电磁场与电磁波-静态场边值问题.ppt

电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page15/27/2024第四章第四章 静静态场边值问题态场边值问题的解法的解法1.边值问题边值问题的分的分类类2.唯一性定理唯一性定理3.直角坐直角坐标标系中的系中的分离分离变变量法量法4.圆圆柱坐柱坐标标系中的系中的分离分离变变量法量法5.球坐球坐标标系中的系中的分离分离变变量法量法6.镜镜像法像法7.有限差分法有限差分法主主 要要 内内 容容1.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page25/27/20244.1 4.1 边值问题边值问题的分的分类类 第一第一类类边值问题边值问题：已知位函数在全部已知位函数在全部边边界面上的分布界面上的分布值值l 边值问题边值问题 是指存在是指存在边边界面的界面的电电磁磁问题问题。l 根据根据给给定定边边界条件界条件对边值问题对边值问题分分类类：狄里赫利狄里赫利问题问题（Dirichlet）第二第二类类边值问题边值问题：已知位函数在全部：已知位函数在全部边边界面上的法向界面上的法向导导数数值值第三第三类类边值问题边值问题：已知一部分：已知一部分边边界面上的位函数界面上的位函数值值,和另一和另一 部分部分边边界面上位函数的法向界面上位函数的法向导导数数值值诺诺埃曼埃曼问题问题（Neumann）混合混合边值问题边值问题 2.边值问题边值问题框框图图一、二一、二类边类边界界条件的条件的线线性性组组合，即合，即已知已知场场域域边边界界上各点上各点电电位位的法向的法向导导数数已知已知场场域域边边界界上各点上各点电电位位值值第一第一类类边边界条件界条件第二第二类类边边界条件界条件第三第三类类边边界条件界条件边值问题边值问题参考点参考点电电位位 有限有限值值场场域域边边界条件界条件分界面分界面衔衔接条件接条件自然自然边边界条件界条件微分方程微分方程边边界条件界条件3.解析法解析法数数值值法法实测实测法法模模拟拟法法定性定性定量定量边值问题边值问题研究方法研究方法计计算法算法实验实验法法作作图图法法有限差分法有限差分法有限元法有限元法边边界元法界元法矩量法矩量法模模拟电拟电荷法荷法积积分法分法分离分离变变量法量法镜镜像法像法、电轴电轴法法微分方程法微分方程法保角保角变换变换法法数学模数学模拟拟法法物理模物理模拟拟法法边值问题边值问题研究方法框研究方法框图图4.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page55/27/2024唯一性定理：唯一性定理：在在场场域域V V的的边边界面界面S S上上给给定位函数定位函数 或或 的的值值，则则泊松方程泊松方程或或拉普拉斯方程拉普拉斯方程在在场场域域V V内的解唯一。内的解唯一。l 唯一性定理的意唯一性定理的意义义 指出了静指出了静态场边值问题态场边值问题具有唯一解的条件；具有唯一解的条件；为为静静态场边值问题态场边值问题求解方法提供了理求解方法提供了理论论根据，根据，为结为结果果 正确性提供了判据；正确性提供了判据；唯一性定理是唯一性定理是间间接法求解接法求解拉普拉斯方程拉普拉斯方程(泊松方程泊松方程)的的 理理论论根据。根据。4.2 4.2 唯一性定理唯一性定理 （Uniquness Theorem）5.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page65/27/20244.3 4.3 直角坐直角坐标标系中的分离系中的分离变变量法量法 分离分离变变量法是数理方程中量法是数理方程中应应用最广泛的一种方法，它用最广泛的一种方法，它适用于求解具有理想适用于求解具有理想边边界条件的典型界条件的典型边值问题边值问题。分分离离变变量量法法是是通通过过偏偏微微分分方方程程求求解解边边值值问问题题。其其基基本本思思想想是是：首首先先要要求求给给定定边边界界面面与与坐坐标标面面相相合合，或或分分段段相相合合；其其次次要要求求待待求求偏偏微微分分方方程程的的解解可可表表示示为为若若干干个个函函数数的的乘乘积积，其其中中的的每每个个函函数数分分别别仅仅是是一一个个坐坐标标变变量量的的函函数数。这这样样，通通过过分分离离变变量量可可将将一一个个偏偏微微分分方方程程转转化化为为多多个个常常微微分分方方程程来来求解。求解。6.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page75/27/2024l 分离分离变变量法解量法解题题的一般步的一般步骤骤：根据根据边边界的几何形状和界的几何形状和场场的分布特征的分布特征选选定坐定坐标标系系，写出，写出 对应对应的的边值问题边值问题（微分方程和（微分方程和边边界条件）；界条件）；分离分离变变量量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程；，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程；解常微分方程，并叠加各特解得到解常微分方程，并叠加各特解得到通解通解；利用利用给给定的定的边边界条件界条件确定确定积积分常数分常数，最，最终终得函数的解。