数系扩充和复数概念说课.ppt

数系数系扩充和复数概念充和复数概念说课说课流程说课流程 五五教学过程教学过程 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 数系的扩充与复数的引入是高中生必备的基础数系的扩充与复数的引入是高中生必备的基础知识知识 在本节中，学生将在问题情境中了解数系扩充在本节中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 在此前，学生已经对数的扩充史有了在此前，学生已经对数的扩充史有了一定的了解。一定的了解。接受和理解虚数，对学生来接受和理解虚数，对学生来说又是一大挑战和跨越，这是我们这节课说又是一大挑战和跨越，这是我们这节课可利用的有利因素和挑战性。可利用的有利因素和挑战性。知识与技能目标：1了解数的扩充史，渗透数学文化了解数的扩充史，渗透数学文化 ；2掌握复数的概念和复数相等的充要条件。掌握复数的概念和复数相等的充要条件。情感目标：通过了解通过了解 数的扩充过程，使学生体会到一种鲜活的数数的扩充过程，使学生体会到一种鲜活的数学思维过程，激发学生对数学的兴趣，培养他们的探索精神。学思维过程，激发学生对数学的兴趣，培养他们的探索精神。教学重点：了解数的扩充史，掌握复数的概念和复数相等的充要条件了解数的扩充史，掌握复数的概念和复数相等的充要条件教学难点：对虚数产生的必要性的理解对虚数产生的必要性的理解数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 本节运用大量的数学史材料激发学生本节运用大量的数学史材料激发学生的求知欲，使学生主动到参与教学活动中来，的求知欲，使学生主动到参与教学活动中来，在教师的指导下发现、分析解决问题、总结在教师的指导下发现、分析解决问题、总结方法、总结规律，培养学生积极探索的科学方法、总结规律，培养学生积极探索的科学精神。精神。数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念（一）（一）情景引入情景引入 设计意图设计意图 卡尔丹(Cardano,1501-1576)解：设其中一个数是解：设其中一个数是 x,则另一个数为则另一个数为1010-x.化简得化简得:x2-10 x+40=0五百年前意大利的卡尔丹遇到这样一个问题将将10分成两个部分，使它们的乘积等于分成两个部分，使它们的乘积等于40.该方程无实数解则则 x(10-x)=40即 (x-5)2=-15则他遇到了什么问题呢？他想：负数为什么不能开方？则他是怎么解决的呢？利用司空见惯的问题进行悬疑引入，激发学生的好奇心。然后师生一道回顾数的发展史来寻求灵感和答案数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念设计意图设计意图数学文化之旅数学文化之旅数学文化之旅数学文化之旅数的历史数的历史数的历史数的历史 远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，用手指或石子数个数，历经漫长的岁月，野果，用手指或石子数个数，历经漫长的岁月，创造了自然数创造了自然数1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、自然数是现实自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地世界最基本的数量，是全部数学的发源地 古代印度人最早使用了古代印度人最早使用了“0 0”公元公元5 5世纪时，世纪时，“0 0”已经传入罗马。已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用使用“0 0”。有。有一位罗马学者在笔记中记载了关一位罗马学者在笔记中记载了关于使用于使用“0 0”的一些好处和说明，就被教皇召去，的一些好处和说明，就被教皇召去，砍去了双手砍去了双手 自然数的产生自然数的产生 对真理的追求是对真理的追求是永永无止境的无止境的，我们可，我们可能会为自己的梦放弃能会为自己的梦放弃一切。一切。苏格拉底苏格拉底 培养学生追求真培养学生追求真理的坚定信念和无理的坚定信念和无畏精神畏精神数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念（二）（二）悬疑探究悬疑探究设计意图设计意图 为了表示各种具有相反意义的量以及满足为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需要，人类引进了负数记数法的需要，人类引进了负数负数概念最负数概念最早产生于我国早产生于我国，东汉初期的，东汉初期的“九章算术九章算术”中就中就有负数的说法公元有负数的说法公元3 3世纪，刘徽在注解世纪，刘徽在注解“九九章算术章算术”时，明确定义了正负数：时，明确定义了正负数：“两算得失两算得失相反，要令正负以名之相反，要令正负以名之”不仅如此，刘徽还不仅如此，刘徽还给出了正负数的加减法运算法则千年之后，给出了正负数的加减法运算法则千年之后，负数概念才经由阿拉伯传人欧洲。负数概念才经由阿拉伯传人欧洲。负数的引入，负数的引入，负数的引入，负数的引入，解决了在自然数集中不够减的矛盾解决了在自然数集中不够减的矛盾解决了在自然数集中不够减的矛盾解决了在自然数集中不够减的矛盾负负 数数 的的 出出 现现 了解我国在数学上的成就，可激发学生民族自豪感。数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念数学文化之旅数学文化之旅数学文化之旅数学文化之旅数的历史数的历史数的历史数的历史（二）（二）悬疑探究悬疑探究设计意图设计意图 随着生产、生活的需要，人们发现，随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，配猎获物时，5 5个人分个人分4 4件东西，每个人人件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。