计算矩阵特征值的几种数值方法及程序实现--毕业设计论文.doc

本科毕业论文论文题目：计算矩阵特征值的几种数值方法及程序实现学生姓名： 吕俊玲 学号： 201100820227 专业： 信息与计算科学专业 指导教师： 尹哲 学 院： 数学科学学院 1 2015年 5 月 20 日毕业论文（设计）内容介绍论文（设计）题 目计算矩阵特征值的几种数值方法及其程序实现选题时间2014.12.14完成时间2015.05.20论文（设计）字数7000+关 键 词矩阵 特征值 幂法 反幂法 Jacobi法 二分法论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：矩阵特征值在矩阵计算中占有重要的地位，而现实的生产生活中的众多领域，矩阵特征值问题都有非常广泛的涉及。矩阵特征值的计算手段与时代一起进步，许多非常简便的数值方法应运而生，但大型矩阵特征值的计算方法本质上都是运用迭代法。求解一个简单矩阵的特征值问题实际上就是求解一个多项式的根的问题，而求解一个大型矩阵的特征值往往要进行近似的估算。为了使计算更为方便简单，矩阵会被变换为对角矩阵进行计算，计算方法也需要调整收敛速度改进成为更有效的方法。矩阵特征值问题在众多领域有着非常广泛的涉及，在工程计算、量子力学、生物学、经济学等学科有着重要的应用，因此它被众多数学学者、工程技术人员、科技学者所青睐。矩阵计算是计算数学的一个重要分支，而矩阵特征值计算作为矩阵计算的重要方向，是国内外的研究热点，因此研究矩阵特征值问题意义重大。论文（设计）的主要内容及创新点：本文主要将矩阵特征值分为对称特征和非对称特征值问题进行方法讨论。对于非对称特征值问题，本文主要介绍幂法与反幂法，对称特征值问题的计算方法主要以Jacobi方法与二分法为主要计算方法，然后讨论几种方法的收敛性及改进方法，最后列举实例，编写程序实现算法。附：论文（设计）本人签名： 2015 年 5 月 20 日目 录中文摘要 2英文摘要 2一、引言 3二、简单矩阵特征值的计算方法 4（一）矩阵特征值的相关概念 4（二） 简单矩阵的特征值方法-定义法 8三、非对称特征值问题的计算方法 9（一）幂法 9（二）反幂法 11四、对称特征值问题的计算方法 13（一）经典Jacobi方法 13（二）二分法 19五、总结 22参考文献 23 附录计算矩阵特征值的几种数学方法及其程序实现吕俊玲摘要：本文把矩阵分为对称矩阵和非对称矩阵两种形式，并分别讨论两种矩阵的特征值的计算方法和其收敛性。对称矩阵的特征值计算方法主要以二分法方法，经典Jacobi方法为主要内容，非对称矩阵的特征值计算方法则主要使用幂法，反幂法。幂法与反幂法用于计算矩阵的部分特征值，幂法可以求矩阵的一个模最大的特征值，反幂法则是应用幂法于矩阵的逆上求矩阵的模最小特征值。Jacobi方法和二分法是针对实对称矩阵求解特征值的数值方法。Jacobi方法是由Jacobi于1846年首先提出，是求解全部特征值的经典方法，二分法是求一个三对角矩阵任意指定特征值的数值方法，它既可以求某些指定的较大或较小的特征值，也可以求某个区间内的特征值。为使几种数值方法更为有效，本文最后将讨论几种方法的收敛性并改进算法。关键词：矩阵；特征值；幂法；反幂法；Jacobi方法；二分法 Numerical computation methods of computing the matrix eigenvalues and the programming Lu jun-lingAbstract: These matrices are divided into two major categories of symmetrical matrices and unsymmetrical matrices, and take the calculation methods of matrix eigenvalues and astringency of these methods into consideration. The methods to calculate eigenvalues of symmetrical matrix mainly includes Jacobi method and bisection. The computation methods of eigenvalues about unsymmetrical matrix adapt to power and inverse power method as major methods. Power method and inverse power method is