得函数的解。在直角坐在直角坐标标系中，系中，拉普拉斯方程拉普拉斯方程为为：l 直角坐直角坐标标系中的分离系中的分离变变量法量法7.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page85/27/2024设设 可以表示可以表示为为三个函数的乘三个函数的乘积积，即：即：当当 时时 代入上式，得代入上式，得 其中其中 为为分离常数分离常数，且，且分析分析 与与 讨论讨论上式中每上式中每项项都只是一个都只是一个变变量的函数，其成立的唯一条件是量的函数，其成立的唯一条件是三三项项中每中每项项都是一个常数，故有都是一个常数，故有8.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page95/27/2024当当 时时 通解：通解：当当 时时 令令 其中其中 为实为实数数通解：通解：或者或者同理可以求得同理可以求得 和和l 利用利用给给定的定的边边界条件确定界条件确定积积分常数，最分常数，最终终得函数的解。得函数的解。双曲函数9.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page105/27/2024例例4.3-1 横横截截面面如如图图所所示示的的导导体体长长槽槽，上上方方有有一一块块与与槽槽相相互互绝绝缘缘的的导导体体盖盖板板，截截面面尺尺寸寸为为ab，槽槽体体的的电电位位为为零零，盖盖板板的的电电位位为为U(x)，求此区域内的求此区域内的电电位。位。在区域在区域 0 xa、0yb内内边边界条件界条件为为：x=0,(0,y)=0 x=a,(a,y)=0 y=0,(x,0)=0 y=b,(x,b)=U(x)解：解：选择选择直角坐直角坐标标系系10.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page115/27/2024通解：通解：其中其中确定常数：确定常数：当当 时时 所以所以由于在由于在X X方向上方向上有重复零点有重复零点（x x0 0和和a a点），因此点），因此 函数函数应应为为三角函数，三角函数，即：即：且且令令分离分离变变量量11.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page125/27/2024当当 时时 故：故：分离变量法当当 时时 因因为为12.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page135/27/2024所以所以故：故：当当 时时 讨论讨论两种情况两种情况 和和分离变量法I.I.当当13.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page145/27/2024左右两左右两边边同乘以同乘以 ，并在区，并在区间间(0(0，a)a)积积分分 又有又有因此因此m=1,3,5,分离变量法14.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page155/27/2024对应对应系数相等系数相等II.II.当当因此因此分离变量法15.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page165/27/2024分离分离变变量法的量法的求解步求解步骤骤 l 选择选择适当的坐适当的坐标标系系,确定确定变变量的个数；量的个数；l 写出方程的通解；写出方程的通解；l 利用自然利用自然边边界条件化界条件化简简通解；通解；l 利用利用电电磁磁边边界条件建立待定系数的方程界条件建立待定系数的方程 并解方程并解方程,求出待定系数。求出待定系数。16.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page175/27/20244.4 4.4 圆圆柱坐柱坐标标系中的分离系中的分离变变量法量法圆圆柱坐柱坐标标中的拉普拉斯方程（中的拉普拉斯方程（）为为仅讨论仅讨论二二维维平面平面场场，即，即与坐与坐标变标变量量无关的情况无关的情况令令，代入上式得，代入上式得化化简简得得17.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page185/27/2024令令 第二第二项项等于（等于（）分析分析 与与 讨论讨论当当 时时 当当 时时 1讨论讨论分离变量法由于由于 是周期性函数，即是周期性函数，即所以所以 ，且，且为为正整数，即正整数，即 。18.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page195/27/2024当当 时时 当当 时时 2讨论讨论欧拉方程欧拉方程令令代入上式，整理得：代入上式，整理得：通解通解19.