机器人工具坐标系标定中的非线性问题求解方法研究_陈雎帅.pdf

年 月第 卷 第 期机床与液压 .：.本文引用格式：陈雎帅，刘宇琪，汤卿机器人工具坐标系标定中的非线性问题求解方法研究机床与液压，（）：，（）：收稿日期：基金项目：四川省科技计划项目（；）作者简介：陈雎帅（），男，硕士研究生，研究领域为智能机器人、组合优化。：.。通信作者：汤卿（），男，博士，副教授，研究领域为机器人感知、控制与规划、人机协作与共融。：.。机器人工具坐标系标定中的非线性问题求解方法研究陈雎帅，刘宇琪，汤卿（四川大学机械工程学院，四川成都）摘要：在机器人工具坐标系标定中，利用机器人空间中任意两点在机器人基坐标系和测量仪器坐标系中距离保持不变建立约束方程。针对求解此类方程的非线性问题，引入有偏随机键遗传算法（）。为了增强算法的稳定性，加快算法收敛，增加局部搜索对它进行改进。仿真实验结果表明：改进型 的求解精度较最小二乘迭代、牛顿法分别提高了 和；实物实验结果表明：改进型 的求解精度分别提高了 和。改进型 的求解精度方差较 更小，收敛时的迭代次数较 更少，表明改进型 有着更好的稳定性且收敛更快。关键词：工具坐标系标定；非线性问题；有偏随机键；遗传算法中图分类号：.，（，）：，（），：；前言在目前实际生产中，工业机器人有着举足轻重的地位，在各行各业的应用愈加广泛。相应地，针对机器人工具坐标系位置标定的研究十分重要，在诸多标定方法中，基于距离约束原则的标定方法较为常用。此方法利用机器人空间中任意两点在基坐标系和测量仪器坐标系中距离保持不变的原则，建立非线性约束方程，约束方程即为一个非线性问题。齐立哲等在机器人误差测量系统标定中，对工具坐标系进行位置标定，根据距离约束原则列出多维非线性方程组，通过最小二乘法进行求解。李广云等根据距离约束原则，建立约束方程，通过泰勒级数展开，将非线性方程线性化，采用最小二乘迭代法计算出工具坐标系原点在法兰末端坐标系下的坐标，由此完成工具坐标系位置标定。向民志等提出机器人坐标系转换方法，对工具坐标系进行位置标定，根据距离约束原则列出非线性约束方程，通过最小二乘法求解。在机器人工具坐标系位置标定中若利用距离约束原则，都会产生非线性问题，那么针对此类非线性问题的求解就尤为重要。对于此类非线性问题的求解，通常采用最小二乘迭代法、牛顿法等。最小二乘迭代法通过泰勒级数展开将非线性方程线性化，要求泰勒展开处的参数近似值与真值十分接近且非线性程度较弱。牛顿法则存在严重的收敛性问题，当初始迭代值与真实值比较接近时，迭代才会收敛。针对以上所述，本文作者提出引入有偏随机键遗传算法（，）。有偏随机键遗传算法能有效避免一般遗传算法的典型缺陷，同时具有收敛速率更快、编码形式更加简单明了等优势。在交叉过程中可设定选择概率，倾向于选择表现更佳的个体，增强了算法寻找优解的能力。对于算法本身存在一定的不确定性所导致的稳定性欠佳的问题，作者提出增加局部搜索对算法进行改进。通过将改进型 与最小二乘迭代法和牛顿法求解精度对比，以及与 稳定性、收敛速度对比，改进型 对于机器人工具坐标系标定中的非线性问题求解有着更佳的适用性。问题描述.坐标系定义工具坐标系标定系统由机器人基坐标系、测量仪器坐标系、工具坐标系组成，系统组成原理如图 所示。图 系统组成原理.图中表示机器人基坐标系；表示法兰末端坐标系；表示工具坐标系的原点，固连于法兰末端坐标系，即工具坐标系原点在中的坐标保持不变；表示测量仪器坐标系，用于测量各个位姿下的。.