基于摄动法的周期性多孔结构稳健性拓扑优化设计_占金青.pdf

第 20 卷 第 4 期2023 年 4 月铁道科学与工程学报Journal of Railway Science and EngineeringVolume 20 Number 4April 2023基于摄动法的周期性多孔结构稳健性拓扑优化设计占金青1,2，孙宇1，王啸1，刘敏1,2(1.华东交通大学 机电与车辆工程学院，江西 南昌 330013；2.载运工具与装备教育部重点实验室，江西 南昌 330013)摘要：为了考虑载荷不确定性对多尺度拓扑优化结果的影响，提出一种基于摄动法的周期性多孔结构稳健性拓扑优化设计方法。假设宏观结构由材料微结构周期性排列构成，采用能量均匀化方法求解微结构的宏观等效弹性矩阵。考虑作用载荷的大小和方向不确定性，采用摄动法求解不确定性载荷条件下的周期性多孔结构响应，以宏观结构柔顺度的期望、标准差加权和最小化为目标，以宏观和微观结构体积作为约束，建立基于摄动法的周期性多孔结构稳健性多尺度拓扑优化模型，采用准则优化算法求解优化问题。数值算例结果表明提出的设计方法是有效的；与确定性拓扑优化结果相比，考虑载荷方向不确定的稳健性拓扑优化获得的宏观结构和材料微结构构型有很大不同，以抵抗水平方向载荷的作用；载荷大小不确定对稳健性多尺度拓扑优化结果影响较小。随着权重因子值增大，稳健性多尺度拓扑优化获得的宏观和微观结构构型发生变化，设计的周期性多孔材料结构柔顺度的期望增加，柔顺度的标准差减少。稳健性多尺度拓扑优化获得的结构柔顺度的标准差比确定性多尺度拓扑优化结果小，稳健性设计的周期性多孔结构具有更好的稳健性。关键词：周期性多孔结构；材料微结构；稳健性拓扑优化；不确定性载荷；摄动法中图分类号：U260 文献标志码：A 文章编号：1672-7029（2023）04-1522-11Robust topology optimization of periodical cellular structures with perturbation methodZHAN Jinqing1,2,SUN Yu1,WANG Xiao1,LIU Min1,2(1.School of Mechatronics and Vehicle Engineering,East China Jiaotong University,Nanchang 330013,China;2.Key Laboratory of Conveyance Equipment,Ministry of Education,Nanchang 330013,China)Abstract:Considering the influence of the uncertain loading on the multiscale designs,a method for robust topology optimization of periodic cellular structures with perturbation method was proposed.The macrostructure was assumed to be composed of periodic microstructures,and the effective elasticity matrix of the microscopic unit cell was calculated using the energy-based homogenization method.Considering the uncertain loading magnitudes and directions,the stochastic perturbation method was applied to solve the response of periodic cellular structures under loading uncertainty.The minimization of the weighted sum of the statistical mean and 收稿日期：2022-05-02基金项目：国家自然科学基金资助项目(52065019，52165002，51665011)；江西省自然科学基金资助项目(20202BAB204015，20202ACBL214013)通信作者：刘敏(1990)，男，江西吉安人，副教授，博士，从事智能结构优化设计研究；E-mail：DOI:10.19713/ki.43-1423/u.T20220883第 