塑性力学二单元.ppt

第二第二单单元元 复复杂应杂应力状力状态态1.一、前言一、前言二、二、应应力分析力分析三、三、应变张应变张量及其不量及其不变变量量四、屈服条件、屈服曲面四、屈服条件、屈服曲面五、两种常用的屈服条件五、两种常用的屈服条件七、加七、加载载条件条件八、塑性本构关系八、塑性本构关系六、屈服条件的六、屈服条件的实验验证实验验证2.5 5个基本假个基本假设设 一、前言一、前言材料是均匀的、材料是均匀的、连续连续的。的。各向均匀的各向均匀的应应力状力状态态,即静水即静水应应力状力状态态不影响塑性不影响塑性变变形而只形而只产产生生弹弹性体性体积积的的变变化。化。忽略忽略时间时间因素因素对对材料材料变变形的影响。（不形的影响。（不计计蠕蠕变变和松和松弛）弛）稳稳定材料。定材料。均匀均匀应应力力应变实验应变实验的的结结果，可以用于有果，可以用于有应应力梯度力梯度的情况。的情况。3.二、二、应应力分析力分析1、应应力力张张量及其不量及其不变变量量（1 1）一点一点应应力状力状态态的表示方式的表示方式（2 2）斜截面上的）斜截面上的应应力力与与应应力力张张量的关系量的关系（3 3）主主应应力及力及应应力力张张量的不量的不变变量量2、偏、偏应应力力张张量及其不量及其不变变量量（1 1）偏偏应应力力张张量量（2 2）偏）偏应应力力张张量量的不的不变变量量（3 3）引入与）引入与J J2 2 有关的几个定有关的几个定义义4.1、应应力力张张量及其不量及其不变变量量应应力状力状态态的概念的概念：受力：受力物体内物体内某点某点处处所取无限所取无限多截面上的多截面上的应应力情况的力情况的总总和，就和，就显显示和表明了示和表明了该该点的点的应应力状力状态态。考。考虑虑到剪到剪应应力互等力互等,一点的一点的应应力状力状态态用六个用六个应应力分力分量来表示。量来表示。二、二、应应力分析力分析xyzO5.应应力力张张量的概念：量的概念：0阶张阶张量：量：30=11阶张阶张量：量：31=32阶张阶张量：量：32=93阶张阶张量：量：33=27xyzO数学上，在坐数学上，在坐标变换时标变换时，服从一定坐，服从一定坐标变换标变换式的九个式的九个数所定数所定义义的量，叫做二的量，叫做二阶张阶张量。根据量。根据这这一定一定义义，物体物体内一点内一点处处的的应应力状力状态态可用二可用二阶张阶张量的形式来表示，量的形式来表示，并并称称为应为应力力张张量，而各量，而各应应力分量即力分量即为应为应力力张张量的元素，量的元素，且由剪且由剪应应力互等定理知，力互等定理知，应应力力张张量量应应是一个是一个对对称的二称的二阶张阶张量，量，简简称称为为应应力力张张量量。6.（1 1）一点一点应应力状力状态态的表示方式的表示方式一点的一点的应应力状力状态态由一个由一个二二阶对阶对称称的的应应力力张张量表示，在量表示，在直角坐直角坐标标系中由九个系中由九个应应力分量表示。力分量表示。xyzOx面的面的应应力：力：y面的面的应应力：力：z面的面的应应力：力：用矩用矩阵阵形式写成形式写成7.工程力学的工程力学的习惯习惯写法写法弹弹性力学的性力学的习惯习惯写法写法采用采用张张量下量下标记标记号的号的应应力写法力写法把坐把坐标轴标轴x、y、z分分别别用用x1、x2、x3表示，或表示，或简记为简记为xj(j=1,2,3)。应应力力张张量量为对为对称称张张量，有量，有6个独个独立分量。立分量。8.（2 2）斜截面上的）斜截面上的应应力力与与应应力力张张量的关系量的关系在在x xj j坐坐标标系中，考系中，考虑虑一个法一个法线为线为N N 的斜平面的斜平面。N是是单单位向量位向量，其方向余弦，其方向余弦为为则这则这个面上的个面上的应应力向量力向量 SN 的三个分量与的三个分量与应应力力张张量量 之之间间的关系的关系9.说说说说明明明明i i）重复出）重复出现现的下的下标标叫做叫做求和下求和下标标，相当于，相当于 这这称称为为求和求和约约定定；ii）不重复出）不重复出现现的下的下标标 i 叫做叫做自由下自由下标标，可取，可取 i=1,2,3采用采用张张量下量下标记标记号号,可可简简写成写成10.（3 3）主主应应力及力及应应力力张张量的不量的不变变量量主主应应力力(Principal stress)若某一斜面上若某一斜面上 ，则该则该斜面上的正斜面上的正应应力力 称称为该为该点点一个一个主主应应力力 ；应应力主向力主向主主应应力力 所在的平面所在的平面 称称为为主平面主平面；主主应应力力 所在平面的法所在平面的法线线方向方向 称称为为应应力主向力主向；根据主平面的定根据主平面的定义义，设设 S SN N 与与 N N 重合。