该得多少呢？于是分数就产生了。中国对中国对分数的研究比欧洲早分数的研究比欧洲早14001400多年！多年！自然数、自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数正整数 分分 数数 的的 出出 现现 了解我国在数学上的成就，可激发学生民族自豪感。数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念数学文化之旅数学文化之旅数学文化之旅数学文化之旅数的历史数的历史数的历史数的历史（二）（二）悬疑探究悬疑探究分数的引入分数的引入分数的引入分数的引入 解决了在整数集中不能整除的矛盾解决了在整数集中不能整除的矛盾解决了在整数集中不能整除的矛盾解决了在整数集中不能整除的矛盾关于无理数的发现关于无理数的发现 25002500年古希腊的年古希腊的毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派认为认为,世间世间任何数都可以用整数或分数表示任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他并将此作为他们的一条信条们的一条信条.有一天有一天,这个学派中的一个成员这个学派中的一个成员希希伯斯伯斯突然发现边长为突然发现边长为1 1的正方形的对角线是个奇的正方形的对角线是个奇怪的数怪的数,于是努力研究于是努力研究,终于证明出它不能用整数终于证明出它不能用整数或分数表示或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传于是毕达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将但希伯斯却将这一秘密透露了出去这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒毕达哥拉斯大怒,将他将他扔扔入了大海入了大海.希伯斯希伯斯发现的这类数发现的这类数,被称为无理数被称为无理数.毕达哥拉斯毕达哥拉斯 约公元前约公元前560560480480年年数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念数学文化之旅数学文化之旅数学文化之旅数学文化之旅数的历史数的历史数的历史数的历史（二）（二）悬疑探究悬疑探究无理数的引入无理数的引入无理数的引入无理数的引入 解决了开方开不尽的矛盾解决了开方开不尽的矛盾解决了开方开不尽的矛盾解决了开方开不尽的矛盾设计意图设计意图负负负负数的引入，解决了在自然数集中不数的引入，解决了在自然数集中不数的引入，解决了在自然数集中不数的引入，解决了在自然数集中不够减够减够减够减的矛盾。的矛盾。的矛盾。的矛盾。分分分分数的引入，解决了在整数集中不能数的引入，解决了在整数集中不能数的引入，解决了在整数集中不能数的引入，解决了在整数集中不能整除整除整除整除的矛盾。的矛盾。的矛盾。的矛盾。无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。则我们引入什么样的数，则我们引入什么样的数，则我们引入什么样的数，则我们引入什么样的数，才能解决负数不能开平方的矛盾呢？才能解决负数不能开平方的矛盾呢？才能解决负数不能开平方的矛盾呢？才能解决负数不能开平方的矛盾呢？重新引导学生回到引题，转入难点突破环节 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念数学文化之旅数学文化之旅数学文化之旅数学文化之旅数的历史数的历史数的历史数的历史（二）（二）悬疑探究悬疑探究 对前面的探究过程进行整理（三）（三）建构新知建构新知设计意图设计意图 1545年，卡尔丹在大衍术中写道：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了”能作为能作为“数数”吗？吗？历史回顾历史回顾数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚虚数数”1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i”规定规定:i2=-1 称称i为虚数单位为虚数单位 从15451777232年，人们终于认可了虚数，但让学生在几分钟之内认可，他们一定有好多想法。在适当的时刻给予学生讨论的机会，这是化解难点的关键步骤讨论讨论你对虚数是怎么看呢？你对虚数是怎么看呢？设计意图设计意图 (3)(3)全体复数所形成的集合叫做全体复数所形成的集合叫做复数集复数集复数集复数集，一般用字母一般用字母 C C 表示表示.(1)(1)形如形如a+bi的数叫复数的数叫复数,用字母用字母 z z 表示表示.2 2 2 2复复 数数 的的 概概 念念实部实部虚部虚部其中其中 称称 为为虚数单位虚数单位.(2)(2)数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 难点突破了，接下来就是本节课的而重点内容，本环节分四个部分（三）（三）建构新知建构新知1 1 1 1新数新数新数新数 i i 叫做虚数单位叫做虚数单位叫做虚数单位叫做虚数单位,并规定并规定并规定并规定：（1 1）i i 2 2 2 2 1 1 1 1；（2 2）实数可以与实数可以与实数可以与实数可以与 i i 进行四则运算进行四则运算进行四则运算进行四则运算,在进行四则运在进行四则运在进行四则运在进行四则运算时算时算时算时,原有的加法与乘法的运算律仍然成立原有的加法与乘法的运算律仍然成立原有的加法与乘法的运算律仍然成立原有的加法与乘法的运算律仍然成立(1)复复数数的的概概念念i5i+41 1、对于复数对于复数z=a+bi（a R，b R）0特别的，当特别的，当特别的，当特别的，当a=a=0 0 且且且且b=b=0 0 