4 期占金青，等：基于摄动法的周期性多孔结构稳健性拓扑优化设计standard variance of the compliance of the macrostructure was developed as the objective function.Both the volume fractions of the macrostructure and microstructures were used as constraints.The model for robust topology optimization of periodic cellular structures with the perturbation method was established.The optimality criteria algorithm was applied to solve the topology optimization problem.Several robust topology optimization cases were presented to demonstrate the validity of the proposed method.Compared with the results of the deterministic topology optimization,the macrostructure and microstructure configurations obtained by the robust topology optimization were different by considering the uncertainties of the load direction.It can withstand the horizontal load.The uncertainties of the load magnitude have little effect on the results of the robust topology optimization of periodic cellular structures.As the weight factor increases,the macrostructure and microstructure configurations obtained by robust topology optimization change.The mean of the compliance of the periodic cellular structures increases,and the standard variance of the compliance of the structures decreases.The standard deviation of the structural compliance of the robust topology optimization is smaller than that of the results of deterministic topology optimization,and the performance of the periodic cellular structures has been improved.Key words:periodical cellular structures;material microstructures;robust topology optimization;uncertain loading;perturbation method 周期性多孔结构可以通过改变周期性微结构的拓扑构型实现其功能特性的调控，使其具有优良的比刚度/强度、减震吸能及隔热隔磁等功能性特点12，其在轨道车辆吸能、隔振装置具有广泛的应用前景3。采用拓扑优化方法进行周期性多孔结构设计，通过位移约束方式来施加周期性边界条件，在满足约束条件下寻求宏观结构和材料微结构的最优拓扑构型，从而能够获得具有最佳性能的周期性多孔结构4。RODRIGUES 等5提出一种宏观结构和材料微观结构多尺度优化方法，上层优化问题确定宏观结构的拓扑构型，下层优化问题通过优化材料微结构的拓扑构型来确定每个宏观结构单元的等效材料属性。