基于接触刚度分布特性的叶片振动响应分析_钱佳绮.pdf

文章编号：1000-8055（2023）04-0955-09doi：10.13224/ki.jasp.20210598基于接触刚度分布特性的叶片振动响应分析钱佳绮1，2，董少静1，2，高鹏新3，申秀丽1，2（1.北京航空航天大学能源与动力工程学院，北京100191；2.北京航空航天大学航空发动机结构强度北京市重点实验室，北京100191；3.中国航空工业集团有限公司沈阳飞机设计研究所，沈阳110035）摘要：根据接触刚度在锯齿形叶冠结合面上非均匀分布的特性，提出一种基于定义和有限元计算相结合的接触刚度计算方法。在此基础上，将微-宏滑动摩擦模型作为叶冠结合面处的摩擦模型，推导微滑动和宏滑动状态下摩擦力表达式。利用谐波平衡法将非线性摩擦力转化为等效刚度和等效阻尼进行振动特性分析。针对叶冠结合面相对位移幅值动态变化的特点，提出了一种迭代求解的振动响应分析方法。与文献提供的带摩擦阻尼结构悬臂梁振动响应实验数据相比，共振峰附近的振幅误差为 1.99mm，相对误差为 3.9%。振幅的最大误差为 5.53mm，出现在远离共振峰的位置，验证了响应分析方法的可行性。将该方法应用于带冠叶片上，结果表明当激振力频率为 812.3Hz 时，振幅为 0.56mm。关键词：振动特性；接触刚度；摩擦模型；谐波平衡法；相对位移幅值中图分类号：V232.4文献标志码：AAnalysisofbladevibrationresponsebasedoncontactstiffnessdistributioncharacteristicsQIANJiaqi1，2，DONGShaojing1，2，GAOPengxin3，SHENXiuli1，2（1.SchoolofEnergyandPowerEngineering，BeihangUniversity，Beijing100191，China；2.BeijingKeyLaboratoryofAero-EngineStructureandStrength，BeihangUniversity，Beijing100191，China；3.ShenyangAircraftDesignandResearchInstitute，AviationIndustryCorporationofChina，Limited，Shenyang110035，China）Abstract:According to the non-uniform distribution characteristics of contact stiffness betweeninterfacesofthezigzagshroud，amethodforcalculatingcontactstiffnesswasproposedbasedonthecombination of definition and finite element calculation.On this basis，the micro-macro-slide frictionmodelwasappliedtoshroudcontactinterfaces，andthefrictionalforceexpressionswerederivedinmicro-slidestateandthemacro-slidestate.Theharmonicbalancemethodwasusedtoconvertthenonlinearfrictionforceintotheequivalentstiffnessandequivalentdamping.Consideringthedynamicchangeoftherelativedisplacementamplitudebetweeninterfaces，aniterativesolutionmethodforanalyzingvibrationresponsewasproposed.Comparedwithexperimentaldataofvibrationresponseofcantileverbeamwithfrictional damping structure provided in literature，the amplitude error near the resonance peak was1.99mm，andtherelativeerrorratewas3.9%.Themaximumerroroftheamplitudewas5.53mm，whichappearedfarawayfromtheresonancepeak.Itwasbelievedthattheaccuracyoftheresponseanalysis收稿日期：2021-10-18作者简介：钱佳绮（1998），女，硕士，主要从事航空发动机结构强度研究。