被应应用于用于用于用于经济经济管理、管理、管理、管理、环环境科学、安全与境科学、安全与境科学、安全与境科学、安全与劳动劳动保保保保护护等等等等领领域，如房地价格、期域，如房地价格、期域，如房地价格、期域，如房地价格、期货货交易、股市情交易、股市情交易、股市情交易、股市情报报、资产评资产评估、估、估、估、工程工程工程工程质质量分析、量分析、量分析、量分析、产产品品品品质质量管理、可行性研究、人机量管理、可行性研究、人机量管理、可行性研究、人机量管理、可行性研究、人机工程工程工程工程设计设计、环环境境境境质质量量量量评评价、价、价、价、资资源源源源综综合合合合评评价、各种危价、各种危价、各种危价、各种危险险性性性性预测预测与与与与评评价、灾害探价、灾害探价、灾害探价、灾害探测测等均成功地等均成功地等均成功地等均成功地应应用了模糊用了模糊用了模糊用了模糊性数学的原理和方法。性数学的原理和方法。性数学的原理和方法。性数学的原理和方法。3333.地地地地矿矿、冶金、建筑等、冶金、建筑等、冶金、建筑等、冶金、建筑等传统传统行行行行业业在在在在处处理复理复理复理复杂杂不确定性不确定性不确定性不确定性问题问题中也成功地中也成功地中也成功地中也成功地应应用了模糊性数学的原理和方法，用了模糊性数学的原理和方法，用了模糊性数学的原理和方法，用了模糊性数学的原理和方法，从而使从而使从而使从而使过过去凭去凭去凭去凭经验经验和和和和类类比法等比法等比法等比法等处处理工程理工程理工程理工程问题问题的的的的传统传统做法做法做法做法转转向数学化、科学化，如向数学化、科学化，如向数学化、科学化，如向数学化、科学化，如矿矿床床床床预测预测、矿矿体体体体边边界界界界确定、油水气确定、油水气确定、油水气确定、油水气层层的的的的识别识别、采、采、采、采矿矿方法方法方法方法设计设计参数参数参数参数选择选择、冶冶冶冶炼炼工工工工艺艺自自自自动动控制与控制与控制与控制与优优化、建筑物化、建筑物化、建筑物化、建筑物结结构构构构设计设计等都有等都有等都有等都有应应用模糊性数学的成功用模糊性数学的成功用模糊性数学的成功用模糊性数学的成功实实践。践。践。践。3434.我国医我国医药、生物、生物、农业、文化教育、体育等、文化教育、体育等过去看似与数学无去看似与数学无缘的学科也开始的学科也开始应用模糊用模糊性数学的原理和方法，如性数学的原理和方法，如计算机模糊算机模糊综合合诊断、断、传染病控制与染病控制与评估、人体心理及生理特估、人体心理及生理特点分析、家禽孵养、点分析、家禽孵养、农作物品种作物品种选择与种植、与种植、教学教学质量量评估、估、语言言词义查找、翻找、翻译辨辨识等等均有一些均有一些应用模糊性数学的用模糊性数学的实践，并取得很践，并取得很好效果。好效果。3535.目前，世界上目前，世界上发达国家正达国家正积极研究、极研究、试制具制具有智能化的模糊有智能化的模糊计算机，算机，1986年日本山川烈年日本山川烈博士首次博士首次试制成功模糊推理机，它的推理速制成功模糊推理机，它的推理速度是度是1000万次万次/秒。秒。1988年，我国汪培庄教年，我国汪培庄教授指授指导的几位博士也研制成功一台模糊推理的几位博士也研制成功一台模糊推理机机分立元件分立元件样机，它的推理速度机，它的推理速度为1500万次万次/秒。秒。这表明我国在突破模糊信息表明我国在突破模糊信息处理理难关方面关方面迈出了重要的一步。出了重要的一步。3636.经济经济：经济发经济发展水平的展水平的展水平的展水平的评评判，富裕，小康，温判，富裕，小康，温判，富裕，小康，温判，富裕，小康，温饱饱，贫贫困分困分困分困分类类，市市市市场场划分，划分，划分，划分，产产品品品品质质量量量量评评判判判判 工程技工程技工程技工程技术术：洗衣机，：洗衣机，：洗衣机，：洗衣机，电电冰箱，洗碗机，空冰箱，洗碗机，空冰箱，洗碗机，空冰箱，洗碗机，空调调，腕式血，腕式血，腕式血，腕式血压计压计广泛采用了模糊控制技广泛采用了模糊控制技广泛采用了模糊控制技广泛采用了模糊控制技术术 自然科学：自然灾害，自然科学：自然灾害，自然科学：自然灾害，自然科学：自然灾害，环环境的境的境的境的综综合合合合评评判，判，判，判，计计算机算机算机算机图图像像像像识别识别 医学：癌医学：癌医学：癌医学：癌细细胞胞胞胞识别识别，血白球，血白球，血白球，血白球识别识别与分与分与分与分类类，计计算机医算机医算机医算机医疗诊疗诊断断断断 气象：天气气象：天气气象：天气气象：天气预报预报，气候模，气候模，气候模，气候模拟试验拟试验，气象，气象，气象，气象资资料分析与决策料分析与决策料分析与决策料分析与决策 农业农业：土壤分：土壤分：土壤分：土壤分类类，小麦，小麦，小麦，小麦样样本本本本识别识别3737.