used to calculate part of the eigenvalues of the unsymmetrical matrices. The power method is used for seeking the eigenvalue with maximal module about the matrix. Inverse power method is used for finding the eigenvalue with minimal module in the way that power method acts on the contradiction of circle matrix. Jacobi and bisection are aimed at calculating the eigenvalues of real symmetrical matrices. In 1846, Jacobi raise the Jacobi method at first which is classic calculation to solve eigenvalue problem. Bisection is a kind of numerical method that is used for finding a any given eigenvalue of a three-diagonal matrix, it can seek some specified eigenvalues which is larger or smaller and it also can find eigenvalues between a certain range. To increase the effectiveness of these numerical methods, the paper will tell some improvement methods and discuss the convergence of these methods at end. Keywords: matrix; eigenvalue; power method; inverse power method; Jacobi method; bisection; 一、 引言 矩阵是高等数学的重要组成部分，在线性方程组的讨论中，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。除线性方程组外，还有大量的各种各样的问题也都提出了矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不一样的，表面上完全没有联系的问题，如物理学、力学、应用数学及科学技术领域，在数学上归结成矩阵问题以后却是相同的。例如，动力学系统和结构系统中的振动问题，物理学中某些临界值的确定等，这些实际问题都归结为求解下述数学问题。（1） 已知矩阵要求代数方程 （1.1） 的根，称为的特征多项式，上式按行列式展开即有 有个根（实根或复根），称为的特征值。（2） 设为的特征值，要求相应的齐次方程组：（或） （1.2）的非零解，（1.2）的非零解成为矩阵的对应于的特征向量。这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念。矩阵计算是大多数科学与工程计算的核心。矩阵特征值算法研究作为矩阵计算的重要方向，矩阵特征值在工程上具有广泛的应用，许多复杂的实际问题，如飞机、空间站、海洋钻探石油平台等大型复杂结构的动力分析和稳定性分析都可转化为大型稀疏矩阵的特征值问题。这些应用一直推动着这个领域的发展。正是由于矩阵特征值问题在许多学科内的应用，矩阵特征值问题数值求解的理论求解、算法研究和软件开发等是当今计算数学和科学工程计算研究领域中的重大课题，是大规模科学与工程计算的最基本的组成部分和重要的分支之一，国际上研究极为活跃。 二、 简单矩阵特征值的计算方法 （一）矩阵特征值的相关概念1、 矩阵对角化设，存在非零向量使得；一个复数称作是矩阵的一个特征值，称作是的属于的一个特征向量。由此可知，是的一个特征值的充分必要条件是。称多项式为的特征多项式。由行列式的性质可知是一个首项为的次多项式，由代数基本定理知有个根，即有个根，即有个特征值。记得特征值的全体为，通常称为的谱集。谱分解定理若是对称的，则存在正交矩阵使得矩阵对角化的条件：设，（1） 若矩阵的特征方程没有重根，则一定可以对角化。（2） 若矩阵的特征方程有重根，则是否能对角化要看特征值对应的特征向量总个数，如果线性无关的特征向量个数等于，则可以进行对角化，否则不能。