若重合。若 S SN N 的大小的大小为为,则则它在各坐它在各坐标轴标轴上的投影上的投影为为11.代入代入12.即即 将将这这个行列式展开得到个行列式展开得到由几何关系可知由几何关系可知由于由于l l1 1、l l2 2、l l3 3不能同不能同时为时为零。零。对对于包含于包含这这三个未知量三个未知量的的线线性性齐齐次方程，若有非零解，次方程，若有非零解，则则此方程此方程组组的系数行的系数行列式列式应应当等于零。当等于零。或或 13.其中其中14.当坐当坐标轴标轴方向改方向改变时变时,应应力力张张量的分量量的分量 均将改均将改变变,但但主主应应力的大小不力的大小不应应随坐随坐标轴标轴的的选选取而改取而改变变。因此。因此,方方程程 的系数的的系数的J J1 1、J J2 2、J J3 3值值与坐与坐标轴标轴的取向的取向无关，称无关，称为为应应力力张张量的三个不量的三个不变变量量。应应力力张张量的不量的不变变量量可以可以证证明方程明方程 有三个有三个实实根，即三根，即三个主个主应应力力当用当用主主应应力力来来表示不表示不变变量量时时15.应应力力张张量不量不变变量及其量及其应应用用应应力力张张量是二量是二阶实对阶实对称称张张量，有量，有3个独立的主不个独立的主不变变量。量。利用利用应应力力张张量的量的3个主不个主不变变量，可以判量，可以判别应别应力状力状态态的的异同异同。例：判例：判别别以下两个以下两个应应力力张张量是否表示同一量是否表示同一应应力状力状态态？16.两个两个应应力力张张量表示同量表示同一一应应力状力状态态。判判别别两个两个应应力状力状态态是否相同，可以通是否相同，可以通过过判判别对应别对应的三个的三个主主应应力不力不变变量是否相同量是否相同实现实现。17.静水静水“压压力力”在静水在静水压压力作用下，力作用下，应应力力应变间应变间服从服从弹弹性性规规律，且不会律，且不会屈服、不会屈服、不会产产生塑性生塑性变变形，形，则应则应力分量分成两部分。力分量分成两部分。应应力力不不产产生塑性生塑性变变形的部分形的部分产产生塑性生塑性变变形的部分形的部分平均正平均正应应力力2、偏、偏应应力力张张量及其不量及其不变变量量（1 1）偏偏应应力力张张量量18.应应力力张张量可作如下分解：量可作如下分解：用用张张量符号表示：量符号表示：应应应应力球力球力球力球张张张张量量量量应应应应力偏力偏力偏力偏张张张张量量量量应应应应力球力球力球力球张张张张量量量量19.单单位球位球张张量量或或应应力球力球张张量使微分量使微分单单元体三个方向作用相元体三个方向作用相同的正同的正应应力，力，这这使使单单元体元体发发生生变变形形时时，只能，只能产产生生导导致体致体积积的均匀膨的均匀膨胀胀或收或收缩缩。因而。因而只能改只能改变变单单元体体元体体积积，而不能改，而不能改变单变单元体形状。元体形状。其中：其中：20.应应应应力偏力偏力偏力偏张张张张量量量量应应力偏力偏张张量量应应力偏力偏张张量量s sijij将将不改不改变变微分微分单单元体的体元体的体积积，仅产仅产生生形状的畸形状的畸变变。它描述的是。它描述的是实际应实际应力状力状态态与平均与平均应应力力状状态态的偏离程度，所以它的偏离程度，所以它对对描述描述问题问题的塑性的塑性变变形是形是十分重要的。十分重要的。21.说说说说明明明明材料材料进进入塑性后，入塑性后，单单元体的体元体的体积变积变形是形是弹弹性的，只与性的，只与应应力球力球张张量有关；而与形状改量有关；而与形状改变变有关的塑性有关的塑性变变形形则则是是由由应应力偏力偏张张量引起的，量引起的，应应力力张张量的量的这这种分解在塑性力种分解在塑性力学中有重要意学中有重要意义义。z zx xy yx xy yz zm mm mm m-m m-m m-m m=+22.（2）偏）偏应应力力张张量量的不的不变变量量偏偏应应力力张张量量的主的主轴轴方向与方向与应应力主力主轴轴方向一致，而主方向一致，而主值值（称（称为为主偏主偏应应力）力）为为：或或应应力偏力偏张张量也有三量也有三个不个不变变量量23.其中其中应应力偏力偏张张量的第二不量的第二不变变量量 今后用得最多。今后用得最多。