第二章第二章 模糊集合模糊集合2.1 2.1 2.1 2.1 经经典集合概述典集合概述典集合概述典集合概述一、一、一、一、集合的基本概念集合的基本概念集合的基本概念集合的基本概念1 1 集合：具有某种特性的事物的全体。用集合：具有某种特性的事物的全体。用集合：具有某种特性的事物的全体。用集合：具有某种特性的事物的全体。用A A，B B等等等等记记2 2 论论域：域：域：域：讨论讨论集合集合集合集合时给时给出的研究出的研究出的研究出的研究对对象的全体，用象的全体，用象的全体，用象的全体，用U U记记。注：注：注：注：论论域本身是一种特殊的集合；域本身是一种特殊的集合；域本身是一种特殊的集合；域本身是一种特殊的集合；论论域的域的域的域的选选取一般不唯一。取一般不唯一。取一般不唯一。取一般不唯一。如：如：如：如：讨论讨论正整数集合正整数集合正整数集合正整数集合时时，论论域可取域可取域可取域可取为为自然数自然数自然数自然数 集合；集合；集合；集合；也可以取也可以取也可以取也可以取为为整数集合，整数集合，整数集合，整数集合，预预先取定即可。先取定即可。先取定即可。先取定即可。3838.在在讨论的的论域中取出一个元素域中取出一个元素a，同，同时给出出一个集合一个集合A，两者必居其一。两者必居其一。经典集合典集合论的基本要的基本要求求3939.3、集合的分类4040.4 集合的表示法集合的表示法枚枚举法法描述法描述法4141.二、二、集合的特征函数集合的特征函数定定义2.1 设A是是论域域U中的集合，下述函数称中的集合，下述函数称为集合集合A的特征函数的特征函数注：特征函数是布注：特征函数是布尔函数（取函数（取值为0，1的函的函数）数）4242.三、三、集合的集合的幂集集 定定义2.2 设U是一个集合，由是一个集合，由U的所有子集的所有子集作作为元素构成的集合称元素构成的集合称为U的的幂集，集，记作作J(U).4343.四四、集合的直、集合的直积（笛卡儿（笛卡儿积）定定义2.3 设A与与B是两个集合，称是两个集合，称为A与与B的直的直积，也称，也称为A与与B的笛卡儿的笛卡儿积。例如：例如：4444.五、五、集合的关系集合的关系 包含：若包含：若包含：若包含：若 则称称A是是B的子集或的子集或B称包含称包含A.记作作则称称A与与B相等相等,记作作A=B4545.六、六、集合的运算及其性集合的运算及其性质1.1.运算运算运算运算.4646.2.性质(1)交交换律律:(2)结合律合律:4747.(3)分配律分配律:(4)幂等律等律:4848.(5)吸收律吸收律:(6)01律律:4949.(7)还原律原律:(8)对偶律偶律:(9)排中排中(互互补)律律:5050.七、七、映射映射定定义2.4 设X，Y是两个非空集合是两个非空集合,若存在一个若存在一个对应规则f 有唯一元素有唯一元素则称称f为由由X到到Y的映射，的映射，记作：作：与之与之对应，5151.2.2 模糊集合的概念模糊集合的概念一一、模糊集合的定、模糊集合的定义5252.则称映射称映射确定了确定了U上的一个模糊集上的一个模糊集称称为该模糊集的隶属函数模糊集的隶属函数.为x对模糊集模糊集 的隶属度的隶属度.的点的点x称称为过渡点渡点.该点最具模糊性点最具模糊性.定定义2.5 设U是是论域，根据一个模糊概念，在域，根据一个模糊概念，在U上上给定了一个映射定了一个映射5353.F集的实质是二要素：模糊概念，映射.5454.5555.例1.由于人种，地理环境的不同，人们对“高个子”的理解也不同.设论域 5656.下面是用下面是用100人打分的方法确定的隶属度人打分的方法确定的隶属度.5757.5858.5959.例2.