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page205/27/2024例例4.4-1一根半径一根半径为为a、介、介电电常数常数为为的无限的无限长长介介质圆质圆柱体置柱体置于均匀外于均匀外电场电场中，且与中，且与相垂直。相垂直。设设外外电场电场方向方向为为x轴轴方方向，向，圆圆柱柱轴轴与与z轴轴重合（如重合（如图图所示），求所示），求圆圆柱内、外的柱内、外的电电位函位函数。数。解：解：选择圆选择圆柱坐柱坐标标系。系。设设园柱内、园柱内、外的外的电电位分位分别为别为、，并假，并假设设零零电电位点在坐位点在坐标标原点。原点。显显然然、均是与均是与z无关的二无关的二维维场场，都，都满满足拉氏方程：足拉氏方程：分离变量法20.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page215/27/2024则则，圆圆柱坐柱坐标标系中二系中二维场维场的通解的通解为为：令令由由题题意知，意知，场场分布分布对对称于称于x轴轴，即：，即：故通解中只能包含余弦故通解中只能包含余弦项项即：即：当当 时时，其中：其中：21.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page225/27/2024当当 时时，应为应为有限有限值值，即，即 中不能有中不能有 项项。当当 时时，由介，由介质质分界面条件知。分界面条件知。切向：切向：22.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page235/27/2024法向：法向：联联立方程（立方程（1）、（）、（2）解得：）解得：23.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page245/27/2024介介质圆质圆柱体内、外的柱体内、外的电场电场强强度度为为：24.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page255/27/2024边边界条件界条件：1例例4.4-1 将将半半径径为为 的的无无限限长长导导体体圆圆柱柱置置于于真真空空中中的的均均匀匀电电场场 中，柱中，柱轴轴与与 垂直，求任意点的垂直，求任意点的电电位。位。2解：解：25.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page265/27/202412分离变量法26.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page275/27/2024分离变量法27.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page285/27/20244.5 4.5 球坐球坐标标系中的分离系中的分离变变量法量法球坐球坐标标中的拉普拉斯方程（中的拉普拉斯方程（）为为仅讨论场问题仅讨论场问题与坐与坐标标无关无关时时的情形的情形令令，代入上式并整理得，代入上式并整理得令两令两项项分分别别等于常数等于常数和和28.引入引入一个新的自一个新的自变变量量则则有有勒勒让让德方程德方程当当时时，勒勒让让德方程德方程有一个有界解有一个有界解勒勒让让德多德多项项式式1讨论讨论29.下面是前几个勒下面是前几个勒让让德多德多项项式式当当时时，；时时，当当勒勒让让德多德多项项式式勒让德多项式图形 勒勒让让德多德多项项式具有正交性式具有正交性 30.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page315/27/20242讨论讨论欧拉方程欧拉方程通解通解综综上上，球坐，球坐标标中中 的通解的通解为为令令31.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page325/27/2024例例4.5-1 在在均均匀匀电电场场 中中，放放置置一一个个半半径径为为a的的导导体体球球，球心在原点。求球外的球心在原点。求球外的电电位及位及电场电场强强度分布。度分布。解：解：边边界条件界条件 通解通解选择选择球坐球坐标标系，并系，并设导设导体球体球为为零零电电位。位。32.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page335/27/2024 33.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page345/27/2024l 求解位于接地求解位于接地导导体板附近的点体板附近的点电电荷荷产产生的生的电电位位 非均匀感非均匀感应电应电荷荷等效等效电电荷荷4.6 4.6 镜镜像法像法l 接地接地导导体球附近有一个点体球附近有一个点电电荷荷产产生的生的电电位位等效等效电电荷荷非均匀感非均匀感应电应电荷荷产产生的生的电电位很位很难难求解，可以用等效求解，可以用等效电电荷的荷的电电位替代。