通信作者：董少静（1986），女，副研究员，博士，主要从事航空发动机热端部件结构、材料及工艺方面的研究。E-mail：引用格式：钱佳绮,董少静,高鹏新,等.基于接触刚度分布特性的叶片振动响应分析J.航空动力学报,2023,38（4）：955-963.QIANJiaqi,DONGShaojing,GAOPengxin,etal.AnalysisofbladevibrationresponsebasedoncontactstiffnessdistributioncharacteristicsJ.Journ-alofAerospacePower,2023,38（4）：955-963.第38卷第4期航空动力学报Vol.38No.42023年4月JournalofAerospacePowerApr.2023methodwasrelativelyhigh.Thismethodwasappliedtotheshroudedblade，andtheresultsshowedthattheamplitudewas0.56mmwhentheexcitationforcefrequencywas812.3Hz.Keywords:vibrationcharacteristics；contactstiffness；frictionmodel；harmonicbalancemethod；relativedisplacementamplitude涡轮转子叶片所处环境十分恶劣，需承受离心、气动等载荷的共同作用，极易出现振动疲劳，发生疲劳断裂失效1。据统计，振动导致叶片失效占叶片故障的 60%80%2。为了减小叶片振动、降低发动机故障率，航空发动机在低压涡轮叶片处采用阻尼效果好、工作间隙易控制的锯齿形叶冠3。带冠叶片的工作原理为当叶片受到激振力的作用，相邻叶冠工作面间将发生相对滑动，由此产生的摩擦力会消耗振动能量从而达到减振的目的4。因此摩擦力将显著地影响带冠叶片的振动响应特性。实验表明摩擦力与多种因素有关5，所以摩擦模型通常包含接触刚度、摩擦因数等多个参数。其中，接触刚度反映了正压力、摩擦力和位移在结合面上的综合作用，是目前国内外在该领域的研究重点之一。Burdekin 等6以 Hertz 理论7为基础，通过实验验证了考虑弹性体间局部法向弹性变形特点的法向接触刚度，并利用 Mindlin 理论8建立切向接触刚度表达式。该方法充分考虑了接触点的曲率半径、接触状况等因素对接触刚度的影响，不足之处在于只能用于圆形接触区域，与实际接触区域的形状不符。为了改善这一问题，Deresiewicz9推导出两个非球形弹性体间椭圆形接触区域的接触刚度。随着分形理论的发展，Liu 等10利用分形函数来模拟结合面的粗糙程度，将结合面离散为一系列接触单元，由 Hertz 接触理论，推导出单个接触单元的法向和切向接触刚度。虽然该接触模型更接近真实的接触状态，但由于分形维数难以确定，且计算方法较为复杂，尚未在工程应用中广泛推广。在实际工程问题中，常采用有限元计算和接触刚度定义相结合的方式确定接触刚度。Zhao等11和陈璐璐等12分别在研究带冠叶片和带凸肩叶片的振动问题中，利用该方法确定接触刚度，结果表明该方法简单高效，能适应不同的接触模型。文献采用了对结合面的法向力和切向力进行等效或平均的方法来求解接触刚度定义中的载荷，实际上由于叶冠结合面上的受力不均，各处的接触刚度存在较大的差异，若考虑接触刚度沿结合面的分布特性，可提高振动特性分析精度。由于在振动响应分析中引入的摩擦模型包含动态变化的相对位移幅值，它既是振动响应的影响因素，即影响叶冠结合面的摩擦力大小从而导致消耗的振动能量不同，也反映了振动响应的结果，故常规的响应分析方法无法进行数值计算。为解决上述问题，本文提出了一种基于接触刚度非均匀分布的带冠叶片振动响应分析方法。将叶冠结合面离散成一系列接触单元，根据有限元分析得到的结合面各节点的力与变形的比值求解沿结合面分布的接触刚度，利用摩擦模型表征结合面各接触单元处的非线性摩擦力，通过谐波平衡法计算摩擦力的等效刚度和等效阻尼。在此基础上，提出了一种对相对位移幅值进行迭代求解的振动响应分析方法。利用文献 13 中的实验结果，验证了本文方法的有效性，并将该振动响应分析方法应用于某型发动机带冠叶片上。1基于接触刚度分布的摩擦模型1.1接触刚度计算载荷作用下两个物体发生接触时在结合面会产生变形，为了衡量接触变形的大小，引入了接触刚度的概念。