设U（单位：岁）表示人的年龄.Zadeh给出“年轻”（Y）与“年老”（O）两个模糊集合的隶属函数分别为：6060.6161.6262.二二、模糊集合的表示法、模糊集合的表示法6363.（1）Zadeh表示法注：上述表示法只有符号意义 6464.（2）序偶表示法）序偶表示法（3）向量表示法）向量表示法 6565.6666.2.论域域U为无限集无限集符号法：符号法：6767.6868.例例4 设Uk（实数集），数集），6969.例例4 设U整数集，整数集，7070.由上式可得：由上式可得：7171.2.3 模糊集的运算模糊集的运算一一一一.模糊模糊模糊模糊幂幂集集集集在在在在给给定的定的定的定的论论域上可以有多个模糊集域上可以有多个模糊集域上可以有多个模糊集域上可以有多个模糊集.定定定定义义2.6 2.6 记论记论域域域域U U上的上的上的上的F F集的全体集的全体集的全体集的全体为为F F（U U）.称称称称F F（U U）为为U U的模糊的模糊的模糊的模糊幂幂集即集即集即集即 注：注：注：注：F F（U U）是普通集合，它的元素）是普通集合，它的元素）是普通集合，它的元素）是普通集合，它的元素为为U U上的上的上的上的F F集集集集7272.二二.F集的关系与运算集的关系与运算 1.包含与相等包含与相等定定义2.7 设 7373.7474.2.并，交，并，交，补7575.其隶属函数其隶属函数为：7676.（1）有限论域：7777.（2）无限）无限论域域 7878.例例1 设论域（域（5人集）人集）7979.求模糊集求模糊集 8080.解：解：8181.其隶属函数分其隶属函数分别为：例例2 设U0,200（年（年龄集）集）8282.8383.解：先求两直解：先求两直线的交点的交点.757550 5150 5125258484.由由因底大于因底大于0，故两，故两边开方，得：开方，得：8585.因因8686.如如图：当：当8787.8888.如如图可得：可得：8989.模糊集的运算律：模糊集的运算律：（1 1）幂幂等律：等律：等律：等律：（2 2）交）交）交）交换换律：律：律：律：（3 3）结结合律：合律：合律：合律：9090.（4）分配律：）分配律：9191.（5）吸收律：）吸收律：9292.（6）01律：律：9393.（7）还原律：原律：（8）对偶律：偶律：9494.2.4 隶属函数的确定隶属函数的确定 对于于应用用问题，首先要建立，首先要建立F集的隶属集的隶属函数函数.应用模糊数学的关用模糊数学的关键在于建立符合在于建立符合实际的隶属函数，的隶属函数，这是至今尚未充分解决的是至今尚未充分解决的问题.不不过现在已有一些在已有一些较为有效的方法有效的方法.本本节介介绍确定隶属度和隶属函数的常用方法确定隶属度和隶属函数的常用方法.9595.一、确定隶属度和隶属函数的方法一、确定隶属度和隶属函数的方法1.模糊模糊统计法法.此方法源于此方法源于1976年，它是根据模糊年，它是根据模糊统计试验得出隶属得出隶属频率，再根据隶属率，再根据隶属频率的率的稳定性确定隶属度定性确定隶属度.9696.模糊模糊统计试验的基本方法与原理：的基本方法与原理：设设是是论域域U中的模糊集合，中的模糊集合，造一个可造一个可变的可移的可移动的普通集合的普通集合S,S中可含有中可含有也可不含也可不含9797.定定义2.12 设进行了行了n次模糊次模糊统计试验构成构成S，其中有其中有m次出次出现为对的隶属的隶属频率率.9898.随着随着n的增大（的增大（继续造造S）则隶属隶属频率率趋于于稳定的常数，定的常数，该常数即常数即为对的隶属度的隶属度.9999.例例1 设论域域U（人的年（人的年龄）.为在在U中建中建立模糊集合立模糊集合“青年人青年人”的隶属度的隶属度.张南南纶等等1981.（1）.武武汉建材学院学建材学院学报）进行行了一次了一次较大大规模的模糊模的模糊统计试验，他，他们在武在武汉建材学院建材学院进行抽行抽样调查，要求被，要求被调查的大学生在独立的大学生在独立认真思考真思考“青年人青年人”的含的含义后，后，给出出“青年人青年人”的年的年龄区区间.