绝对值的性质及化简.doc

(完整版)绝对值的性质及化简

绝对值的性质及化简

中考要求

内容
基本要求
略高要求
较高要求
绝对值
借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值
会利用绝对值的知识解决简单的化简问题

例题精讲

绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离.数的绝对值记作.
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.
②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是.
③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.
④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：符号是负号，绝对值是.
求字母的绝对值：
① ② ③
利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.
绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.
例如：若，则，，
绝对值的其它重要性质：
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即，且；
（2）若，则或；
（3）；；
（4）；
（5），
对于，等号当且仅当、同号或、中至少有一个时，等号成立；
对于，等号当且仅当、异号或、中至少有一个时，等号成立．
绝对值几何意义
当时，，此时是的零点值．
零点分段讨论的一般步骤：
找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．
的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．
的几何意义：在数轴上，表示数、对应数轴上两点间的距离．

一、绝对值的概念

【例1】 的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．
的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离； （，，）；

【例2】 的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离；则 ；

【例3】 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若，则 ．

【例4】 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若，则
．

二、绝对值的性质

【例5】 填空：若，则，满足的关系 ．

【例6】 填空：若，则，满足的关系 ．

【例7】 填空：已知、是有理数，，，且，则 ．

【例8】 若，则下列结论正确的是 ( 　)
A. B. C. D.

【例9】 下列各组判断中，正确的是 ( )
A．若，则一定有 B．若，则一定有
C. 若，则一定有 D．若，则一定有

【例10】 如果＞，则 ( )
A． 　B．＞ 　C． 　　D ＜

【例11】 （4级）若且，则下列说法正确的是（ ）
A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是正数 D．一定是负数

【例12】 下列式子中正确的是 ( )
A． B． C． D．

【例13】 对于，下列结论正确的是 ( )
A． B． C． D．

【例14】 若，求的取值范围．

【例15】 已知，求的取值范围

【例16】 下列说法中正确的个数是( )
①当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大；
②没有最大的非负数，也没有最小的非负数；
③不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等；
④只有负数的绝对值等于它的相反数．
A．0 B．1 C．2 D．3

【例17】 绝对值等于的整数有 个，绝对值小于的整数有 个

【例18】 绝对值小于的整数有哪些？它们的和为多少？

【例19】 有理数与满足，则下面哪个答案正确( 　 )
A． B． C． D．无法确定

【例20】 已知：，且；则.

【例21】 非零整数满足，所有这样的整数组共有

【例22】 已知且，那么

【例23】 如右图所示，若的绝对值是的绝对值的倍，则数轴的原点在 点．（填“”“”“”或“”）

【例24】 如果，，，求的值．

【例25】 已知、、、都是整数，且，则           ．

【例26】 已知、、、是有理数，，， 且
，则 ．

【例27】 有理数、、、各自对应着数轴上、、、四个点，且
（1）比，、、、都大；
（2）；
（3）是、、、中第二大的数.则点、、、从左到右依次是

【例28】 若为互不相等的有理数，且最小，最大，且．请按从小到大的顺序排列．

【例29】 If ,,,and ,then ．

【例30】 如果那么。

【例31】 若是方程的解，则等于（ ）．
A． B． C． D．

【例32】 已知，求的值.

【例33】 已知、是有理数，有以下三个不等式：
① ；② ；③ ．
其中一定不成立的是______（填写序号）．

【例34】 如果有理数，，满足，，，求的值．

三、绝对值的化简

1. 条件型绝对值化简
【例35】 当时，则 ．

【例36】 已知，化简

【例37】 若，化简.

【例38】 已知，化简.

【例39】 如果并且，化简.

【例40】 如果有理数、、在数轴上的位置如图所示，求的值.

【例41】 如果有理数、、在数轴上的位置如图所示，求的值.

【例42】 已知，那么

【例43】 是一个五位自然数，其中、、、、为阿拉伯数码，且，则的最大值是 ．

【例44】 、、分别是一个三位数的百、十、个位上的数字，且，则可能取得的最大值是多少？

【例45】 已知，其中，那么的最小值为

【例46】 已知，则 ．

【例47】 若，则 ．

【例48】 满足（）有理数、，一定不满足的关系是（ ）
A． B． C． D．

【例49】 若为互不相等的有理数，且，求．

【例50】 已知有理数、的和及差在数轴上如图所示，化简．

【例51】 数在数轴上对应的点如右图所示，试化简

【例52】 实数在数轴上的对应点如图，化简

【例53】 若且，化简.

【例54】 若，求的值.

【例55】 若，，那么等于 ．

【例56】 设为非零实数，且，，．化简．

【例57】 若，求的值．

【例58】 若，则 ．

【例59】 设，其中，试证明必有最小值

【例60】 若，试化简．

【例61】 若，化简．

【例62】 已知，，化简．

3.绝对值零点分段化简

【例63】 化简：

【例64】

【例65】 化简．

【例66】 化简：

【例67】 阅读下列材料并解决相关问题：
我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值），在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下中情况：·
⑴当时，原式
⑵当时，原式
⑶当时，原式
综上讨论，原式
通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：
⑴分别求出和的零点值
⑵化简代数式

【例68】 求的值．

【例69】 化简：.

4. 分式型绝对值化简按符号化简

【例70】 若均为非零的有理数，求的值

【例71】 若，求的值．

【例72】 已知是非零有理数，求的值.

【例73】 已知，且都不等于，求的所有可能值

【例74】 已知是非零整数，且，求的值

【例75】 若，则；若，则.

【巩固】 当时，化简

【例76】 若，，则
的值是（ ）
A． B． C． D．

【例77】 下列可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．

【例78】 如果，则等于（ ）
A． B． C． D．

【例79】 如果，则的值等于（ ）
A． B． C． D．

【例80】 如果，，，求的值．

【例81】 已知，求的值．

【例82】 若，，均不为零，求.

【例83】 若，，均不为零，且，求.

【例84】 ，，为非零有理数，且，则的值等于多少？

【例85】 三个数，，的积为负数，和为正数，且，
求的值.

【例86】 设实数，，满足，及，若，，那么代数式的值为______．

【例87】 有理数均不为零，且，设，则代数式
的值为多少？

【例88】 有理数均不为零，且，设，则代数式的值为多少？

【例89】 若，，则 ．

【例90】 已知、、互不相等，求的值．

【例91】 、、的大小关系如图所示，求的值．

【例92】 若有理数、、满足，求的值．

【例93】 已知有理数满足，则（ ）
A． B． C． D．不能确定

【例94】 有理数，，，满足，求的值．

【例95】 已知，求的值

【例96】 已知，求的值．

【例97】 如果，求代数式的值．

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