位替代。34.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page355/27/2024 镜镜像像法法的的目目的的：把把具具有有典典型型边边界界的的静静态态场场的的计计算算问问题题，转转化化为为无无限限大大均均匀匀媒媒质质空空间间中中的的问问题题求求解解，以以达达到到简简化化计计算的目的。算的目的。镜镜像像法法基基本本思思路路：在在待待求求解解场场域域外外的的适适当当位位置置，以以虚虚拟拟电电荷荷替代分界面上替代分界面上导导体的体的感感应电应电荷荷或媒或媒质质的极化的极化电电荷。荷。镜像法 镜镜像像法法的的理理论论依依据据：由由唯唯一一性性定定理理知知：满满足足同同一一方方程程和和同同样样边边界界条条件件的的位位函函数数的的解解是是相相同同的的。所所以以引引入入镜镜像像电电荷荷后，后，应该应该：保持原方程和原保持原方程和原边边界条件不界条件不变变。l 镜镜像像电荷位置荷位置选择原原则 1 镜镜像像电电荷必荷必须须位于待求解位于待求解场场域以外域以外2 镜镜像像电电荷的引入不能改荷的引入不能改变变原原问题问题的的边边界条件界条件35.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page365/27/20241.1.平面平面边边界的界的镜镜像法像法例例4.6-1 求求置置于于无无限限大大接接地地平平面面导导体体上上方方，距距导导体体面面为为 处处的的点点电电荷荷 的的电电位，并求出位，并求出场场的分布。的分布。一、静一、静电场电场中的中的镜镜像法像法（除除 q 所在点外的区域所在点外的区域）（边边界条件界条件）解：解：当当 时时，；当当 时时，当当 时时，；确定确定镜镜像像电电荷（位置、数量和大小）荷（位置、数量和大小）上半空上半空间间内任意点内任意点的的电电位位为为 平面导体的镜像 Pzz36.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page375/27/2024平面平面导导体上的体上的感感应电应电荷密度荷密度为为 验证边验证边界条件界条件当当Z=0时时,所以所以 平面导体的镜像 z37.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page385/27/2024对应对应的的场场分布分布图图：镜像法38.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page395/27/2024例例4.6-2 为为无无限限大大接接地地的的导导电电（）平平面面（电电壁壁），在在 出出 处处有有一一无无限限长长均均匀匀带带电电的的细细直直导导线线，导导线线与与 轴轴平平行行且且经经过过直角坐直角坐标标（）点，求上半空）点，求上半空间间（）的）的电电位函数。位函数。设设细细直直导导线线的的电电 荷荷 密密 度度 为为 ，则则镜镜像像线线电电荷荷密密度度为为 。解：解：电电壁的作用可以等效壁的作用可以等效为为：镜镜像位置像位置 处处的的镜镜像像线电线电荷荷带电带电体系在空体系在空间间的的电电位位为为z zz z39.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page405/27/2024式中式中 不能不能选为选为无无穷远穷远点点，同，同样样式中式中 所以所以 40.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page415/27/2024例例4.6-3 设设介介电电常数分常数分别为别为 和和 的两种介的两种介质质，各均匀充，各均匀充满满半无限大空半无限大空间间，两者的分界面，两者的分界面为为平面，在介平面，在介质质1中有一点中有一点电电荷荷 ，距分界面的距离，距分界面的距离为为 ，如，如图图所示所示.试试求整个空求整个空间间中任中任一点的一点的电电位函数位函数.设设两个区域的两个区域的电电位函数位函数为为 ()和和 ()解：解：（除除 q点外的上半空点外的上半空间间）（下半空下半空间间）当 时 当当 时时 当当 时时 41.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page425/27/2024在在介介质质分界面分界面 处处，电电位函数位函数满满足足边边界条件界条件 解得解得42.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page435/27/2024空空间间的的电电位分布位分布为为：点电荷 位于不同介质平面上方的场图43.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page445/27/20242.