他他们随机抽取了随机抽取了129人，相人，相应收到了收到了129个个“青年人青年人”的年的年龄区区间样本：本：100100.1825 1730 1728 1825 1635 1425 1830 1835 1835 1525 1530 1835 1730 1825 1835 2030 1830 1626 2035 1830 101101.102102.解：（解：（1）对129个数据作出如下的个数据作出如下的统计处理理.构成构成S的次数的次数 n:10 20 120 129S中含中含27的次数的次数 m:6 14 95 101 f:0.6 0.7 0.79 0.78统计结果表示隶属果表示隶属频率率稳定在定在0.78附近附近.因因此，年此，年龄为27岁的隶属度的隶属度为103103.104104.小区小区间间序号序号 年年龄组龄组 频频数（数（mm）相相对频对频率率（m/129m/129）1 13.51 13.514.5 2 0.011514.5 2 0.0115 2 14.5 2 14.515.5 27 0.209315.5 27 0.2093 3 15.5 3 15.516.5 51 0.395316.5 51 0.3953 4 16.5 4 16.517.5 67 0.519417.5 67 0.5194 5 17.5 5 17.518.5 124 0.961218.5 124 0.9612 6 18.5 6 18.519.5 125 0.969019.5 125 0.9690 7 19.5 7 19.520.5 129 120.5 129 1 8 20.5 8 20.521.5 129 121.5 129 1 9 21.5 9 21.522.5 129 122.5 129 1 10 22.5 10 22.523.5 129 123.5 129 1 11 23.5 11 23.524.5 129 124.5 129 1 12 24.5 12 24.525.5 128 0.992225.5 128 0.9922 13 25.5 13 25.526.5 103 0.798426.5 103 0.7984 14 26.5 14 26.527.5 101 0.782927.5 101 0.7829 15 27.5 15 27.528.5 99 0.767428.5 99 0.7674 16 28.5 16 28.529.5 80 0.620229.5 80 0.6202 17 29.5 17 29.530.5 77 0.596930.5 77 0.5969 18 30.5 18 30.531.5 27 0.209331.5 27 0.2093 19 31.5 19 31.532.5 27 0.209332.5 27 0.2093 20 32.5 20 32.533.5 26 0.201633.5 26 0.2016 21 33.5 21 33.534.5 26 0.201634.5 26 0.2016 22 34.5 22 34.535.5 26 0.201635.5 26 0.2016 23 35.5 23 35.536.5 1 0.007836.5 1 0.0078105105.15.515.525.525.535.535.50.20.20.40.40.60.60.80.8106106.注：注：注：注：(1)(1)对对模糊概念模糊概念模糊概念模糊概念进进行模糊行模糊行模糊行模糊统计试验时统计试验时，应应要求被要求被要求被要求被调查调查者熟悉者熟悉者熟悉者熟悉该该模糊概念，并能模糊概念，并能模糊概念，并能模糊概念，并能对对其量其量其量其量化化化化.(2)(2)对对模糊概念模糊概念模糊概念模糊概念还还可以采用可以采用可以采用可以采用“专专家打分家打分家打分家打分”等等等等办办法作法作法作法作统计统计.例如例如例如例如产产品品品品质质量量量量评评判，判，判，判，环环境境境境评评判判判判等等等等.（今后小（今后小（今后小（今后小论论文可作文可作文可作文可作这这些些些些问题问题）(3)(3)统计统计者者者者对获对获得的数据得的数据得的数据得的数据应应当首先当首先当首先当首先进进行行行行筛筛选选，删删除除除除质质量不合乎量不合乎量不合乎量不合乎逻辑逻辑的数据，然后再的数据，然后再的数据，然后再的数据，然后再进进行行行行隶属隶属隶属隶属频频率的率的率的率的计计算算算算.