、 相似变换设，若存在非奇异阵使得，则称与是相似的，上述变换称作相似变换。两个矩阵相似的性质：（）若与相似，则与有相同的特征值，并且是的一个特征向量的充分必要条件是是的一个特征向量。（）若A与B相似，则与相似，与有相同的特征值。、Jacobi标准型如果能找到一个适当的变换矩阵X，使B得特征值和特征向量容易求得，就可得到A的特征值和特征向量。很多计算非对称特征值的数值方法基于这种理论思想利用相似变换将矩阵约化成最简单形式，即Jordan标准型Jacobi分解定理 设有个互不相同的特征值，其重数分别为，则必存在一个非奇异矩阵使得其中称为Jordan块。，可以任意改变次序，因此可以说Jordan标准型是唯一的。Jordan标准型的性质：（）Jordan块个数等于A的线性无关的特征向量的个数。（）A可对角化的充要条件是每个Jordan块是的，此时的列向量就是的特征向量。4、矩阵的三角分解-选主元的LU分解以n阶单位矩阵的n个列向量为列构成的n阶方阵称为n阶置换矩阵，这里的的一个全排列。定理设A为非奇异矩阵，则存在置换矩阵P，使得，其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵。5、矩阵的范数设，则的行范数，的列范数，的“2”范数。的范数6、平面旋转矩阵（Givens变换）设，则变换或是平面上向量的一个旋转变换，其中为正交矩阵。中绕轴的旋转变换或中的变换或称为平面上的平面旋转变换(或称Givens变换），称为平面旋转矩阵。显然P与正交矩阵I只是在位置元素不一样，其他相同，且P为正交矩阵，利用平面旋转变换，可以使向量中指定的元素变成零。显然有，于是可选择使，得到（二）简单矩阵的特征值方法-定义法简单的低阶矩阵的特征值计算，通常可以直接计算出来，利用特征值的定义式，得到多项式，多项式的根就是矩阵的特征值。例如解 ，令特征多项式等于零解得特征值是-1（二重）和5.将特征值-1代入齐次方程组，得到属于-1的两个线性无关的特征向量，同理可得属于5的特征向量。三、非对称特征值问题的计算方法（一） 、幂法. 幂法的基本思想假设是可对角化的，即有如下的分解，其中，再假定现在任意取一个向量由于的列向量构成的一组基，故可表示为这里的，利用特征值性质有，由此即知，。当而且充分大时，向量是的一个近似特征向量。由于无法事先知道的值以及对充分大的不确定性，实际运算的时候无法使用。 幂法的迭代格式设初始向量是任意给定的，且规范化，= 幂法收敛性下面讨论幂法的收敛性定理3设有p个互不相同的特征值满足，并且模最大特征值是半单的。如果初始向量在的特征子空间上的投影不为零，则由上述迭代格式产生的向量序列收敛到的一个特征向量，而且由迭代格式产生的数值序列收敛到。由第一小节可得又因，i=2,3,.,n.所以，当时，向量收敛到，所以向量序列收敛到，即A的最大模的特征值对应的特征向量，则数值序列收敛到。 显然，该迭代格式的收敛速度取决于，越趋向1，收敛速度越慢。引进平原加速法，可以加快收敛速度。设矩阵，其中p是可选择的参数。设的特征值为，则B的特征值为，且和的特征向量相同。如果需要计算的主特征值，要适当地选择使满足：（1） 、是的主特征值（2） 、4、 数值算例用幂法计算矩阵的主特征值以及相应的特征向量，当特征值有3位小数稳定时终止迭代。解：取=1,1,1;迭代7次就可以得到有3位小数稳定的特征值。迭代次数主特征值特征向量X1特征向量X2特征向量X31810.75029.2510.648648648648649-0.29729729729729739.54054054054054010.617563739376771-0.37110481586402349.59490084985835710.608798346619427-0.38883968113374759.60407440212577510.606412739401765-0.39309539180423669.60542900181376610.605776831863788-0.39412075338848879.60557200236834110.605609752278089-0.394368923692962.程序详见附录1.（二） 反幂法1、迭代格式基本思想：反幂法就是应用幂法于上求的模最小特征值的方法。基本迭代方式如下：.若A的特征值为，则收敛到A的对应于的特征向量，而收敛到，其收敛速度由的大小决定。反幂法主要是用来求特征向量的，是在用某种方法求得A的某个特征值的近似值之后，应用反幂法于上。实际计算中常用的是带位移的反幂法。带原点位移的反幂法的迭代格式：如果存在，显然特征值为对应的特征向量为。