接触刚度是指产生单位变形所需要的载荷，其表达式为k=limu0Fu=dFdu（1）kFu其中 为接触刚度，为界面载荷，为界面变形14。根据接触刚度的定义，结合面的切向接触刚度为kt=Ftut（2）ktFtut其中 为结合面的切向接触刚度，为结合面的切向力，为结合面的切向变形。同理，结合面的法向接触刚度为kn=Fnun（3）knFn其中为结合面的法向接触刚度，为结合面的956航空动力学报第38卷un法向力（正压力），为结合面的法向变形。上述接触刚度是基于结合面的载荷及变形得到的，故叶冠结合面的静力学分析结果对准确计算接触刚度至关重要。相关文献表明，采用常规有限元方法计算时，接触边界处会出现随着网格尺寸减小接触应力不断增大的现象，无法通过网格无关性验证得到准确的接触应力计算结果15。为解决这一问题，本文首先采用文献 15 中的位移提取法确定叶盘模型的最佳网格尺寸。其基本思路为将网格逐渐细化至模型位移收敛，提取结合面上的位移作为新的位移边界条件，代入模型计算至应力收敛16。首先，选取一组结合面网格尺寸（0.5、0.25、0.125mm）初探位移收敛条件。叶冠结合面最大接触应力及最大位移如表 1 所示。表1叶冠静力学分析结果Table1Staticsanalysisresultsofbladeshroud项目结合面网格尺寸/mm0.50.250.125结合面最大应力/MPa264.74394.29502.70结合面最大位移/mm0.343190.343170.34323位移的相对误差/%0.00580.0175上述结果表明，结合面的位移在 0.25mm 的网格尺寸下已经收敛。提取该位移后，由位移提取法计算得到的结合面接触应力为 453.33MPa。根据此结果，叶冠结合面处的最佳网格尺寸为0.202mm。将此网格尺寸应用于接触应力分析中，计算结果如图 1 所示，叶冠结合面的最大接触应力出现在叶冠结合面的外侧，最大接触应力为453.48 MPa，与 位 移 提 取 法 的 相 对 误 差 仅 为0.033%。为提取叶冠结合面上的载荷及变形，建立如图 2 所示的局部坐标系 OXYZ。坐标系原点为结合面边界的一点 O，X 轴为结合面边界线 OA的方向，Y 轴在结合面内与 X 轴垂直，Z 轴垂直于结合面并指向结合面内。将叶冠结合面上的载荷及变形代入式（2）和式（3），得到沿结合面分布的接触刚度。舍弃部分节点使结合面形状转换为矩形，得到如图 3 所示的接触刚度分布。(a)OX 切向接触刚度(b)OY 切向接触刚度(c)OZ 法向接触刚度接触刚度/(N/m)接触刚度/(N/m)接触刚度/(N/m)25002188187515631250937.5625.0312.50101008838757563135050378825251263084400738506330052750422003165021100105500图3叶冠结合面间的接触刚度Fig.3Contactstiffnessbetweeninterfacesofshroud相较于总刚度，这种沿结合面分布的接触刚度能够更准确地描述结合面上各处的接触状态。1.2摩擦模型常见的摩擦模型主要分为宏滑动模型和微滑动模型。宏滑动模型假设结合面内所有接触点的正压力都相等，视作单点接触；微滑动模型描述的结合面为多点接触，视作多个宏观模型的串联或并联。相较于宏滑动模型，微滑动模型能够更准确地描述结合面从整体黏滞到部分滑动、再到整体滑动的行为，故其在实际工程问题中有着更453.48(最大值)403.09352.71302.32251.93201.55151.16100.7750.3860(最小值)接触应力/MPa图1叶冠结合面的接触应力Fig.1StressatcontactsurfaceofbladeshroudAAOOZYX图2叶冠局部坐标系Fig.2Localcoordinatesystemofbladeshroud第4期钱佳绮等：基于接触刚度分布特性的叶片振动响应分析957广泛的应用。本文选取的是一种典型的微-宏滑动摩擦模型11。首先引入刚度比例因子，表达式为=kd/kgross（4）kdkgrossfnx其中为单调加载时结合面的初始切向接触刚度，为振动位移从零到最大值变化过程的接触刚度平均值。单调加载情况下结合面摩擦力与相对切向位移 的关系为x=A0|1(1fnN)1|（5）NA0=N/kt其中 为结合面间的摩擦因数，为结合面正压力，。假设系统受到简谐激振力的作用，接触点的相对位移可表示为x=Acos（t+）=Acos（6）A其中 为接触点的相对位移幅值，为角频率，为初始相位，t 为时间，为不同时刻的总相位。