角形区域的角形区域的镜镜像法像法 所所有有相相互互成成 角角的的两两块块半半 无无 限限 大大 接接 地地 导导 体体 平平 面面 间间 的的 场场 四四 都都可可用用镜镜像像法法来求解，其像来求解，其像电电荷个数荷个数为为P44.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page455/27/2024例例4.6-4 设设在在点点电电荷荷附附近近有有一一接接地地导导体体球球，求求导导体体球球外外空空间间的的电电位及位及电场电场分布。分布。边值问题边值问题：点电荷对接地导体球面的镜像3.3.球面球面边边界的界的镜镜像法像法 设设镜镜像像电电荷荷 位位于于球球内内，球球面面上上任一点任一点电电位位为为（除除q点外的点外的导导体球外空体球外空间间)45.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page465/27/2024镜像法解得解得46.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page475/27/2024由由叠加原理叠加原理，接地，接地导导体球外任一点体球外任一点P的的电电位与位与电场电场分分别为别为 点电荷位于接地导体球附近的场图l 镜镜像像电电荷不能放在当前求解的荷不能放在当前求解的场场域内域内l 导导体上体上总总的感的感应电应电荷等于荷等于镜镜像像电电荷荷接地导体球外的电场计算47.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page485/27/2024在在接接地地球球的的基基础础上上判判断断镜镜像像电电荷荷的的个个数数、大小与位置大小与位置边值问题边值问题：例例4.6-5 计计算不接地金属球附近放置一点算不接地金属球附近放置一点电电荷荷 时时的的电场电场分布。分布。点电荷对不接地金属 球的镜像l 感感应应电电荷荷分分布布及及球球对对称称性性，在在球球内内有有两两啊啊个等效个等效电电荷荷 正正负镜负镜像像电电荷荷绝对值绝对值相等相等 正正镜镜像像电电荷只能位于球心荷只能位于球心（除除 q 点外的点外的导导体球外空体球外空间间）放置放置镜镜像像电电荷：荷：+q 和和-q48.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page495/27/2024点电荷位于不接地导体球附近的场图任一点任一点电电位及位及电场电场强强度度为为49.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page505/27/20244.4.柱面柱面边边界的界的镜镜像法像法 例例4.6-6 线线电电荷荷密密度度为为 的的无无限限长长带带电电直直线线与与半半径径为为a的的接接地地无无限限长长导导体体圆圆柱柱的的轴轴线线平平行行，直直线线到到圆圆柱柱轴轴线线的的距距离离为为 ，如如图图所所示。示。求求圆圆柱外空柱外空间间的的电电位函数。位函数。解解：50.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page515/27/2024两端两端对对 求求导导可得可得 圆圆柱面上柱面上电电位位为为零零 51.因因为为 所以所以 圆圆柱面上的感柱面上的感应应电电荷密度荷密度为为 圆圆柱面上柱面上单单位位长长度的感度的感应应面面电电荷荷为为52.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page535/27/2024例例4.6-7 设设分分界界面面为为平平面面的的两两个个半半无无限限大大空空间间中中，分分别别充充满满磁磁导导率率为为 和和 的的两两种种均均匀匀介介质质，在在介介质质1中中存存在在一一平平行行于于分分界界面面的的长长直直线电线电流流I，与分界面的距离，与分界面的距离为为 ，试求空求空间的磁的磁场。二、静磁二、静磁场场中的中的镜镜像法像法53.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page545/27/2024下半空下半空间间（）用）用镜镜像像电电流流 来代替分界面上的磁化来代替分界面上的磁化电电流。流。上半空上半空间间（）用一）用一镜镜像像电电流流 代替分界面上的磁代替分界面上的磁四四四四四四化化电电流。流。解解：在分界面上在分界面上54.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page555/27/2024从而得到从而得到 相相应应的磁的磁场为场为55.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page565/27/2024镜镜像法小像法小结结 镜镜像法的像法的理理论论基基础础是静是静态场态场的唯一性定理；的唯一性定理；镜镜像法的像法的实质实质是用虚是用虚设设的的镜镜像像电电荷替代未知荷替代未知电电荷荷的分布，使的分布，使计计算算场场域域变为变为无限大均匀介无限大均匀介质质空空间间；镜镜像法的像法的关关键键是确定是确定镜镜像像电电荷的个数、大小及位荷的个数、大小及位置；置；应应用用镜镜像法解像法解题时题时，注意：注意：镜镜像像电电荷只能放在荷只能放在待求待求场场域以外的区域。