数学建模中常用模型.pdf

数学建模中几个常用模型分模型微分模型模糊数学建模 灰色理论建模在一场战争中，甲方一,领海进行秘密侦察话语心当 于乙方一潜艇的正西讪千米处潜艇士兵同时发现对方。艇斗冠 向正北60千米处的营地逃跑潜 艇开始逃跑的同时，乙方潜艇昭嘉了鱼 雷进行追踪攻击。假设甲方潜艇与乙方 鱼雷是在同一平面上进行运动。已知甲 方潜艇和乙方鱼雷的速度均匀且鱼雷的速度是甲方潜艇速度的两倍。试建立合理的数学模型解决 注问题:求鱼雷在追踪攻击过程 中的运动轨迹；(2)确定甲方潜艇能否安全 的回到营地而不会被乙方鱼 雷击中。思考:鱼雷是如何追击目标?追击的特点是：追击者始终改变自 身方向朝目标追击，追击者与被追击者 的连线方向正好是追击者运动轨迹的切甲乙潜艇的位置如图一所示。以乙方潜艇为 坐标原点，甲乙方潜艇所在的直线为轴，从乙到 甲为正半轴X方向。甲方逃走的方向为正半轴y建 立如图一所示坐标系因为鱼雷的自动追踪系统随时随刻都追踪到甲 方潜艇的方位，并对自身前进方向做出相应调 整。鱼雷的运动藐迹美标如图二所示，并且潜 艇和鱼雷的两点连线就是鱼雷运动轨迹曲线的设为鱼雷发射的时刻，小 在点，鱼雷的位置在（力 标的差向量就是鱼雷勃，二）.话 N切向量V_JOy-100-x Jl+y2 公=2%,消去时间并化简整理得Ji+y2y 二2(100-%)鱼雷若想攻击到甲方潜e 艇，它必须与甲方潜艇相 遇。假设甲方潜艇运动到 达它的营地，鱼雷沿直线。C运动。由它们的速度关系 版知，鱼雷相应运动了。靠直角三角形OAC中。说 物鱼雷沿直线OC运动才刚 好追上甲方潜艇，可鱼雷 的实际运动是一条弧长远 远大于OC长度的曲线，鱼 雷按实际运动轨迹航行将 不能击中甲方潜艇。微分方程模型在研究实际问 题时，常常会联系 到某些变量的变化 率或导数，这样所 得到变量之间的关 系式就是微分方程 模型微分方程模型 在自然科学中的应 用主要以物理、力 能等客观规律为基 出建立起来，而在 经济学、人口预测 等社会科学方面的则是在类比、假设等措施下建立 起来。微分方程模型反映的是变量之间的 间接关系。因此，要得到直接关系，就 得求微分方程微分方程模型建许述的色方上皎陞 学为描程色分体钵 数因学方形微大：射期 是，数分形成，步噂3 模法的微把化题几实，、建方题解。题问下据数 程要问求题问解以根函 京童际致问际定按 分的实导解实的以 1 未 微模多将定的程可蚤系(2)找出这些量所满足的基本规律(物理 的、几何的、化学的或生物学的等等)。(3)运用这些规律列出方程和定解条件微分方程的一般形式一阶微分方程一阶微分方程组尧）X（%0）二%0其中f（t,x）是t和X的已知福一二加内外,闻 t严）=研又疝一阶正规方程组数，X（to）=Xo为初始条件，又 称定解条件对于任一高阶的微分方程dnx r/dx dt dtX（幻=4in-l a x 萨即可化为一阶方程组的形式。微分方程（组）的解析解求微分方程（组）的解析解用函数dsolve.在求微分方程时，需要将微分方程包含在dsol ve的表达式中。在表达她方程时，用字母D 表示微分，D2,D3表示高解微分。任何D后所跟的字母为因变量。mva规则选定为缺喘，小的通解您+4 dx以指定或由sy股擀=0表达为02y=0求方程的特解dydxi-29y=0解：命令为：dsol ve(Du=1+iT2,t)结果为：ans=tan(t-C1)y(O)=O,y(0)=15解：命令为：Y=dsol ve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)结果为：Y=3*exp(-2*x)*sin(5*x)dt dy dt dzdx=2x-3y+3z=4x-5y+3z=4x-4y+2z求下列微分 方程组的特解解：命令为：x,y,z=dsol ve(Dx=2*x-3*y+3*z z)x=simpl e(x)%将x化简y=simpl e(y)z=simpl e(z)结果为：*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*x=-(-d-c2*exp(-3*t)+c2-c3+c3*exp(-3*t)*exp(2*t)y=-d*exp(-4*t)-d-c2*exp(-4*t)-c2*exp(-3*t)*+c2-c3+c3*exp(-3*t)*exp(2*t)x=(-d*exp(-4*t)+c1-c2+c2*exp(-4*t)+c3)*exp(2*t)差分模型差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学 模型也是离散的，如（传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模 型等。