说说说说明明明明再介再介绍绍它的其他几个表达式：它的其他几个表达式：在后面章在后面章节节中我中我们们将看到，将看到，在屈服条件中起重要作用。在屈服条件中起重要作用。至于至于 可以注意它有可以注意它有这样这样的特点：不管的特点：不管 的分量多么的分量多么大，只要有一个主偏大，只要有一个主偏应应力力为为零，就有零，就有 。这这暗示暗示 在屈服条件中不可能起决定作用。在屈服条件中不可能起决定作用。24.（3 3）引入与）引入与J J2 2 有关的几个定有关的几个定义义等效等效等效等效应应应应力力力力 如果假定如果假定如果假定如果假定 相等的两个相等的两个相等的两个相等的两个应应应应力状力状力状力状态态态态的力学效的力学效的力学效的力学效应应应应相同，那相同，那相同，那相同，那么么么么对对对对一般一般一般一般应应应应力状力状力状力状态态态态可以定可以定可以定可以定义义义义：在塑性力学中称在塑性力学中称为为应应力力强强度度或或等效等效应应力，力，它代它代表表复复杂应杂应力状力状态态折合成折合成单单向向应应力状力状态态的当量的当量应应力。力。注意：注意：这这里的里的“强强度度”或或“等效等效”都是在都是在 意意义义下衡下衡量的。量的。25.等效等效应应力力 随随应应力状力状态态不同而不同而变变化，即化，即等效等效应应力是衡量材料力是衡量材料处处于于弹弹性状性状态态或塑性状或塑性状态态的重的重要依据，它反映了各主要依据，它反映了各主应应力的力的综综合作用。合作用。简单简单拉伸拉伸时时26.等效等效应应力力 的特点的特点）与空与空间间坐坐标轴标轴的的选选取无关；取无关；）各正各正应应力增加或减少同一数力增加或减少同一数值值（也就是叠（也就是叠加一个静水加一个静水应应力状力状态态）时时 数数值值不不变变，即与，即与应应力球力球张张量无关；量无关；）全反号全反号时时 的数的数值值不不变变。27.标标标标志着所考察的偏志着所考察的偏志着所考察的偏志着所考察的偏应应应应力状力状力状力状态态态态与材料未受力（或只与材料未受力（或只与材料未受力（或只与材料未受力（或只受静水受静水受静水受静水应应应应力）状力）状力）状力）状态态态态的距离或差的距离或差的距离或差的距离或差别别别别的大小。的大小。的大小。的大小。可以看出可以看出 代表代表 空空间间的中的广的中的广义义距离距离 空空间间 空空空空间间间间指的是以指的是以指的是以指的是以 的九个分量的九个分量的九个分量的九个分量为为为为坐坐坐坐标轴标轴标轴标轴的九的九的九的九维维维维偏偏偏偏应应应应力空力空力空力空间间间间；28.等效剪等效剪应应力力 T 在塑性力学中称在塑性力学中称为为剪剪应应力力强强度度或或等效等效剪剪应应力力在在纯纯剪剪时时：八面体上的剪八面体上的剪应应力力等斜面等斜面：通通通通过过过过某点做平面某点做平面某点做平面某点做平面 ，该该该该平面的法平面的法平面的法平面的法线线线线与三个与三个与三个与三个应应应应力力力力主主主主轴夹轴夹轴夹轴夹角相等。角相等。角相等。角相等。29.设设将坐将坐标轴标轴 x、y、z 取与取与应应力主方力主方向一致，向一致，则则等斜面法等斜面法线线的三个方向的三个方向余弦余弦为为满满满满足上式的面共有八个，构成一个八面体，如足上式的面共有八个，构成一个八面体，如足上式的面共有八个，构成一个八面体，如足上式的面共有八个，构成一个八面体，如图图图图所示。所示。所示。所示。应应应应力向量力向量力向量力向量正正正正应应应应力力力力剪剪剪剪应应应应力力力力30.八面体的剪八面体的剪八面体的剪八面体的剪应应应应力力力力说说说说明明明明八面体面上的八面体面上的八面体面上的八面体面上的应应应应力向量可分解力向量可分解力向量可分解力向量可分解为为为为两个分量：两个分量：两个分量：两个分量：i)i)垂直于八面体面的分量，即正垂直于八面体面的分量，即正垂直于八面体面的分量，即正垂直于八面体面的分量，即正应应应应力力力力 ，它，它，它，它与与与与应应应应力球力球力球力球张张张张量有关，或者量有关，或者量有关，或者量有关，或者说说说说与与与与 有关；有关；有关；有关；ii)ii)沿八面体面某一切向的分量，即剪沿八面体面某一切向的分量，即剪沿八面体面某一切向的分量，即剪沿八面体面某一切向的分量，即剪应应应应力力力力 与与与与应应应应力偏力偏力偏力偏张张张张量的第二不量的第二不量的第二不量的第二不变变变变量量量量 有关。有关。有关。有关。31.