COELHO等6将结构/材料多尺度拓扑优化方法扩展到三维结构优化设计问题中，由于每个宏观结构单元对应不同的材料微结构，导致这种方法得到的结构难以加工制造。为了解决上述问题，LIU等7假设宏观结构由一种微观结构构成，提出基于各向异性多孔惩罚材料模型的宏观结构与材料微结构一体化设计方法，使得周期性多孔结构刚度最大化。NIU等8提出了考虑基频最大化的结构/材料多尺度拓扑优化设计方法。YAN等910考虑热载荷和机械载荷共同作用下，提出一种周期性多孔结构热力耦合多尺度拓扑优化设计方法。XU等11采用双向进化式结构优化方法，建立了基于多相材料的结构/材料多尺度拓扑优化模型。龙凯等12假设微结构含有2种各向异性且泊松比不同的组分材料，以柔顺度最小化和特征值最大化为目标进行结构/材料多尺度拓扑优化设计。以上关于周期性多孔结构多尺度设计的研究大多基于确定性优化模型，但实际工程中容易发生工作环境变化，从而引起作用载荷的不确定性。因此，考虑载荷不确性条件进行周期性多孔结构稳健性设计是非常有必要的。考虑载荷不确定性的稳健性拓扑优化设计研究主要集中在宏观结构设计方面。GUEST等13考虑载荷大小和作用位置不确定因素，进行结构稳健性拓扑优化设计。DUNNING等14考虑载荷不确定性，以结构柔顺度的期望、标准差加权和最小化为目标，显式推导了目标函数关于设计变量的灵敏度，实现了结构稳健性拓扑优化设计。CHEN等15考虑载荷和材料不确定性，采用水平集方法进行结构稳健性形状和拓扑优化设计。ZHAO等16考虑载荷的大小和方向不确定性，采用线弹性叠加原理进行结构稳健性拓扑优化设计。随后，付志方等17将此方法扩展到多工况线性结构稳健性设计中。BAI等18采用椭球凸模型描述载荷和材料不确定性量，进行结构稳健性拓扑优化设计。王栋19采用非概率凸模型方法表示激励作用位置的不确定性，提出1523铁 道 科 学 与 工 程 学 报2023 年 4月一种结构动态稳健性拓扑优化设计方法。赵清海等20采用Karhunen-Love展开法进行随机场离散，提出一种考虑载荷不确定性的多相材料结构稳健性拓扑优化设计方法。CAI等21采用叠加原理和对称矩阵正交相似变换法进行灵敏度分析，实现了考虑载荷不确定性的结构/材料多尺度稳健性拓扑优化设计，结果表明载荷不确定性对周期性多孔结构拓扑优化结果有很大影响。WANG 等22提出一种具有位移约束的周期性多孔结构非概率可靠性拓扑优化模型，进行宏观结构和材料桁架状微结构布局多尺度优化。ZHENG等23提出一种基于混合不确性的宏观结构和材料微结构多尺度稳健性拓扑优化设计方法。目前，对于周期性多孔结构不确定性拓扑优化问题，不确定性分析过程较为复杂，甚至涉及嵌套双循环求解，导致计算效率低下，难以解决大规模的工程设计问题。采用摄动法量化不确定性载荷，可以直接计算得到结构不确定性响应，获得显式灵敏度以避免双循环过程，且不需要采用大量样本进行不确定性分析，能够降低不确定性分析计算复杂程度。因此，本文提出一种基于摄动法的周期性多孔结构稳健性拓扑优化设计方法。假设宏观结构由材料微结构周期性排列构成，采用能量均匀化方法求解微结构的宏观等效弹性矩阵。考虑作用载荷的大小和方向不确定性，采用摄动法求解不确定性载荷条件下的周期性多孔结构响应，以宏观结构柔顺度的期望、标准差加权和最小化为目标，以宏观和微观结构体积作为约束，建立基于摄动法的周期性多孔结构稳健性拓扑优化模型，利用准则优化算法求解优化问题。1 周期性多孔结构稳健性拓扑优化模型周期性多孔结构多尺度拓扑优化设计示意图如图1所示。与宏观结构尺寸相比，材料微结构的尺寸足够小，并且宏观结构由材料微观结构周期性排列构成，采用能量均匀化方法计算宏观结构的材料性能。将宏观设计和微观设计相结合进行多尺度拓扑优化设计，外部进行宏观结构拓扑优化设计，以获得最佳的宏观结构布局；内部进行微观结构拓扑优化设计，以获得最佳构型的材料微结构及等效弹性矩阵，从而最大程度地优化周期性多孔结构性能。