标定工具坐标系工具坐标系的标定就是求解工具坐标系原点在法兰末端坐标系中的坐标。工具坐标系原点 在机器人基坐标系下的坐标可表示为 （，）（）其中：为法兰末端坐标系相对于机器人基坐标系下的齐次变换矩阵；为工具坐标系原点在法兰末端坐标系中的坐标；为测量位置的总数。随机取 个不同的测量位置、，两者在机器人基坐标系下的坐标偏差为（）由公式（）展开可得：（）同时，两者在测量仪器坐标系下的坐标偏差为（）根据距离约束，机器人任意 个测量位置下的 在和中的距离相等，即：（）展开可得：（）其中：、可直接获取，、可以由测量仪器获得。令|（）（）（）由公式（），结合公式（）、（）、（）可得：|（）由上可知，除未知，其余均已知。的求解为一个非线性问题。问题求解.适应度函数根据公式（），设计得适应度函数：（）其中：为第 个测量位置下法兰末端坐标系相对于机器人基坐标系下的齐次变换矩阵；为在第 个测量位置下工具坐标系原点 在测量仪器坐标系下的坐标。.编码引入遗传算法的目的主要是对于 的求解，故直接将的 个坐标值进行编码，根据遗传算法迭代计算，以每代的适应度值进行评估。.算法流程算法流程 如下：种群 解码并计算适应度值将 分成精英层 和非精英层 种群 机床与液压第 卷 ：精英层，：变异层（：）（）继承上代中的 （）以上代的、做交叉 （）生成变异体 最佳个体 返回结果初始化种群产生问题的初解，针对种群迭代进化一定的代数。进化种群主要包括保留精英个体、精英与非精英的交叉操作、产生变异个体 个过程，具体如图 所示。图 种群进化.针对第 代种群，计算此种群中对应个体的适应度值，设置一定的比例将种群分为精英层和非精英层。对于精英层来说，代表了问题当前的优解。对于第 代种群的产生，首先直接将第 代中的精英复制过来，这样做是为了在每一代种群中保留最好的解法。分别从精英层和非精英层中选取个体进行交叉操作，具体可如图 所示。以 表示从精英个体中继承基因的概率，取 .。对于精英和非精英个体的第一位基因，若随机数小于，取精英个体的第一位基因；反之则取非精英个体的第一位基因，其他位基因操作均如此，以此完成精英个体与非精英个体的交叉操作。最后将变异新生成的个体加入新种群中。图 交叉操作.算法改进 产生新个体的途径主要为交叉和变异，但因其存在一定的随机性和不确定性导致稳定性欠佳，针对这个问题，提出增加局部搜索，对它进行改进。局部搜索从一个初始解开始，生成初始解的领域，进而选择更优的领域解。算法改进流程 如下：生成初解 （）生成领域 选择更优邻域解 最优解法基于局部搜索的基本思想，文中将它修改并加入种群进化中，具体步骤见图。图 局部搜索.在 中增加局部搜索，主要针对每次迭代中的最佳个体，设定步长，将步长 以不同的方向映射到最佳个体中。表示步长起始值，最佳个体是否更新是指当代最佳个体与上代最佳个体相比，若更新则表示问题的优解更新，则此时令步长 ；若未更新则表示问题的优解未更新，此时减小步长，在当前优解的小范围内寻找更优解。.求解精度的表达理论上，任意 个测量点在机器人基坐标系和测量仪器坐标系下的距离相等，但由于机器人运动模型和测量仪器测量精度的影响，会存在些许偏差，故可以此作为 求解精度的指标。