八面体剪八面体剪应应力、等效力、等效应应力和等效剪力和等效剪应应力之力之间间的的换换算关系算关系说说说说明明明明这这些量的引入，使我些量的引入，使我们们有可能把复有可能把复杂应杂应力状力状态态化作化作“等等效效”（在（在 意意义义下等效）的下等效）的单单向向应应力状力状态态，从而有可，从而有可能能对对不同不同应应力状力状态态的的“强强度度”作出定量的描述和比作出定量的描述和比较较。32.例例:设设某点的某点的应应力力张张量量为为 ，试试求其主求其主应应力力 及主方向，并写出及主方向，并写出应应力偏量，画出力偏量，画出应应力状力状态态分析分析简图简图。解：主解：主应应力力由下式由下式给给出出解三次方程得到解三次方程得到因此可求得因此可求得33.将求得的将求得的代入下式代入下式可求得可求得 相相应应于于1 1的主方向余弦的主方向余弦为为同理，可求得相同理，可求得相应应于于2的主方向余弦的主方向余弦为为同理，可求得相同理，可求得相应应于于3的主方向余弦的主方向余弦为为34.又又对对于于应应力力张张量量ijij 应应力偏力偏张张量量用用主主应应力力表示的表示的应应力状力状态态分析分析图图如下：如下：-20-20101040401010101010103030-30-30=+35.三、三、应变张应变张量及其不量及其不变变量量1、应变应变张张量量2、主、主应变应变及及应变张应变张量的不量的不变变量量3 3、偏、偏、偏、偏应变张应变张应变张应变张量及其不量及其不量及其不量及其不变变变变量量量量36.三、三、应变张应变张量及其不量及其不变变量量设设物体内一点物体内一点(x，y，z)，这这一点的三个位移分量是一点的三个位移分量是u，v，w 显显然它然它们们是是x，y，z 的函数。在小的函数。在小变变形条形条件下，件下，应变应变和位移的关系和位移的关系(几何方程几何方程)如下：如下：1、应变应变张张量量（与（与应应力力张张量一量一样样，为为二二阶张阶张量）量）37.与与与与工程剪工程剪工程剪工程剪应变应变应变应变 相差一半，相差一半，相差一半，相差一半，即即即即 这样这样这样这样取取取取 的目的是使的目的是使的目的是使的目的是使 构成一个二构成一个二构成一个二构成一个二阶对阶对阶对阶对称称称称张张张张量，量，量，量，即即即即应变张应变张应变张应变张量。量。量。量。38.注：以下注：以下注：以下注：以下标标标标之之之之间间间间的逗号表示微商的逗号表示微商的逗号表示微商的逗号表示微商公式的公式的张张量形式：量形式：39.2、主、主应变应变及及应变张应变张量的不量的不变变量量平均正平均正应变应变类类似地，似地，应变张应变张量有三个主量有三个主应变应变和三个不和三个不变变量：量：40.3 3、偏、偏、偏、偏应变张应变张应变张应变张量及其不量及其不量及其不量及其不变变变变量量量量应变张应变张应变张应变张量也可以分解量也可以分解量也可以分解量也可以分解为应变为应变为应变为应变球球球球张张张张量和量和量和量和应变应变应变应变偏偏偏偏张张张张量，即量，即量，即量，即应变应变应变应变球球球球张张张张量量量量它与它与弹弹性的体性的体积积改改变变部分有关部分有关应变应变应变应变偏偏偏偏张张张张量量量量只反映只反映变变形中形形中形状改状改变变的那部分的那部分偏偏偏偏应变张应变张应变张应变张量量量量41.偏偏偏偏应变张应变张应变张应变张量的不量的不量的不量的不变变变变量量量量其中其中其中其中 和和和和 分分分分别别别别是主是主是主是主应变应变应变应变和偏和偏和偏和偏应变张应变张应变张应变张量量量量的主的主的主的主值值值值。42.4 4、引入与、引入与I I2 2 有关的几个定有关的几个定义义等效等效等效等效应变应变应变应变在在简单简单拉伸拉伸时时，如果材料不可，如果材料不可压缩压缩，则则43.等效剪等效剪等效剪等效剪应变应变应变应变在在纯纯剪剪时时44.四、屈服条件、屈服曲面四、屈服条件、屈服曲面1、屈服条件、屈服条件2 2、应应应应力空力空力空力空间间间间和主和主和主和主应应应应力空力空力空力空间间间间3 3、屈服曲面、屈服曲、屈服曲面、屈服曲线线4 4、平面上的几何关系平面上的几何关系45.四、屈服条件、屈服曲面四、屈服条件、屈服曲面简单应简单应力状力状态态下的屈服极限：下的屈服极限：复复杂应杂应力状力状态态下，下，设设作用于物体上的外作用于物体上的外载载荷逐步增加，荷逐步增加，在其在其变变形的初始形的初始阶阶段，每个微元段，每个微元处处于于弹弹性性阶阶段。段。