时，时，时，时，z=0z=0当当当当b=b=0 0 时，时，时，时，z z 为为为为 实实实实 数数数数当当当当b b 0 0 时，时，时，时，z z为为为为虚数虚数虚数虚数当当当当a=a=0 0 且且且且b b 00时，时，时，时，z z为为为为纯虚数纯虚数纯虚数纯虚数非纯虚数的虚数：非纯虚数的虚数：a 0,b 0设计意图设计意图数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念（三）（三）建构新知建构新知(2)复复数数的的分分类类 解决复数的分类问题复数相等的定义复数相等的定义 复数复数a+bi和和 c+di 相等规定相等规定为为:a+bi =c+di 1、复数问题实数化的基本方法2、解决复数的相等问题 设计意图设计意图数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 *复数问题可转化为实数范围内的代数问题复数问题可转化为实数范围内的代数问题 （三）（三）建构新知建构新知（3）复复数数相相等等的的定定义义设计意图设计意图复复 数数 集集实实 数数 集集有理数集有理数集自然数集自然数集整整 数数 集集虚数虚数复数复数整数整数负整数负整数自然数自然数分数分数有理数有理数无理数无理数实数实数数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念（三）（三）建构新知建构新知（4）复复数数的的定定位位 本环节是本节课的重点部分，但不是难点，给学生八分钟时间自学整理，教师进行补充。目的：培养学生独立思考的良好习惯和品质。课堂不是教师一个人表演的舞台，要体现学生的主体地位 设计意图设计意图1 1说明下列复数的实部和虚部说明下列复数的实部和虚部,并指出哪并指出哪些是实数些是实数,哪些是虚数哪些是虚数,哪些是纯虚数哪些是纯虚数.数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 这里我们设置了一般习题和挑战习题，以满足不同学生多层次的学习需求，使他们得到最全面的发展练习巩固练习巩固练习巩固练习巩固（四）（四）2 2 已知已知已知已知 其中其中其中其中求求求求x x与与与与y y1-13 计算计算B4（湖南卷）（湖南卷）Z=i+i 2+i 3+i 4 的值是（的值是（）A.-1 B.0 C.1 D.i 数的概念发展到虚和复数以后，在很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员已经都到齐了。可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了“四元数四元数”的概念。四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。与此同时，人们还开展了对“多元数”理论的研究。多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩向量、张量、矩阵、群、环、域阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数狭义数，把向量、张量、矩阿等概念称为广义数广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。（五）课堂拓展（五）课堂拓展数的发展展望数的发展展望设计意图设计意图从自然数到复数，高中阶段我们对数的 认识已经结束，但数的发展已经到了尽头了吗？本环节的设置，就是要让学生明白:科学探索的道路是无止境的 我们的教育更需要要给学生启发出巨大的想象空间，吸引他们不断地向前探索。数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念（1）扩充原因：满足实际问题解决的需要；满足数学 自身完善和发展的需要（2）扩充特征：引入新的数；原数集中的运算规则在 新数集中得到保留和扩展（3）提出新的问题：如何对实数集进行扩充，使方程 在新的数集中的解？（4）引入虚数单位（5）学习复数的概念（6）规定复数相等的意义（7）研究复数的分类（8）两个复数只能说相等 如果两个复数都是实数，则可以比较大小；否则，不能比较大小课课课课 堂堂堂堂 小小小小 结结结结（六）（六）设计意图设计意图数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念小结方式学生整理教师补充既是对整节课堂教学的回顾，又能对教学效果起到及时反馈的目的作作作作 业业业业一、课后练习4、5、6二 撰写小论文（题目自拟）完成一个学习总结报告。对数发展的历史轨迹、自己感兴趣的历史事件与人物，写出自己的研究报告 如如果世界没了数 数 的 历 史 数 的 未 来 可参考书籍资料、网络资源等（七）（七）设设 计计 意意 图图 这里我们特意安排了一个撰写小论文的环节。目的：加深理解，也许他们会写的不好，但只要他们思考，我们的目的就达到了。只要我们坚持让学生多写，谁能说其中就没有思想的金子呢？这就是教育的本质：以智慧启迪智慧，而不仅仅是以知识武装头脑。数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念板书设计与时间安排板书设计与时间安排1 1、板书设计、板书设计2 2、时间安排、时间安排 课题引入约课题引入约3 3分钟，数的扩充史约分钟，数的扩充史约7 7分钟，复数概分钟，复数概念形成及复数相等约念形成及复数相等约1010分钟，实践应用约分钟，实践应用约1515分钟，小分钟，小结约结约5 5分钟，作业约分钟，作业约5 5分钟分钟.数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 教学目标 复 数 的 概 念 小结：(X-5)2=-15 i i 2 2 1 1 作业：数的历史数的历史 复数相等的定义投影屏幕 卡尔丹(Cardano,1501-1576)八大处整形案例 http:/ 汎戾駊 谢谢观看