考虑载荷的大小和方向不确定性，以周期性多孔结构的柔顺度期望和标准差加权值最小化为优化目标，以宏观和微观结构体积作为约束，建立考虑载荷不确定性的周期性多孔结构稳健性拓扑优化模型为findxymin:J=E(C)+Var(C)s.t.K(x,y)u(x,y)=F()=e=1Nxeef10Y=j=1nyjYjf2Y00 xminxe1e=1,N0yminyj1j=1,n(1)式中：x和y分别为宏观尺度和微观尺度的设计变量，即为宏观和微观尺度的单元密度；C为宏观结构的柔顺度；E(C)和Var(C)分别表示结构柔顺度的期望和方差；为权重因子；F为作用载荷列阵；表示载荷具有不确定性；K为整体刚度矩阵；u为结构位移列阵；e为单元密度为1时的图1周期性多孔结构多尺度拓扑优化示意图Fig.1Schematic diagram of the multiscale topology optimization of periodic composite structures1524第 4 期占金青，等：基于摄动法的周期性多孔结构稳健性拓扑优化设计宏观结构单元体积；Yj为单元密度为1时的微观结构单元体积；和Y分别为宏观和微观结构的优化后的体积；0和Y0分别为宏观和微观结构的初始体积；f1和f2分别为宏观和微观结构允许的材料体积比；xmin和ymin分别为宏观和微观结构设计变量的最小值，以防止宏观和微观结构的整体刚度矩阵非正定；N和n分别为宏观和微观结构有限单元数目。对于多尺度拓扑优化问题，采用固体各向同性材料惩罚模型24对微观和宏观结构单元材料属性进行插值。在微观尺度上，任一单元j的弹性矩阵D可表示为D(yj)=(yj)pD0(2)式中：p为惩罚系数，取值为3；D0为实体材料的弹性矩阵。在宏观尺度上，任一单元e的弹性矩阵DM表示为DM(xe,yj)=(xe)pDH(yj)(3)式中：DH为材料微结构的宏观等效弹性矩阵。采用能量均匀化方法25求解等效弹性矩阵DHijkl=1Y0j=1n(0(ij)-ij)TYjbTD(y)bdY(0(kl)-kl)(4)式中：0(ij)表示由施加在微结构的初始测试应变引起的位移；ij为未知的位移，由初始测试应变引起的微结构内部产生的位移；b为微结构单元应变矩阵。2 基于摄动法的载荷不确定性分析考虑作用载荷F=F1,F2,F2l的大小和方向不确定性，任一节点m施加的水平方向载荷F2m-1和垂直方向载荷F2m与作用载荷大小 m和作用方向m有关，其可表示为：F2m-1=mcosm(5)F2m=msinm(6)作用载荷大小 m和作用方向均值m均由确定部分和均值为0的随机部分组成：m=0m+m(7)m=0m+m(8)由式(7)和式(8)，水平方向载荷F2m-1和垂直方向载荷F2m可改写为：F2m-1=(0m+m)cos(0m+m)(9)F2m=(0m+m)sin(0m+m)(10)采用随机摄动法26，对不确定性作用载荷的大小和方向进行1阶泰勒展开为F(,)f0+f1+f2(11)其中，f0=F(0,0)，f1=|F=0=0，f2=|F=0=0由于仅考虑作用载荷的不确定性因素，宏观结构的整体刚度矩阵是确定的。因此，结构有限元平衡方程可写为Ku(,)=F(,)(12)同样地，对结构节点位移列阵进行1阶泰勒展开为u(,)=u0+u1+u2(13)将式(11)和式(13)代入式(12)，比较和系数可得ui=K-1fi(i=0,1,2)(14)由式(11)和式(13)，可求得宏观结构柔顺度的期望E(C)为E(C)=E(F(,)TU(,)=E(f0+f1+f2)T(u0+u1+u2)=AT0u0+AT1u1+AT2u2(15)其中，A0=fT0+fT1E()+fT2E()A1=fT0E()+fT1E(2)+fT2E()E()A2=fT0E()+fT1E()E()+fT2E(2)采用类似方法，由式(15)求解宏观结构柔顺度的方差Var(C)为Var(C)=E(C2)-E(C)2=uT0B0u0+uT1B1u1+uT22u2(16)其中，1525铁 道 科 学 与 工 程 学 报2023 年 4月B0=f1Var()fT1+f2Var()fT2B1=f0Var()fT0+f1Var(2)fT1+f2Var()fT2B2=f0Var()fT0+f1Var()fT1+f2Var(2)fT2假设载荷大小随机参数和作用方向随机参数为相互独立的高斯正态分布，并且E()=0和E()=0，则和高阶函数的期望和方差可表示为：E()a()b)=E()a)E()b)(17)Var()a()b)=E()2a)E()2b)-E()a)E()b)2(18)式中：a和b均为高阶系数。3 灵敏度求解采用准则优化算法27更新周期性多孔结构稳健性拓扑优化问题，需要求解优化目标和体积约束对宏观和微观尺度设计变量的灵敏度。