AA0根据 Massing 理论17，迟滞回线的加载段和卸载段与单调加载时相同。故微滑动状态下（）结合面摩擦力的表达式为fn=|N|1+(1AA0)|+2N(1Ax2A0)0 A0N宏滑动状态下（），在摩擦力循环变化的过程中存在摩擦力大小保持在的恒定区域。其他区域的迟滞回线形状与微滑动状态相同，故宏滑动状态下的数学表达式为fn=|N+2N(1Ax2A0)0 N N2N(1A+x2A0)+N+2（8）=arccos（12A0/A）其中为恒定切向力与变化切向力的相位分界点。oaabcdabcd综上，利用接触刚度和静力学分析结果，建立了包含微滑动和宏滑动两种状态的微-宏滑动摩擦模型，对应的迟滞回线如图 4 所示，图中段为初始加载段，段为微滑动的迟滞回线，段为宏滑动的迟滞回线。fndcbcxbodx0 x0aa图4微-宏滑动摩擦模型迟滞回线Fig.4Hysteresiscurveofmicro-macro-slidemodel2基于接触刚度分布的响应分析2.1谐波平衡法等效摩擦力ANSYS 软件无法识别振动特性分析中的非线性项，即微-宏滑动摩擦模型中的非线性摩擦力，常见的解决办法是采用谐波平衡法对结合面上的非线性力进行等效处理18，其本质是将非线性微分方程转化为非线性代数方程。叶片振动可简化为如图 5 所示的单自由度系统19。其振动方程为m x（t）+c x（t）+kx（t）=fe（t）fn（9）xmkcfefn其中 为振动位移，为质量，为系统刚度，为系统阻尼，为外激励，为系统结合面的切向力（摩擦力）。傅里叶变换可以将微-宏滑动摩擦模型定义的摩擦力展开成多次谐波的表达式。由于振动主要以 1 阶谐波为主，故忽略高阶谐波的影响，将非线性摩擦力展开为 1 阶谐波，其表达式为fn=a0+a1cos+b1sin（10）fna0a1b1其中为近似摩擦力，、是表达式中的 3 个xmckfefn图5叶片简化模型Fig.5Simplifiedbliskmodel958航空动力学报第38卷系数，具体计算公式分别为a0=1220fn（A,）d=0（11）a1=120fn（A,）cos d（12）b1=120fn（A,）sin d（13）x xcos x/Asin x/（A）fn将式中的谐波项反表示为位移 和速度 的函数，即把反表示为，把反表示为，将代入式（9），得到 1 次谐波平衡法下的叶片振动方程为m x（t）+(cb1A)x（t）+(k+a1A)x（t）=fe（t）（14）keq则等效刚度为keq=a1A=1A20fn（A,）cos d（15）ceq等效阻尼为ceq=b1A=1A20fn（A,）sin d（16）将式（7）代入式（15）和式（16）得到微滑动状态下的等效刚度和等效阻尼为keq=4NA01A2A0（1cos）cos d（17）ceq=4NA|1+(1AA0)+2A0（+1）A|(1AA0)+11|（18）同理，宏滑动状态下，摩擦力对应的等效刚度和等效阻尼为keq=4NA01A2A0（1cos）cos d（19）ceq=4NA2A0（+1）A1（20）fnfn将微-宏滑动模型的摩擦力和谐波平衡法得到的近似摩擦力的迟滞回线绘制于图 6 对比发现，微滑动状态时，两者的迟滞回线非常接近；宏滑动状态时，两者稍有差异，这是因为谐波平衡法展成的谐波形式是连续且可导的，而宏滑动状态下的微-宏滑动模型中，摩擦力是连续不可导且有常值段的，故谐波平衡法对摩擦力的大小表征稍有不足。实际上，在一个运动周期中，两者的迟滞回线围成的面积近乎一致，这表明用谐波平衡法表征的摩擦力在单个周期中所做的功与微-宏滑动摩擦模型是一致的，即其对振动响应的影响是一致的，证明了谐波平衡法近似求解的准确性。4002000200400fn/Nx/mmx/mm微-宏滑动摩擦模型(微滑动状态)谐波平衡法0.80.400.40.8(a)微滑动状态4002000200400fn/N微-宏滑动摩擦模型(宏滑动状态)谐波平衡法1.60.800.81.6(b)宏滑动状态图6谐波平衡法与微-宏滑动模型摩擦力比较Fig.6Comparisonoffrictionbetweenharmonicbalancemethodandmicro-macro-slidemodel2.2基于等效刚度的模态分析振动特性主要包括模态分析和振动响应两部分，模态分析用于确定结构的固有振动特性，即结构的固有频率和振型，是进行响应分析所必备的前期分析过程。由于 ANSYS 软件的模态分析中无法识别非线性接触单元，所以本文通过在叶冠间施加 MATRIX27 单元来模拟结合面的接触特征。