求解精度 可具体表示为 ()（）第 期陈雎帅 等：机器人工具坐标系标定中的非线性问题求解方法研究 其中：为测量点在基坐标系下的坐标；为测量点在测量仪器坐标系下的坐标；为用作求解精度校验的测量点总数。仿真实验文中所进行的仿真实验环境在 中搭建，如图 所示。所采用的机器人模型为 协作式机器人。在 直接使用工具箱 中的函数 导入。对应的机器人基坐标系为其底座坐标系（）。对应的法兰末端坐标系为其末端 关节坐标系。对应的工具坐标系原点 在仿真环境中是虚拟的，直接给定一个坐标位置即可，表示其固连在法兰末端坐标系。测量仪器主要是为了测量各位姿下工具坐标系原点的坐标，在仿真环境中，不需要添加测量仪器，只需虚拟出一个坐标系即可。图 仿真环境.工具坐标系原点 的创建工具坐标系原点在法兰末端坐标系中的位置是保持不变的，即保持不变。在仿真环境中则可直接将它设定为一个固定值，表示固连在法兰末端坐标系。这里设定为 .测量仪器坐标系的创建已知机器人基坐标系为底座坐标系，位于整个空间的原点处。取做旋转、平移等变换得测量仪器坐标系。即，将的 轴做.的旋转，轴做.的旋转，轴不做变动，再分别沿、轴移动，得到：通过计算可得相对于的变换矩阵：|.数据采集根据上述方法，需要采集的数据映射到仿真环境中主要为工具坐标系在机器人基坐标系下的齐次变换矩阵以及工具坐标系原点的坐标。可由 的工具箱 中的函数 获取。可由公式（）、（）获得：（）（）采集到的数据是绝对真值，没有误差，与实际情况不符，因此需要增加噪声，使数据更符合实际情况。.实验效果控制机器人移动 个不同的位姿，同时对相应的数据进行采集。在绝对真值下，用作标定工具坐标系的测量点坐标如表 所示。表 真值下的测量点坐标.编号 .增加高斯白噪声使用 中的函数，增加高斯白噪声，分别对真值数据增加了步长为、信噪比的噪声。使用改进型、最小二乘迭代和牛顿法分别求解。在 噪声比下，求解精度如图 所示；在 噪声比下，求解精度如图 所示。结果表明：分别增加 高斯白噪声，改进型 的求解精度均是最佳，相对于最小二乘迭代，求解的精度最高提升了；相对于牛顿法，求解的精度最高提升了。图 下的求解精度.机床与液压第 卷图 下的求解精度.对于算法稳定性的验证，采用 和改进型 在不同噪声等级下分别求解 次，取平均值，具体如图 所示。取方差，结果如表 所示。图 下的平均求解精度.表 高斯白噪声下的求解精度方差.噪声比 求解精度方差 改进型 结果表明：改进型 的求解精度更稳定且求解精度更高。针对算法的收敛速度，采用 和改进型 在不同噪声等级下分别求解，取收敛时的迭代次数，如表 所示。表 高斯白噪声下收敛时的迭代次数.噪声比 迭代次数改进型 结果表明：分别增加 高斯白噪声，改进型 较 收敛更快。.增加均匀噪声为使仿真更真实，增加不同类型的噪声。使用 中的函数，增加均匀噪声，分别对真值数据增加（，）、（，）、（，）、（，）的噪声。使用改进型、最小二乘迭代和牛顿法分别求解，求解精度如图 所示。结果表明：在不同等级均匀噪声下，改进型 的求解精度均最佳，相对于最小二乘迭代，求解的精度最高提升了；相对于牛顿法，求解的精度最高提升了。图 均匀噪声下的求解精度.对于算法稳定性的验证，使用 和改进型，在不同噪声等级下分别求解 次，取平均值，具体如图 所示。取方差，结果如表 所示。结果表明：改进型 的求解精度更稳定且求解精度更高。第 期陈雎帅 等：机器人工具坐标系标定中的非线性问题求解方法研究 图 均匀噪声下的平均求解精度.表 均匀噪声下的求解精度方差.