为了便于求解关于宏观设计变量的灵敏度，引入拉格朗日乘子i(i=0,1,2)，将优化目标可改写为J=E(C)+Var(C)+i=02Ti(K(x,y)ui-fi)(19)式(19)对宏观设计变量求导可得Jxe=E(C)xe+Var(C)xe+i=02Ti(Kui-fi)xe=i=02()ATi+Var(C)uTiBi+TiKuixe+i=02TiKxeui(20)由于拉格朗日乘子i可取任意值，为了消除式(20)中ui/xe项，令i满足Ti=-K-1(ATi+Var(C)uTiBi)(21)因此，优化目标对宏观设计变量的灵敏度为Jxe=i=02TiKxeui(22)其中，Kxe=pxp-1eK0e，K0e为充满材料的宏观单元刚度矩阵。优化目标对微观设计变量的灵敏度可求得Jyj=i=02Ti()eBTDHyjBdeui(23)式中：B为宏观结构的应变矩阵。由式(4)，可求得DHyj=1Y0j=1n(0(ij)-ij)TYjbTD(y)yibdY(0(kl)-kl)(24)由式(1)可求得宏观结构的体积约束对宏观设计变量的灵敏度为xe=(xee)xe=e(25)同理，微观结构的体积约束的灵敏度可求得Yyj=(yjY0)yj=Y0(26)采用变密度法进行周期性多孔结构设计，获得的宏观和微观尺度拓扑构型容易出现棋盘格等数值不稳定性现象，采用过滤方法28修正灵敏度，以避免数值不稳定性现象。4 数值算例通过立柱结构算例验证提出的周期性多孔结构稳健性拓扑优化设计方法的有效性。在数值算例中，材料物理量和结构几何参数均为无量纲参数，材料弹性模量E为1，泊松比为0.3，惩罚系数p取值为3。周期性多孔立柱结构的设计域、边界及载荷条件如图2所示。立柱底部固定，载荷作用在立柱上端中点，载荷大小的均值为=10，载荷方向的均值为=-/2(垂直向下)。宏观立柱结构的设计域尺寸为500500，离散为100100个有限元单元；材料微结构的设计域尺寸为 0.10.1，离散为150150个有限元单元。宏观结构和材料微结构的允许体积比分别为f1=0.20和f2=0.50，权重因子取为 1，宏观和微观的过滤半径rmin分别为3.5和4。为了验证提出设计方法的有效性，首先对考虑确定性载荷条件(载荷大小标准差=0，载荷方向标准差=0)和考虑载荷方向不确定性条件(载荷1526第 4 期占金青，等：基于摄动法的周期性多孔结构稳健性拓扑优化设计大小标准差=0，载荷方向标准差=/10)进行立柱结构多尺度拓扑优化设计，获得的宏观结构、材料微观结构、33元胞微结构和等效弹性矩阵如图3所示。由图3可知，确定性多尺度拓扑优化设计获得的立柱宏观结构构型为简单的立柱，考虑载荷方向不确定性的稳健性多尺度拓扑优化设计获得的立柱宏观结构构型为类似拱形结构。稳健性设计的类似拱形结构比确定性设计的简单杆具有更好的横向刚度，可以抵抗水平方向的载荷作用，并且2种拓扑优化模型获得的微观结构构型和等效弹性矩阵均不同。在考虑载荷方向不确定性(=0，=/10)的立柱结构稳健性多尺度拓扑优化过程中，优化目标、宏观结构及微观结构体积比迭代曲线分别如图4(a)和4(b)所示，优化目标迭代初始阶段有些震荡，总体迭代过程平稳，并且宏观结构和微观结构体积比均能够满足约束。为了研究不同载荷方向标准差对稳健性多尺度拓扑优化结果影响，当载荷大小标准差=0时，选取载荷方向标准差分别为/32，/25和/18这3 种情况进行立柱结构稳健性多尺度拓扑优化设计，获得的宏观结构、材料微观结构、33元胞微结构和等效弹性矩阵如图5所示。由图5可知，当载荷方向不确定度水平增加，宏观结构的开角越来越大，以抵抗更大的水平方向分力。同时，材料微结构构型和等效弹性矩阵发生变化，微结构会形成更多的斜向支撑肋，可以抵抗更大的水平方向分力。由此可见，考虑载荷方向不确定性的稳健性多尺度拓扑优化设计获得的周期性多孔立柱结构，可以通过改变宏观和微观结构构型来适应承受水平方向的分力作用。由表1可知，稳健性多尺度拓扑优化的立柱结构柔顺度的期望和标准差均小于确定性多尺度拓扑优化结果，这表明稳健性多尺度拓扑优化获得的立柱结构具有更好的稳健性，这验证了提出的基于摄动法的周期性多孔结构稳健性拓扑优化设计方法的有效性。图2立柱设计域和边界条件Fig.2Design domain of and boundary condition of simple column0/10宏观结构材料微结构33 微结构微结构等效弹性矩阵|0.062 70.045 300.045 30.445 20000.057 2|0.067 90.091 400.091 40.382 10000.098 5图3立柱结构确定性和稳健性多尺度拓扑优化结果Fig.3Results of deterministic and robust multiscale topology optimization of simple column1527铁 道 科 学 与 工 程 学 报2023 年 4月当载荷方向标准差为/25时，在载荷大小标准差分别为0.1，0.15和0.2这3种条件下进行立柱结构稳健性多尺度拓扑优化设计，拓扑优化结果如图6所示。