C1C58C7xMATRIX27 单元的几何形状无定义，可以用质量、刚度或阻尼矩阵来指定其弹性运动响应。该单元由两个节点和施加在节点中间的系统矩阵定义，如图 7 所示，该矩阵是 1212 的对称矩阵。其中、模拟 方向的质量、刚度和阻尼，第4期钱佳绮等：基于接触刚度分布特性的叶片振动响应分析959C13C64C19yC24C69C30、模拟 方向的质量、刚度和阻尼，、模拟 z 方向的质量、刚度和阻尼。OABCO1A1B1C1图 8 为叶冠结合面间施加 MATRIX27 单元的示意图，和分别为叶冠的两个结合面。图中简化了叶冠结合面实际的单元数，只给出了部分节点间的 MATRIX27 单元。经模态分析，带冠叶片的 1 阶固有频率为806.6Hz，模态振型如图 9 所示。2.3振动响应分析方法A微-宏滑动摩擦模型中的绝大部分参数都可以在响应分析前确定，但是相对位移幅值 比较特殊，它既是振动响应的影响因素，也反映了振动响应的结果。因此，计算振动响应时，需要对相对位移幅值进行迭代求解。本文提出了一种针对该摩擦模型的振动响应分析方法，基本原理为把振动响应分析求解的等效刚度和等效阻尼作为初始条件代入有限元模型中计算，重复此过程，直到相对位移幅值达到给定的收敛精度，即振动响应到达稳定状态。图 10给出了具体的振动响应分析的流程，步骤如下：1）给定初始的叶冠结合面间切向相对位移幅值和收敛精度。2）对数据进行预处理，计算等效刚度和等效阻尼，生成谐响应分析的 APDL（ANSYSparamet-ricdesignlanguage）命令文件。3）对模型进行谐响应分析，更新叶冠结合面间相对位移切向幅值。4）判断相对位移幅值是否收敛，若收敛，则将其作为相对位移幅值的计算结果；若不收敛，则重复进行 2）到 4）步。开始给定相对位移幅值和收敛精度判断相对位移幅值是否收敛更新相对位移数据否输出相对位移幅值结束谐响应分析是数据预处理，生成APDL命令文件图10振动响应分析流程Fig.10Vibrationresponseanalysisprocess2.4振动响应分析方法验证本文采用文献 13 中带有摩擦阻尼结构的悬臂梁模型来验证该振动响应分析方法的精确性。文献中的实验装置和本文所用的有限元模型分别C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12C13C14C15C16C17C18C19C20C21C22C23C24C25C26C27C28C29C30C31C32C33C34C35C36C37C38C39C40C41C42C43C44C45C46C47C48C49C50C51C52C53C54C55C56C57C58C59C60C61C62C63C64C65C66C67C68C69C70C71C72C73C74C75C76C77C78对称图7MATRIX27 单元对称矩阵系数Fig.7SymmetricmatrixcoefficientsofMATRIX27elementMATRIX27单元CC1B1A1AYZOO1XB图8施加 MATRIX27 单元示意图Fig.8SchematicdiagramofapplyingMATRIX27element模态变形量/mm00.1453420.4360260.726711.017391.308080.2906840.5813680.8720521.16274图9带冠叶片振型Fig.9Vibrationmodesofshroudedblade960航空动力学报第38卷如图 11（a）和图 11（b）所示，悬臂梁总长为 1.33m，在距夹紧端 1.28m 的位置施加幅值为 38.438N的激振力。根据上述振动响应分析方法计算 2428Hz范围内的振动响应，将其与文献中的实验结果进行对比，如图 12 所示。分析发现，本文提出的振动响应分析方法计算结果均在文献实验结果附近，总体来看两者基本重合，共振峰附近的振幅误差为 1.99mm，相对误差为 3.9%，振幅的最大误差为 5.53mm，出现在远离共振峰的位置，证明了本文方法的有效性。3带冠叶片振动响应分析参照文献 20，激振力幅值为 10N，将激振力施加在叶身靠近叶冠的位置，与叶片外形垂直，如图 13 所示。结合面激振力图13叶片激振力施加位置Fig.13PositionwherebladeexcitationforceisappliedY激振力频率范围根据文中第 2.2 节模态分析中的固有频率806.63Hz 进行选取，初步设置为700900Hz，以 10Hz 为间隔进行响应分析，提取不同激振力频率下激振点方向的振动响应幅值，结果如图 14（a）所示。