域以外的区域。叠加叠加时时，要注意，要注意场场的适用区域。的适用区域。56.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page575/27/20244.7 4.7 有限差分法有限差分法1.二二维维泊松方程的差分格式泊松方程的差分格式通通常常将将场场域域分分成成足足够够小小的的正正方方形形网网格格,网网 格格 线线 之之 间间 的的 距距 离离 为为 h,节节 点点0,1,2,3,4上上的的电电位位分分别别用用 和和 和和 表示。表示。（1）（2）二二维维静静电场边值问题电场边值问题：有限差分的网格分割有有限限差差分分法法（Finite Differential Method）是是基基于于差差分分原原理理的的一一种种数数值值计计算算法法。其其基基本本思思想想：将将场场域域离离散散为为许许多多小小网网格格，应应用用差差分分原原理理，将将求求解解连连续续函函数数 的的泊泊松松方方程程的的问问题题转转换换为为求解网格求解网格节节点上点上 的差分方程的差分方程组组的的问题问题。57.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page585/27/2024将将 和和 分分别别代入式（代入式（3），得），得（4）（5）由（由（4）（5）（6）由（由（4）+（5）（7）设设函函数数 在在 处处可可微微，则则沿沿 方方向向在在 处处的的泰泰勒勒公公式式展展开开为为（3）有限差分法58.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page595/27/2024（9）同理同理（8）将将式式（7）和和（9）代代入入式式（1），得得到到泊泊松松方方程程的的五五点点差差分分格式格式即即当当场场域中域中 ，得到，得到拉普拉斯方程的五点差分格式拉普拉斯方程的五点差分格式有限差分法59.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page605/27/2024若若场场域离散域离散为为矩形网格，差分格式矩形网格，差分格式为为：122.2.边边界条件的离散化界条件的离散化处处理理第二第二类边类边界条件界条件 边边界界线线与网格与网格线线相重合的差分格式相重合的差分格式第一第一类边类边界条件界条件 给边给边界离散界离散节节点直接点直接赋赋已知已知电电位位值值。介介质质分界面分界面衔衔接条件接条件 的差分格式的差分格式边边界条件的离散化界条件的离散化处处理理其中其中60.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page615/27/20243.3.差分方程差分方程组组的求解方法的求解方法高斯高斯赛赛德德尔尔迭代法迭代法式中式中 迭代迭代顺顺序可按先行后列，或先列后行序可按先行后列，或先列后行进进行。行。迭迭代代过过程程遇遇到到边边界界节节点点时时，代代入入边边界界值值或或边边界界差差分分格格式式，的的直到所有直到所有节节点点电电位位满满足足 为为止。止。高斯高斯赛赛德德尔尔迭代法迭代法有限差分法61.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page625/27/2024松弛迭代法松弛迭代法式中式中加速收加速收敛敛因子因子最佳收最佳收敛敛因子的因子的经验经验公式：公式：（正方形正方形场场域、正方形网格域、正方形网格）（矩形矩形场场域、正方形网格域、正方形网格）欠松弛迭代欠松弛迭代超松弛迭代超松弛迭代迭代迭代发发散散高斯高斯赛赛德德尔尔迭代法迭代法62.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page635/27/2024 迭代收迭代收敛敛的速度与的速度与电电位初始位初始值值的的给给定及定及网格剖分精网格剖分精细细有关有关 迭代收迭代收敛敛的速度与的速度与工程精度工程精度要求有要求有 程序框程序框图图如下：如下：赋边界节点已知电位值赋予场域内各节点电位初始值按超松弛法进行一次迭代，求打印 结束N 所有内点 相邻二次迭代值的最大误差是否小于Y累计迭代次数N=0N=N+1启动迭代解程序框迭代解程序框图图63.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page645/27/2024编编程程题题1 横横截截面面如如图图所所示示的的导导体体长长槽槽，上上方方有有一一块块与与槽槽相相互互绝绝缘缘的的导导体体盖盖板板，截截面面尺尺寸寸为为ab，槽槽体体的的电电位位为为零零，盖盖板板的的电电位位为为100V。用高斯。用高斯赛赛德德尔尔迭代法迭代法编编程求解。程求解。要要求求：步步长长h1，x、y方方向向的的网网格格数数为为m16，n10，迭代精度迭代精度为为 。