材料初始材料初始弹弹性状性状态态的界限称的界限称为为初始屈服条件初始屈服条件，简简称称为为屈服条件屈服条件。一般地：一般地：受六个受六个应应力分量、力分量、应变应变分量、分量、应变应变速率、速率、时间时间、温度、温度等因素的等因素的综综合影响。合影响。1、屈服条件、屈服条件46.当不考当不考虑时间虑时间效效应应且接近常温且接近常温时时，在初始屈服前材料，在初始屈服前材料处处于于弹弹性状性状态态，应应力和力和应变间应变间有一一有一一对应对应的关系。的关系。几何意几何意义义屈服条件屈服条件 在以在以应应力分量力分量为为坐坐标标的的应应力空力空间间中中为为一曲面。称一曲面。称为为屈服曲面屈服曲面。屈服曲面是区分。屈服曲面是区分弹弹性和性和塑性的分界面。塑性的分界面。当当应应力点力点 位于曲面之内，即位于曲面之内，即 时时，材料，材料处处于于弹弹性性阶阶段。段。当当应应力点力点 位于曲面之上，即位于曲面之上，即 时时，材料开，材料开始屈服，始屈服，进进入塑性状入塑性状态态。47.静水静水应应力不影响材料的塑性性力不影响材料的塑性性质质。这时这时，屈服条件，屈服条件只与只与应应力偏量有关：力偏量有关：两点假两点假设设材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标标的取向的取向无关。无关。可表示可表示为为三个主三个主应应力的函数：力的函数：也可由也可由应应力偏力偏张张量的不量的不变变量表示：量表示：或用或用应应力不力不变变量来表示：量来表示：48.2 2、应应应应力空力空力空力空间间间间和主和主和主和主应应应应力空力空力空力空间间间间应应力空力空间间一点的一点的应应力力张张量有九个量有九个应应力分量，以它力分量，以它们为们为九个坐九个坐标标轴轴就得到假想的九就得到假想的九维应维应力空力空间间。考考虑虑到九个到九个应应力分量中只有六个是独立的，所以又可力分量中只有六个是独立的，所以又可构成一个六构成一个六维应维应力空力空间间来描述来描述应应力状力状态态。一点的一点的一点的一点的应应应应力状力状力状力状态态态态可以用九可以用九可以用九可以用九维维维维或六或六或六或六维应维应维应维应力空力空力空力空间间间间中的一个中的一个中的一个中的一个点来表示。点来表示。点来表示。点来表示。主主应应力空力空间间49.它是以它是以它是以它是以 为为为为坐坐坐坐标轴标轴标轴标轴的假想的三的假想的三的假想的三的假想的三维维维维空空空空间间间间，这这这这个空个空个空个空间间间间中的一个点，就确定了用主中的一个点，就确定了用主中的一个点，就确定了用主中的一个点，就确定了用主应应应应力力力力 所所所所表示的一个表示的一个表示的一个表示的一个应应应应力状力状力状力状态态态态。主主应应力空力空间间的性的性质质L L L L直直直直线线线线：主主主主应应应应力空力空力空力空间间间间中中中中过过过过原点并与坐原点并与坐原点并与坐原点并与坐标轴标轴标轴标轴成等角的直成等角的直成等角的直成等角的直线线线线。其方程其方程为为 显显然，然，L直直线线上的点代表上的点代表物体中承受静水物体中承受静水应应力的点力的点的状的状态态，这样这样的的应应力状力状态态将不将不产产生塑性生塑性变变形。形。50.平面：平面：平面：平面：主主主主应应应应力空力空力空力空间间间间中中中中过过过过原点而与原点而与原点而与原点而与L L直直直直线线线线垂直的平面。垂直的平面。垂直的平面。垂直的平面。其方程其方程为为 由于由于 平面上任一点的平平面上任一点的平均正均正应应力力为为零，所以零，所以 平平面上的点面上的点对应对应于只有于只有应应力力偏偏张张量、不引起体量、不引起体积变积变形形的的应应力状力状态态。主主主主应应应应力空力空力空力空间间间间中任意一点中任意一点中任意一点中任意一点P P P P所确定的向量所确定的向量所确定的向量所确定的向量 总总总总可以分可以分可以分可以分解解解解为为为为：O51.所以向量所以向量 是在是在 平面上平面上这样这样这样这样任意任意任意任意应应应应力状力状力状力状态态态态就被分就被分就被分就被分解解解解为为为为两部分，分两部分，分两部分，分两部分，分别别别别与与与与应应应应力力力力球球球球张张张张量和量和量和量和应应应应力偏力偏力偏力偏张张张张量部分量部分量部分量部分对应对应对应对应。