在该频率范围内，存在一个共振峰，其对应频率为 810Hz，相对位移幅值为 0.09mm。在 810815Hz 范围内，细化激振力频率间隔至 0.1Hz，如图 14（b）所示，结果表明共振峰所在频率为812.3Hz，相对位移幅值为 0.56mm。响应分析结果的共振峰所在频率与模态分析的固有频率相比略有增加，相对误差为 0.7%。这是因为在相对位移幅值迭代过程中，叶冠结合面上某些接触点的接触状态发生改变，引起等效刚度发生变化，从而导致叶片固有频率改变。0.100.080.060.040.0207007508008509008108118128138148150.60.50.40.30.20.10激振点位移响应幅值/mm激振点的位移响应幅值/mm频率/Hz频率/Hz(a)700900 Hz范围内的频响曲线(b)810815 Hz范围内的频响曲线悬臂梁结合面阻尼器简化阻尼器施加正压力施加激振力(a)文献13中试验装置(b)有限元模型图11带有摩擦阻尼结构的悬臂梁模型Fig.11Cantileverbeammodelwithfrictiondampingstructure14121086422425262728文献13实验结果本文计算结果频率/Hz响应幅值与激振力幅值之比/104(m/N)图12本文方法与文献 13 结果对比Fig.12ComparisonofmethodinthispaperandresultsofRef.13第4期钱佳绮等：基于接触刚度分布特性的叶片振动响应分析9610.100.080.060.040.0207007508008509008108118128138148150.60.50.40.30.20.10激振点位移响应幅值/mm激振点的位移响应幅值/mm频率/Hz频率/Hz(a)700900 Hz范围内的频响曲线(b)810815 Hz范围内的频响曲线Y图14激振点方向位移的频响曲线YFig.14Frequencyresponsecurveofdirectiondisplacementatexcitationpoint4结论本文提出了一种基于结合面接触刚度分布特性的振动响应分析方法，并与文献 13 中的实验结果进行了对比，主要结论如下：1）根据接触刚度的定义给出了可供工程应用的接触刚度计算方法；利用位移提取法准确计算出叶冠的接触应力，进而得到了沿结合面分布的接触刚度。2）选择同时考虑微滑动和宏滑动两种状态的微-宏滑动摩擦模型作为结合面的摩擦模型以表征结合面处的非线性摩擦力；通过谐波平衡法将摩擦力转换为等效刚度和等效阻尼，作为后续振动特性分析的基础。3）在叶冠结合面间施加 MATRIX27 单元以模拟结合面的接触特征，对叶片模型进行简单的模态分析以获取合适的激振力频率范围。4）作为等效刚度与等效阻尼公式中的一个重要参数，相对位移幅值既是振动响应的影响因素，也反映振动响应的结果。根据这一特性，通过对相对位移幅值进行迭代的方法来求解振动响应，并通过带有摩擦阻尼结构的悬臂梁模型对该方法进行了验证，结果较为吻合，验证了本文所提出的方法的正确性。在此基础上，研究了某型发动机带冠叶片的振动响应特性。本文所提出的振动响应分析方法原理清晰、操作简单，在工程上具有一定的应用意义。参考文献：谢永慧，孟庆集.汽轮机叶片疲劳寿命预测方法的研究J.西安交通大学学报，2002，36(9):912-915.XIEYonghui，MENGQingji.NumericalmodelforsteamturbinebladefatiguelifeJ.JournalofXianJiaotongUniversity，2002，36(9):912-915.(inChinese)1左焕.整圈自带冠叶片系统接触碰撞特性研究D.哈尔滨:哈尔滨工程大学，2014.ZUO Huan.Research on contact collision characteristics for thewhole circle integrally shrouded bladeD.Harbin:Harbin Engi-neeringUniversity，2014.(inChinese)2洪杰，杨鑫，陈璐璐，等.基于接触状态分析的叶冠阻尼评估与改进设计J.北京航空航天大学学报，2012，38(5):681-687.HONGJie，YANGXin，CHENLulu，etal.DampingassessmentandimprovingdesignofbladeshroudsbasedoncontactstatesJ.Journal of 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