计计算：算：迭代次数迭代次数N与与 分布。分布。有限差分法64.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page655/27/2024编编程程题题2 横横截截面面如如图图所所示示的的导导体体长长槽槽，上上方方有有一一块块与与槽槽相相互互绝绝缘缘的的导导体体盖盖板板，截截面面尺尺寸寸为为aa，槽槽体体的的电电位位为为零零，盖盖板的板的电电位位为为100V。用超松弛迭代法。用超松弛迭代法编编程求解程求解 要要求求：步步长长h1，x、y方方向向的的网网格格数数为为m10，n10，迭代精度迭代精度为为 。计计算：算：迭代次数迭代次数N与与 分布。分布。有限差分法65.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page665/27/2024作作业业：P1274-4、4-8、4-13、4-22、4-2966.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page675/27/2024双曲正弦双曲正弦 双曲余弦双曲余弦 a)a)：其定：其定义义域域为为:(-,+):(-,+)；b)b)：是奇函数；：是奇函数；c)c)：在定：在定义义域内是域内是单调单调增增a)a)：其定：其定义义域域为为:(-,+):(-,+)；b)b)：是偶函数；：是偶函数；c)c)：其：其图图像像过过点点(0,1)(0,1)；反双曲正弦函数反双曲正弦函数 其定其定义义域域为为：(-,+)(-,+)；反双曲余弦函数反双曲余弦函数 其定其定义义域域为为：1,+)1,+)；双曲函数67.差分原理差分原理设设有有一一函函数数 f(x)，当当独独立立变变量量x有有一一微微小小增增量量 xh，相相应应 f(x)的增量的增量为为：f(x)=f(x+h)-f(x)，称，称为为函数函数 f(x)的差分。的差分。不同于增量不同于增量为为无限小的微分，差分被称无限小的微分，差分被称为为有限差分。有限差分。当当 h 很小很小时时，f(x)df(x)。l中心差分中心差分 f(x)=f(x+h/2)-f(x-h/2)l一一阶阶差商：差商：l二二阶阶差商差商 l偏偏导导数数也也可可用用差差商商近近似似表表示示。因因而而偏偏微微分分方方程程可可表表示示为为差分方程（代数方程）。差分方程（代数方程）。68.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page695/27/2024 算法算法 简单简单迭代法，以解拉普拉斯方程迭代法，以解拉普拉斯方程为为例。例。（1）设设定内点初定内点初值值，用，用计计算机解算机解题时题时，可都取零，可都取零值值。（2）按一固定）按一固定顺顺序序(从左到右，从下到上从左到右，从下到上)依次利用依次利用 高斯高斯赛赛德德尔尔迭代法迭代法计计算内点算内点o点的新点的新值值。即。即o点的新点的新值值就是就是围绕该围绕该点的点的4个点的个点的电电位的平均位的平均值值。69.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page705/27/202470.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page715/27/2024如（如（j，k）点在第）点在第n1次迭代次迭代时时按下式按下式计计算：算：（3）当所有的内点都）当所有的内点都计计算完后，用它算完后，用它们们的新的新值值代代替旧替旧值值，完成一次迭代。再，完成一次迭代。再进进行下一次迭代。直到行下一次迭代。直到每一点每一点计计算得到的新算得到的新值值与旧与旧值值之差小于指定的范之差小于指定的范围围。这这种方法的特点是用前一次迭代的得到的种方法的特点是用前一次迭代的得到的结结点点电电位位作作为为下一次迭代下一次迭代时时的初的初值值。71.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page725/27/2024简单简单迭代法收迭代法收敛敛慢。慢。超松弛法的改超松弛法的改进进：（1）即即计计算（算（j，k）点）点时时，左，左边边点（点（j-1,k）和下面点（）和下面点（j，k-1）用的是新）用的是新值值。这这种迭代方法称种迭代方法称为为高斯高斯赛赛德德尔尔迭迭代法。代法。（2）将上式写成增量的形式，）将上式写成增量的形式，引引进进加速收加速收敛敛因子因子，在在12之之间间。超松弛法超松弛法72.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page735/27/2024加速解的收加速解的收敛敛。2时时，迭代，迭代过过程将程将发发散。散。最佳收最佳收敛敛因子因子 0的取的取值值随随问题问题而异。而异。对对第一第一类边类边值问题值问题，正方形，正方形场场域，网格按正方形划分，每域，网格按正方形划分，每边边结结点数点数p1，则则：73.