应应应应力球力球力球力球张张张张量量量量应应应应力偏力偏力偏力偏张张张张量量量量O52.O3 3、屈服曲面、屈服曲、屈服曲面、屈服曲线线 对应对应于于应应力状力状态态的球的球张张量部分，即静水量部分，即静水压压力部力部分；分；由于静水由于静水应应力不影响力不影响屈服，即屈服与否与屈服，即屈服与否与 无无关。关。因此当因此当 P 点达到屈服点达到屈服时时，线线上的任一点也都达到屈上的任一点也都达到屈服。服。53.屈服曲面屈服曲面是一个是一个等截面等截面柱面，其母柱面，其母线线平行于平行于L直直线线。并。并且此柱面垂直于且此柱面垂直于 平面。平面。屈服曲屈服曲线线：屈服曲面与屈服曲面与平面相交所得的一条平面相交所得的一条封封闭闭曲曲线线，或称屈服，或称屈服轨轨迹。迹。屈服曲屈服曲线线屈服曲面屈服曲面54.由于材料是初始由于材料是初始各向同性的，屈服各向同性的，屈服条件不因坐条件不因坐标变换标变换而而变变化，因此屈服化，因此屈服曲曲线线关于关于 三三轴对轴对称。称。屈服曲屈服曲线线的方程的方程屈服曲屈服曲线线的主要性的主要性质质:对对于大多数金属材料，初始拉伸和于大多数金属材料，初始拉伸和压缩压缩的屈服极限相的屈服极限相等，因此等，因此屈服曲屈服曲线线关于关于 三三轴轴的垂的垂线线也也对对称。称。55.分分别别在主在主应应力空力空间间的三根坐的三根坐标轴标轴上截取上截取长长度度为为1 1的的线线段。段。由于等斜面由于等斜面 与与平面平行，所以角平面平行，所以角为为平面与主平面与主应应力空力空间间的的夹夹角，也即角，也即 的的夹夹角。角。4 4、平面上的几何关系平面上的几何关系其中：其中：O等斜面等斜面11156.把把S投影到投影到平面上，可得到其（平面上，可得到其（x,y）坐）坐标为标为：OxyS在在平面上取平面上取x、y轴轴，如，如图图。则则屈服曲屈服曲线线上任一点上任一点S 在在平面上的坐平面上的坐标为标为：57.当采用极坐当采用极坐标标表示表示时时：三种特殊情况三种特殊情况单单向拉伸向拉伸纯纯剪切剪切单单向向压缩压缩就是就是Lode应应力参数力参数58.平面的定平面的定义义。问题问题什么叫屈服条件？什么叫屈服条件？屈服条件屈服条件 在什么假定下在什么假定下变为变为 。为为什么什么 平面上的屈服曲平面上的屈服曲线线有六条有六条对对称称轴轴。的几何意的几何意义义是什么？是什么？应应力力张张量状量状态态的三个不的三个不变变量的表达方式？偏量的表达方式？偏应应力力张张量状量状态态的三个不的三个不变变量的表达方式？量的表达方式？偏偏应变张应变张量状量状态态的三个不的三个不变变量的表达方式？量的表达方式？59.五、两种常用的屈服条件五、两种常用的屈服条件1、Tresca屈服条件屈服条件(1864年年)2 2、Mises 屈服条件屈服条件3 3、平面上平面上Mises圆圆同同Tresca六六边边形的几何关系形的几何关系60.五、两种常用的屈服条件五、两种常用的屈服条件1、Tresca屈服条件屈服条件(1864年年)基于基于实验观测实验观测，Tresca假假设设材料在某材料在某处处出出现现屈服是屈服是由于由于该该点的最大剪点的最大剪应应力达到某一极限力达到某一极限值值k。当已知当已知 Tresca屈服条件屈服条件可以表示可以表示为为 也就是材料力学的第三也就是材料力学的第三强强度理度理论论由由对对称性拓展后，得到称性拓展后，得到平面上的一个平面上的一个正六正六边边形形。61.如不如不规规定定在主在主应应力空力空间间中，它中，它们们构构成一母成一母线线平行于平行于L L直直线线的正的正六六边边形柱面形柱面62.63.对对于平面于平面应应力状力状态态，当，当 时时，变为变为即在即在 平面上，平面上，其屈服其屈服轨轨迹呈斜六迹呈斜六边边形，形，这这相当于正六相当于正六边边形柱面形柱面被被 的平面斜的平面斜截所得的曲截所得的曲线线。式式64.常数常数 k k1 1 一般由一般由实验实验确定：确定：在在单单向拉伸向拉伸时时：在在纯纯剪切剪切时时：比比较这较这二者可知，采用二者可知，采用TrecaTreca条件就意味着条件就意味着65.TrecaTreca屈服条件的适用范屈服条件的适用范围围1 1、在主、在主应应力方向和大小力方向和大小顺顺序都已知序都已知时时，TrescaTresca屈服条屈服条件求解件求解问题问题是比是比较较方便的，因方便的，因为为在一定范在一定范围围内，内，应应力力分量之分量之间满间满足足线线性关系。性关系。