随着载荷大小标准差增加，考虑载荷大小不确定性的稳健性多尺度拓扑优化获得的立柱宏观结构和材料微结构构型几乎没有变化，并且微结构等效弹性矩阵差异不大。由此可见，载荷大小不确定性对周期性多孔结构稳健性拓扑(a)目标函数迭代曲线；(b)体积比迭代曲线图4立柱结构稳健性多尺度拓扑优化迭代过程(=0，=/10)Fig.4Iteration history for robust multiscale topology optimization of simple column(=0，=/10)/32/25/18宏观结构材料微结构33 微结构微结构等效弹性矩阵|0.074 40.057 400.057 40.425 40000.070 1|0.046 00.058 400.058 40.409 60000.074 9|0.065 30.090 500.090 50.380 40000.097 7图5不同载荷方向标准差的立柱结构稳健性多尺度拓扑优化结果Fig.5Simple column designs obtained by robust multi-scale topology optimization with different direction uncertain level1528第 4 期占金青，等：基于摄动法的周期性多孔结构稳健性拓扑优化设计优化结果影响不大。由表2可知，考虑载荷大小不确定性的稳健性多尺度拓扑优化获得的立柱结构柔顺度的期望和标准差均小于确定性多尺度拓扑优化结果，表明稳健性多尺度拓扑优化设计的周期性多孔结构具有更好的稳健性，这也验证了所提设计方法的有效性。表1 不同载荷方向标准差条件下立柱结构确定性和稳健性多尺度拓扑优化结果比较Table 1 Comparison between robust and deterministic multi-scale designs of simple column with different direction uncertain level/32/25/18/10稳健性拓扑优化(C)2 592.958 62 898.055 03 480.078 94 373.556 4(C)373.783 1515.314 2579.168 51 752.915 5J(C)2 966.741 73 413.369 24 059.247 46 126.471 9确定性拓扑优化(C)3 026.082 63 663.076 95 181.828 112 245.774 9(C)1 411.105 42 311.957 74 459.789 914 449.719 2J(C)4 437.188 05 975.034 69 641.618 026 695.494 1表2 不同载荷大小标准差条件下立柱结构确定性和稳健性多尺度拓扑优化结果比较Table 2 Comparison between robust and deterministic multi-scale designs of simple column with different magnitude uncertain level0.10.150.2稳健性拓扑优化(C)2 931.942 02 927.825 52 927.427 8(C)515.725 2521.537 4526.181 7J(C)3 447.667 23 449.362 93 453.609 5确定性拓扑优化(C)3 663.535 93 696.141 93 729.936 8(C)2 312.355 52 358.425 32 405.358 0J(C)5 975.891 46 054.567 26 135.294 80.10.150.2宏观结构材料微结构33 微结构微结构等效弹性矩阵|0.050 00.057 200.057 20.406 10000.073 6|0.051 20.056 200.056 20.408 00000.072 1|0.052 90.055 200.055 20.404 80000.072 5图6不同载荷大小标准差的立柱结构稳健性多尺度拓扑优化结果Fig.6Simple column designs obtained by robust multi-scale topology optimization with different magnitude uncertain level1529铁 道 科 学 与 工 程 学 报2023 年 4月研究权重因子对周期性多孔立柱结构稳健性多尺度拓扑优化结果的影响。