均匀噪声求解精度方差 改进型（，）（，）（，）（，）针对算法的收敛速度，采用 和改进型 在不同噪声等级下分别求解，取收敛时的迭代次数，如表 所示。结果表明：分别在 种不同等级的均匀噪声的情况下，改进型 较 收敛更快。表 均匀噪声下收敛时的迭代次数.均匀噪声迭代次数改进型（，）（，）（，）（，）具体实验实验中采用 协作式机器人，实物如图 所示。在机器人末端安装一夹爪，控制夹爪夹住一盒子（保持位置不变），盒子上粘贴一个增强现实标签，以增强现实标签的中心来表示工具坐标系的原点。通过此固定关系，实现了工具坐标系原点固连在机器人法兰末端坐标系。实验中用到的相机为 。图 实物.数据采集在实验中将相机摆放在它可识别到增强现实标签的位置，设定关节角动作，控制机器人移动不同的位姿。调用功能包，相机识别到增强现实标签再通过其内部的坐标变换即可得到增强现实标签在相机坐标系下的坐标；将各个关节角信息导入 中，调用 中的 函数即可获取法兰末端坐标系相对于机器人基坐标系下的位姿，进而求得两者之间的齐次变换矩阵。.实验结果将采集到的数据按照距离约束原则建立非线性约束方程，针对问题求解并计算相应的求解精度。用于标定的测量点的坐标如表 所示。使用改进型、最小二乘迭代和牛顿法分别求解，如表 所示。结果表明：改进型 的求解精度仍为最佳。表 测量点相机测量坐标.编号 表 求解精度对比.所用方法坐标 求解精度 改进 最小二乘迭代 牛顿法 对于算法稳定性的验证，使用 和改进型 分别求解 次，分别取平均值及方差，结果如表 所示。结果表明：改进型 的算法稳定性更好并且求解精度更高。表 算法稳定性对比.所用方法平均求解精度 求解精度方差 改进型 针对算法的收敛速度，采用 和改进型机床与液压第 卷 分别求解，取收敛时的迭代次数，如表 所示。结果表明：改进型 较 收敛更快。表 算法收敛时的迭代次数.所用方法收敛时的迭代次数改进型 结论在机器人工具坐标系的标定中，利用距离约束原则建立非线性约束方程，针对此类非线性问题求解。仿真实验的结果表明：改进型 的求解精度较最小二乘迭代、牛顿法分别最大提高了 和；实验结果表明：改进型 的求解精度分别最大提高了 和。改进型 的求解精度方差较 更小，收敛时的迭代次数较 更少，表明改进型 稳定性更好且收敛更快。参考文献：李芳芳，孙乾我国工业机器人发展现状的调查分析机械传动，（）：，（）：武燕，陈静雯中国工业机器人产业发展对策研究对外经贸，（）：，（）：齐立哲，陈磊，王伟，等基于激光跟踪仪的机器人误差测量系统标定制造技术与机床，（）：，（）：李广云，罗豪龙，王力机器人工具坐标系的快速标定方法光学精密工程，（）：，（）：向民志，范百兴，李祥云，等激光跟踪仪与机器人坐标系转换方法研究航空制造技术，（）：，（）：齐珂，曲国庆，薛树强，等测距定位方程的多解性及其非线性最小二乘迭代算法测绘通报，（）：，（）：唐洪威，谢文平，崔毅，等基于 算法的航空发动机模型求解混合算法航空动力学报，（）：，（）：，（）：，（）：宋媛基于有偏随机密钥的配电网重构遗传算法电子质量，（）：，（）：黄必佳，韦灼彬基于偏随机秘钥遗传算法的舰船驻泊方案决策火力与指挥控制，（）：，（）：，（）：，（）：李祥云，王同合，范百兴，等基于激光跟踪仪的机器人工具坐标系标定测绘科学与工程，（）：，（）：第 期陈雎帅 等：机器人工具坐标系标定中的非线性问题求解方法研究