（例如（例如（例如（例如“青年人青年人青年人青年人”调查调查中，中，中，中，5 51212，50508080这这些数据都是不符合些数据都是不符合些数据都是不符合些数据都是不符合逻辑逻辑的数的数的数的数据）据）据）据）107107.2.指派法（模糊分布法）指派法（模糊分布法）指派法：根据指派法：根据问题的性的性质意意义套用套用现成的某成的某些形式的模糊分布，然后根据些形式的模糊分布，然后根据测量数据（或量数据（或经验数据）确定分布的参数数据）确定分布的参数.指派隶属函数的方法普遍被指派隶属函数的方法普遍被认为是一种主是一种主观的方法，在使用的方法，在使用这种方法的种方法的时候可以把候可以把实践践经验考考虑进去去.108108.1.矩形分布矩形分布偏小型偏小型 中中间型型 偏大型偏大型 0 a0 a1 10 a0 a1 10 a b0 a b1 1常用的模糊分布常用的模糊分布109109.2.梯形分布0 a b0 a b1 10 a b c d0 a b c d0 a b0 a b1 1偏小型偏小型中中间型型偏大型偏大型110110.3.k次抛物型次抛物型 0 a b 0 a b1 1 0 a b c d 0 a b c d 0 a b 0 a b1 1偏小型偏小型中中间型型偏大型偏大型111111.4.型型 0 a 0 a1 1 0 a b 0 a b 0 a0 a1 1偏小型偏小型中中间型型偏大型偏大型112112.5.正正态型型 0 a 0 a1 1 0 a 0 a1 1 0 a 0 a1 1偏小型偏小型中中间型型偏大型偏大型113113.6.柯西型柯西型 0 a 0 a1 1 0 a 0 a1 1 0 a 0 a1 1偏小型偏小型中中间型型偏大型偏大型114114.例例1 评价学生成价学生成绩115115.0 85 95 0 85 951 1116116.于是有于是有于是有于是有117117.注：注：注：注：使用使用使用使用时时：偏小型适合描述：偏小型适合描述：偏小型适合描述：偏小型适合描述：“小小小小”，“冷冷冷冷”，“青年青年青年青年”，颜颜色色色色“淡淡淡淡”偏大型适合描述：偏大型适合描述：偏大型适合描述：偏大型适合描述：“大大大大”，“热热”，“老年老年老年老年”，“浓浓”中中中中间间型适合描述：型适合描述：型适合描述：型适合描述：“中中中中”，“暖和暖和暖和暖和”，“中年中年中年中年”确定出的隶属函数都是近似的，需不断加以确定出的隶属函数都是近似的，需不断加以确定出的隶属函数都是近似的，需不断加以确定出的隶属函数都是近似的，需不断加以修改（即修改（即修改（即修改（即对对参数的参数的参数的参数的调调整），使之整），使之整），使之整），使之趋趋于完善于完善于完善于完善.118118.例例2 建立建立“年年轻人人”的隶属函数的隶属函数119119.2 2 确定参数确定参数确定参数确定参数 ）将不足）将不足）将不足）将不足2525岁岁的人看作真正的的人看作真正的的人看作真正的的人看作真正的“年年年年轻轻人人人人”，故，故，故，故选选a a25.25.）大于）大于）大于）大于2525岁岁的人属于年的人属于年的人属于年的人属于年轻轻人的程度人的程度人的程度人的程度应应随年随年随年随年龄龄的增加而减的增加而减的增加而减的增加而减少少少少.这这个衰减个衰减个衰减个衰减显显然不是然不是然不是然不是线线性的，性的，性的，性的，为计为计算方便，取算方便，取算方便，取算方便，取 2 2 ）认为认为3030岁岁作作作作为为“年年年年轻轻人人人人”应应是最模糊的概念是最模糊的概念是最模糊的概念是最模糊的概念,即此即此即此即此时时 120120.121121.3.借用已有的“客观”尺度122122.123123.4.二元对比排序法对很很难直接确定隶属函数的模糊集，通直接确定隶属函数的模糊集，通过两两比两两比较，易确定两个元素相，易确定两个元素相应隶属隶属度的大小，先排序，再定隶属度度的大小，先排序，再定隶属度.这种方种方法是一种离散法法是一种离散法.124124.5.其它方法 确定隶属度的方法确定隶属度的方法确定隶属度的方法确定隶属度的方法还还有很多，例如：有很多，例如：有很多