有些时候，即使所建立的数学模型（如科研成果的综合评价模 型、循环比赛的名次模型、红绿灯的调 像常见的微分方程模型、积分方程一 求数值解。这就需要将连续变量在F 续型模型转化为离散型模型。因此，最 方程解的问题。关于差分方程理论和月 题的过程中起着重要作用。）是连续形式，例如L往往都需要用计算机 牛下进行离散化，从而将连 结为求解离散形式的差分 上数学建模和解决实际问差分方程的定义给定一个数列x#,把数列中的前n+1项X（i=0,1,2,n）关联起来得到的方程，则称这 个方程为差分方程。差分方程常系数线性齐次差分方程常系数线性齐次差分方程的一般形式为玉+卬。4+4玉一2+.十为人二 f1)其中k为差分方程的阶数，或里a1,眩】ak为差 分方程的系数，去乃 十%乃 1+出乃一+,+%=0称为差分方程(1)的对应的特征方程。(2)式中的左个根4,4，,人称为(1)式的特征根差分方程差分方程的解常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根、重根和复根的情根的不同情况有不同的形式。：下面分别就特征根为单 给出方程也勺蹩1特征根为单根（互不相胴的根）设差分方程（1；（互不相同的根），贝X=C 4+c/为通解为任意常数再根据初始条件，用待定系数法求解2特征根为重根差分方程设原演Z是n阶差分方程%;+a2Xn-2 akXn-k的L(1WLWk)个根，重数缉，乙别为口，由2,，ITIl，且 1啊=左则该差分方程的通解为1呵 吗,旷 立”一方+F”无1=1 1=1 1=1再根据初始条件确定前面系数 J3特征根为复根设k阶差分方程 xn+axxn_x+a2xn_2+卜 akxn_k-0 的一二0对共辄复根4几=。4和相异的k-2个单根灰儿,4则 该差分方程的通解为xn=Cpn cosnO+c2pn sinnO+q君+的茗 H-He左4,差分方程其中/?=y/a2+/32 0=arctan 常系数线性非齐次差分方程/a常系数线性非齐达差分方编的一般形式为关于求的方法同求差分方端（I）白，方法相同。对于求非齐次方程的.然后来Z求解非齐次差分方首先求对应的齐？求非齐次差分方程的一个生 为非齐次差分方程的通解。=f（K）(0)n,可以用观察法确定，也可以根据f（n）的特性用待定系数 法确定，具体方法可参照常系数线性非齐次微分 方程求特解的方法。一个有趣的小问题现有一农场的植物园中某种植物的基因型为 AA,Aa 和 aa。(1)农场计划采用AA型的植物与每种基因型植物相结合的彳 学模型讨论经过若塞 三种基因型分布0物后代。要求建立数 这种植物的任一代的(2)若农场篇合的方案培育植物E代。品同基因型植物相结 1经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布又如何?后代基因型的概率分布表父体-母体的基因型AA-AAAA-AaAA-aaAa-AaAa-aaAa-aa后代 基因型AA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/210问题一分析：第一年基因型的概率分布图依次可类推第n年与第n+1年之间各种基因型分布的关系：对AA基因型进行求解:对Aa基因型进行求解:+&2X 口 二 X n+1 n对aa基因型进行求因为第一优后没有羽篁国型的品种,所以后 代在与AA交配的过程中aa基因型的概率为0。利用差分方程求解2*%+2-3*%屏1+乙=其特征方程为：2A2-3A+l=0特征根为刈=4=ci解得 q=-(q+2r);c2=p+q+r=l;(Y f 1Y%二-0+2厂)-+l；yn=(q+2r)-对于问题二 第一年基因型的概率分布图亲，弋基因型 子代基因型AA-AAAa-Aaaa-aaAApq/40Aa0q/20aa0q/4r依次可类推第n年与第n+1年之间各种基因型分布的关系:对AA基因型进日求弓Xn+l=Xn+-对Aa基因型产行至类似问题一的解法，可解得%+i=yn 乙对aa基因型进行求解:1z+i z+4%yn=Q-V 2 7