设与其他特征值是分离的，即，说明是的主特征值。由迭代格式可以看出，反幂法每迭代一次就需要解一个线性方程组，由于方程组的系数矩阵不随k的变化而变化，所以需要对系数矩阵进行列选主元的分解，使每次迭代只需解两个三角形方程组。，其中为置换矩阵，可以按下述方法取回代求解即得. 2、 收敛性定理（1）设有个线性无关特征向量即（2） 取为特征值一个近似值，设存在且 则由反幂法迭代式构造向量序列满足：(a)(b)且收敛速度由比值确定。3、 数值算例用反幂法计算矩阵的最接近于6的特征值及对应的近似特征向量。解：选取，由反幂法的收敛性可以知道与特征值越接近，其收敛速度越快，并且常常只需迭代一次就可以得到很好的近似解。通过迭代计算，解得，对应的特征向量。算法程序详见附录2. 四、对称矩阵特征值的计算方法（一） 、Jacobi方法1、基本思想任何一个实对称矩阵都可以通过正交相似变幻约化为对角矩阵，Jacobi方法利用一系列适当选取的平面旋转变换将一个实对称矩阵逐步约化为对角阵来计算矩阵的全部特征值及特征向量。定理设为对称矩阵，则存在一个正交矩阵P使得且（1） 为的特征值；（2） 列向量为A对应的特征向量；（3） 。即选择平面旋转矩阵，使收敛于对角阵。Jacobi方法的目标是将的非对角“范数”逐步约化为零。2、平面旋转变换的过程Jacobi方法一次约化的步骤是：（1） 选择旋转平面；（2） 确定旋转角度，使旋转变换后成为对角矩阵；（3） 对进行相似变换。考虑2阶对称矩阵，设为对称阵，选择平面旋转矩阵使得，矩阵的元素，令，得到旋转矩阵，即选。如果，得到如果，令，并代入可知，是如下二次方程的解：。t有两个解,我们选择绝对值较小的根这样选择保证了旋转角满足，和可由下面公式确定下面考虑如何选取旋转平面，由于范数在正交变换下保持不变，故有另一方面，由变换公式可知为使尽可能小，从上式可知的最佳选择应是，即应选取非对角元素中绝对值最大者所在的行列式为旋转平面，然后再确定和。迭代格式3、 收敛性定理：设阶对称矩阵和的特征值分别为，则有.定理(1)设为阶对称矩阵；（2） 古典方法产生的，则 证明：先证，已知，这里的是的非对角元中绝对值最大元素。，将此式代入上式，有其中，由此即知再证存在的特征值的一个排列使得假定的互不相同的特征值之间的最小距离为任取正数知，存在，注意到，对矩阵与其对角元作成的对角阵由定理可知，存在的特征值的一个排列，使得只要证明上式蕴含着则由归纳法原理即知对一切有，从而得到证明。下面证明中蕴含。由于的对角元素只可能有两个，故只需证明对成立即可。同理可证这样，对任何我们有这里用到。此外，由于，应用定理，必须与A的某个特征值之间的距离小于，结合上式知对成立，同理可推出成立。从定理的证明过程可以看出，对Jacobi方法的收敛性起到了至关重要的作用，它保证了迭代产生的每一个对角元将目标一致的趋向于A的某一固定的特征值，此外这一定理的证明过程也给出了Jacobi方法收敛速度的一个粗略估计这表明Jacobi方法是线性收敛的。循环Jacobi方法已经证明Jacobi方法的渐近收敛速度是二次的。4、 Jacobi方法的改进-过关法基本思想：首先确定一个关值，即一个正数，在一次特殊循环的扫描中，只对那些绝对值超过关值的非对角元素所在平面进行Jacobi变换；这样反复扫描，当所有的非对角元素的绝对值都不超过关值时，减少关值，再按新的关值进行扫描，如此循环，直到关值充分小使整个过程收敛。具体步骤：首先计算对称矩阵A的所有非对角元素平方之和的平方根，即然后设置第一道关口，对中的非对角元素进行逐行扫描，分别与进行比较，若，则让其过关，否则用旋转变换将变为零。需要注意的是，在某次旋转变换中变为零的元素，在以后的旋转变换中可能又变为非零元素，因此要重复扫描，直到约化所有的元素都满足.矩阵中的非对角元素都满足第一道关口条件后，再设置第二道关口，重复上一道关口的扫描过程，过关条件改为重复以上过程，进过一系列关口，直到满足条件，为预先给定的精度要求。5、 数值算例(1) 用雅克比方法求下列是对称矩阵的全部特征值与相应的特征向量。取，最大迭代次数是100.编写程序实现运算结果：特征值为，特征向量为，（2） 用雅克比过关法求下列额矩阵的全部特征值与对应的特征向量：取程序运行结果如图特征值特征向量特征向量特征向量特征向量特征向量6.9948380.654083-0.052151-0.3872970.6237020.1745059.3655550.1996810.8599640.3662210.159101-0.2473031.6552660.2565100.5055750.7043770.227297-0.36164215.80892-0.660403-0.000201-0.1189260.692684-0.26441119.17542-0.1742800.04621920.4534230.2328220.841244（二）、二分法1、 预备知识设是一个实对称三对角矩阵，不失一般性，假定即假定T是不可约的对称三对角矩阵，否则，可将分为几个阶数更小的不可约对称三对角矩阵。