2 2、在主、在主应应力方向已知，但其大小力方向已知，但其大小顺顺序未知序未知时时，不失一，不失一般性，屈服条件可写般性，屈服条件可写为为：然后可用然后可用应应力偏力偏张张量的不量的不变变量的形式写成量的形式写成3 3、主、主应应力方向未知，很力方向未知，很难难用表达式描述。用表达式描述。TrecaTreca屈服条件一般屈服条件一般仅仅适用于主适用于主应应力方向已知的情况。力方向已知的情况。66.TrescaTresca条件的局限：条件的局限：主主应应力未知力未知时时表达式表达式过过于复于复杂杂；未考未考虑虑中中间间主主应应力的影响。力的影响。1913年年Mises 指出指出:Tresca条件在条件在平面上的截迹是平面上的截迹是一个正六一个正六边边形形,因此不能用一个因此不能用一个简单简单的方程来表示的方程来表示;此此外外,六角形的六角形的六个六个顶顶点是由点是由实验实验得到得到的的,但是但是连连接接这这六六个点的直个点的直线线却包含了假定却包含了假定(认为认为中中间间主主应应力不影响屈服力不影响屈服),),这这种假定是否合适种假定是否合适,需需经实验证经实验证明。明。Mises认为认为：用一个：用一个圆圆来来连连接接这这六个点似乎更合理，六个点似乎更合理，并且可以并且可以避免避免因曲因曲线线不光滑而引起的数学上的困不光滑而引起的数学上的困难难。Mises条件在条件在应应力空力空间间中的中的轨轨迹是外接于迹是外接于Tresca六角六角柱体的柱体的圆圆柱体。柱体。67.68.Mises屈服条件假定屈服曲屈服条件假定屈服曲线线的一般的一般 表表达式具有如下的最达式具有如下的最简单简单形式：形式：2 2、Mises 屈服条件屈服条件由屈服曲由屈服曲线线上的点在上的点在平面上投影平面上投影可知可知因此，在因此，在平面平面MisesMises屈服条件可用一个屈服条件可用一个圆圆来表示。来表示。69.70.常数常数 K K2 2 一般由一般由实验实验确定：确定：在在单单向拉伸向拉伸时时：在在纯纯剪切剪切时时：比比较这较这二者可知，采用二者可知，采用MisesMises条件条件应应有：有：71.确定常数确定常数 K2 以后，以后，Mises屈服条件可写屈服条件可写成以下常用的形式：成以下常用的形式：或或在主在主应应力空力空间间中是一个母中是一个母线线平行于平行于L L直直线线的的圆圆柱面。柱面。72.Mises屈服准屈服准则为则为：即即所以，米塞斯屈服准所以，米塞斯屈服准则则也可以表述也可以表述为为：在一定的：在一定的变变形形条件下，当受力物体内一点的等效条件下，当受力物体内一点的等效应应力力 达到某一定达到某一定值时值时，该该点就开始点就开始进进入塑性状入塑性状态态。73.在在 平面上，平面上，这这是一个是一个椭圆椭圆。为为主主应应力空力空间间中的中的Mises圆圆柱面被柱面被平面平面 斜截所得。斜截所得。对对于平面于平面应应力状力状态态，当，当 时时，有：有：MisesTresca由于上式中右端常数由由于上式中右端常数由单单向拉伸向拉伸实验实验确定，所以确定，所以图图中中Mises椭圆椭圆外接于外接于Tresca斜六斜六边边形。形。74.3 3、平面上平面上Mises圆圆同同Tresca六六边边形的几何关系形的几何关系如果假定在如果假定在简单简单拉伸拉伸时时两种两种屈服条件相重合，屈服条件相重合，则则Tresca六六边边形将形将内接于内接于Mises圆圆。内接内接Tresca六六边边形形Mises圆圆Mises:Tresca:纯纯剪切剪切时时，Tresca六六边边形同形同Mises圆圆之之间间的相的相对对偏差偏差最大，最大，为为单单向拉伸向拉伸75.外接外接Tresca六六边边形形Mises圆圆如果假定在如果假定在纯纯剪切剪切时时两种屈两种屈服条件相重合，服条件相重合，则则Tresca六六边边形形将将外切于外切于Mises圆圆。Mises:Tresca:纯纯剪切剪切单单向拉伸向拉伸时时，Tresca六六边边形同形同Mises圆圆之之间间的相的相对对偏差偏差最最大，大，为为76.试试判断下判断下图图中的主中的主应应力状力状态态是是弹弹性状性状态还态还是塑性状是塑性状态态。解：利用解：利用Mises屈服准屈服准则则判判别别：（图图1 1）（图图2 2）（图图3 3）对图对图1，用，用 代入得代入得满满足足Mises屈服条件，所以屈服条件，所以处处于塑性状于塑性状态态。77.对图对图3用用（图图2 2）（图图3 3）解：利用解：利用Mises屈服准屈服准则则判判别别：对图对图2用用 代入代入满满足足Mises屈服条件，所以屈服条件，所以处处于塑性状于塑性状态态。