当载荷大小标准差=0，载荷方向标准差=/32时，考虑权重因子分别为=2，3，4，5，6进行立柱结构稳健性多尺度拓扑优化设计，优化结果如图7所示。由图7可知，当权重因子值增大时，稳健性多尺度拓扑优化获得的立柱结构宏观拓扑构型、微观拓扑构型及等效弹性矩阵均有所不同，立柱宏观拓扑构型开角越来越大，并且材料微结构的构型和等效弹性矩阵也发生变化。立柱宏观结构柔顺度的期望增加，柔顺度的标准差减少，如表3所示。稳健性多尺度拓扑优化获得的周期性多孔立柱结构柔顺度的标准差远小于确定性多尺度拓扑优化结果，表明稳健性设计结果具有更好的稳健性。当增大到一定程度，稳健性设计的周期性多孔立柱结构柔顺度的期望略大于确定性结果。表3 不同权重因子条件下立柱结构确定性和稳健性多尺度拓扑优化结果比较Table 3 Comparison between robust and deterministic multi-scale designs of simple column with different weight factor2345稳健性拓扑优化(C)2 638.649 13 081.371 83 178.812 53 203.999 1(C)299.280 3193.421 5183.695 2182.322 8J(C)3 237.209 63 661.636 33 913.593 44 115.613 1确定性拓扑优化(C)3 026.082 63 026.082 63 026.082 63 026.082 6(C)1 411.105 41 411.105 41 411.105 41 411.105 4J(C)5 848.293 47 259.398 88 670.504 210 081.609 62345宏观结构材料微结构33 微结构微结构等效弹性矩阵|0.085 60.065 800.065 80.415 50000.078 0|0.046 80.085 300.085 30.397 60000.097 2|0.069 20.091 200.091 20.377 70000.099 0|0.063 80.090 200.090 20.381 70000.097 6图7不同权重因子的立柱结构稳健性多尺度拓扑优化结果Fig.7Simple column designs obtained by robust multi-scale topology optimization with different weight factor1530第 4 期占金青，等：基于摄动法的周期性多孔结构稳健性拓扑优化设计5 结论1)考虑载荷不确定性，以周期性多孔结构柔顺度的期望和标准差加权值最小化为优化目标函数，以宏观结构和材料微结构体积作为约束，建立基于摄动法的稳健性多尺度拓扑优化模型，实现了周期性多孔材料结构稳健性拓扑优化。数值算例结果表明提出的设计方法是有效的。2)与确定性拓扑优化结果相比，考虑载荷方向不确定性的稳健性多尺度拓扑优化获得的宏观结构和材料微结构构型不同，且周期性多孔结构柔顺度的期望和方差比确定性多尺度拓扑优化结果小，稳健性设计的结构具有更好的稳健性。载荷大小不确定性对周期性多孔结构稳健性拓扑优化结果影响较小。3)随着权重因子值增大，稳健性多尺度拓扑优化获得的宏观结构、材料微结构构型和等效弹性矩阵发生变化，周期性多孔材料结构柔顺度的期望增加，柔顺度的标准差减少，反之亦然。本文研究工作仅考虑了单一机械载荷作用，未来工作将开展多物理场耦合作用下的结构稳健性拓扑优化设计研究。参考文献：1FU Junjian,XIA Liang,GAO Liang,et al.Topology optimization of periodic structures with substructuringJ.Journal of Mechanical Design,2019,141(7):071403.2付君健,张跃,杜义贤,等.周期性多孔结构特征值拓扑优化J.振动与冲击,2022,41(3):7381.FU Junjian,ZHANG Yue,DU Yixian,et al.Eigenvalue topology 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