解：利用解：利用Mises屈服准屈服准则则判判别别：不不满满足足Mises屈服条件，所以屈服条件，所以处处于于弹弹性状性状态态。代入代入78.设设某点的某点的应应力力张张量量为为 材料的材料的s=25Mpa 求出其主求出其主应应力及最大切力及最大切应应力；力；根据根据Tresca屈服条件和屈服条件和Mises屈服条件判断材料屈服条件判断材料处处于于弹弹性状性状态还态还是塑性状是塑性状态态；画出两种屈服条件在主画出两种屈服条件在主应应力空力空间间的屈服曲面和的屈服曲面和平面上的屈服曲平面上的屈服曲线线；画出平面画出平面应应力状力状态态下的下的Tresca屈服准屈服准则则及及Mises屈屈服准服准则图则图形，并形，并进进行比行比较较。应应用用：根据两种屈服准根据两种屈服准则则，由任意，由任意应应力状力状态态确定材确定材料料处处于于弹弹性状性状态还态还是塑性状是塑性状态态。79.主主应应力的大小力的大小为为：1 2 3=47.8482 34.0881 20.0637最大切最大切应应力力为为：12 23 31=7.0122 -13.8922 6.8801根据根据Tresca屈服条件和屈服条件和Mises屈服条件判断材料状屈服条件判断材料状态结态结果果为为：经经Tresca屈服条件判断屈服条件判断,材料材料处处于塑性于塑性阶阶段段经经Mises屈服条件判断屈服条件判断,材料材料处处于于弹弹性性阶阶段段80.画出两种屈服条件在主画出两种屈服条件在主应应力空力空间间的屈服曲面和的屈服曲面和平面上的屈平面上的屈服曲服曲线线；其中，；其中，图图中中*表示任意点的表示任意点的应应力状力状态态，*若在屈若在屈服曲服曲线线内内则则表示材料表示材料处处于于弹弹性性阶阶段，段，*若在屈服曲若在屈服曲线线外外则则表示材料表示材料处处于塑性于塑性阶阶段。段。81.82.画出平面画出平面应应力状力状态态下的下的Tresca屈服准屈服准则则及及Mises屈服准屈服准则图则图形，形，并并进进行比行比较较（如（如图图所示）。所示）。83.解解 由于壳体几何形状和受由于壳体几何形状和受力都是力都是对对称于球心称于球心,是球是球对对称称问题问题。这样这样壳体内剪壳体内剪应应力分量力分量必必为为零，否零，否则则就不是球就不是球对对称了。称了。各点只有正各点只有正应应力分量，并且有力分量，并且有qoxyz主主应应力排序力排序为为例：一内半径例：一内半径为为a，外半径，外半径为为b 的球形壳，的球形壳，在其内在其内表面上作用均匀的表面上作用均匀的压压力力q。试试写出其屈服条件。写出其屈服条件。84.代入代入Tresca屈服屈服条件条件发现发现它它们们有一有一样样的屈服条件。的屈服条件。代入代入Mises屈服条件屈服条件85.问题问题两种屈服条件的物理解两种屈服条件的物理解释释。两种屈服条件分两种屈服条件分别别在在 平面，主平面，主应应力空力空间间和和对应对应于于 的平面的平面应应力状力状态态的的图图形（画出）。形（画出）。两种屈服条件的函数表示形式（写出具体的表达式）两种屈服条件的函数表示形式（写出具体的表达式）86.六、屈服条件的六、屈服条件的实验验证实验验证试验试验二、薄二、薄圆圆管受拉力管受拉力T T和扭矩和扭矩M M的作用。的作用。试验试验一、薄一、薄圆圆管受拉力管受拉力T T和内和内压压 p p 的作用。的作用。Tresca屈服条件与屈服条件与Mises屈服条件的适用范屈服条件的适用范围围：87.六、屈服条件的六、屈服条件的实验验证实验验证试验试验一、薄一、薄圆圆管受拉力管受拉力T T和内和内压压 p p 的作用。的作用。TTp设圆设圆管的平均半径管的平均半径为为R R，壁厚，壁厚为为h h，h h R R，在拉力，在拉力T T和和内内压压 p 的作用下，的作用下，圆圆管近似地管近似地处处于均匀于均匀应应力状力状态态。在。在柱坐柱坐标标中其中其应应力分量力分量为为88.由此求得由此求得Lode应应力参数力参数为为 单单向拉伸向拉伸纯纯剪切剪切此此时时：如果如果则则可取可取减去静水减去静水应应力力 后：后：89.在在 的范的范围围内改内改变变拉力拉力T和内和内压压p的比的比值值时时，就可以得到，就可以得到 范范围围内的任意内的任意应应力状力状态态。Lode（1925）拉伸）拉伸内内压压试验试验：代入代入Mises屈服条件屈服条件得到：得到：90.为为了使两种屈服条件便了比了使两种屈服条件便了比较