记为的i阶顺序主子式，则由三对角矩阵的特点和行列式的性质，易证满足下面的三项递推公式：由于T是实对称的，故多项式的根都是实的定理 设的i阶顺序主子式，则有（1） 存在正数M,使当时，有，而的符号为，（2） 相邻两个多项式没有公共根；（3） 若（4） 的根全是单重的，并且的根严格分隔的根.对任意给定的实数，定义。这里规定：若。现举例说明这一概念设则有对于，我们有，按规定，同号，同号，从而这一数列的变号数为。定理 在T为不可约对称三角阵的假定下，恰好是在区间内根的个数。 推论若T是不可约对称三对角矩阵，则正好是该矩阵在区间之内特征值的个数。2、二分法的基本思想设的特征值为，则必有.假设要求使用二分法求的第个特征值.先取必在区间内.取该区间的中点，并计算.若，则，于是取；否则，于是取.这样我们得到了一个长度比减少一半的区间，它仍然含有特征值.继续进行这一过程，经过次二等分过程，将得到一个长度为的区间，它仍然含有特征值，当充分大的时候，这个区间的长度非常小，因此可取该区间的中点作为的近似值。二分法的主要工作量是计算，在实际计算中，此值不能直接通过计算的值实现，这是因为大型矩阵的高阶多项式的计算容易发生溢出，因此引进避免这一问题，定义有三项递推式，得易知，正好是数列中负数的个数，我们只要计算非负数的个数就可以得出。3、 数值算例二分法求解下列矩阵的全部特征值。解：取，解得，同理可得其他特征值，。与直接求解得出的精确解相比较：精确到小数点后五位的解二分法求得的解0.3819660.3823241.3819661.3823242.6180332.6176763.6180333.617676算法实现程序详见附录3. 五、总结文中介绍的计算矩阵特征值的数值方法，仅是矩阵的特征值计算众多方法中的几种基本方法。许多简单快捷的计算方法都是在最基本的计算方法中衍生，在同一种思想下走出了新路，大量优秀的计算方法涌现更加突出了计算方法的基本思想的经典。本文介绍了四种简单的计算方法，相对于矩阵计算这门发展迅速、应用广泛的学科来讲已微不足道。除了本文介绍的四种方法，QR方法与分而治之法也是研究矩阵特征值的基本算法。矩阵的特征值计算不仅追求计算思想的日新月异，而且对计算软件的开发也有了更高要求。通过对矩阵特征值的计算方法的学习，从基本算法思想到具体的计算步骤，由浅及深的认识和掌握了四种基本的特征值计算方法，并深刻意识到自主学习的重要性。参考文献：1易大义，陈道琦.数值分析引论M.杭州：浙江大学出版社，1998.2徐树方，高立，张平文.数值线性代数M.北京：北京大学出版社，2000.3北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数M.北京：高等教育出版社，2003.4徐士良.数值方法与计算机实现M.北京：清华大学出版社，2006.5刘叶玲.实对称矩阵特征值和特征向量的数值算法A.西安科技大学学报.2006.附录：1、 用幂法计算矩阵的主特征值的matlab程序实现u1=1,1,1;A=7,3,-2;3,4,-1;-2,-1,3;a=1;m1=0;m2=0;while a0.001 u0=u1; v=A*(u0); m=norm(v,inf) u1=v/m m2=m1; m1=m; a=a+1;end2、 用反幂法计算矩阵特征值及特征向量的matlab程序实现A=6,2,1;2,3,1;1,1,1;I=1,0,0;0,1,0;0,0,1;s=6;L,U,P=lu(A-s*I);v1=inv(U)*1,1,1;u1=v1/norm(v1,inf);a=1;while a=0.001 r=(l0+u0)/2; x=2,2,2,2;y=0.0,-1.0,-1.0,-1.0;s=0;q=x(1)-r;u=0.00001;m=2;for k=1:4 if q0 s=s+1; end if k=m u0=r;else l0=r;endendr=(l0+u0)/224山东师范大学本科毕业论文（设计）题目审批表学院：数学科学学院 (章)系别/教研室：信息与计算科学 时间：2014.12.14课题情况题目名称计算矩阵的特征值的几种数值方法及其程序实现课题性质A基础研究 B基础应用研究 C应用研究教师姓名尹哲职称讲师学位课题来源A.科研 B.生产 C.教学 D. 学生自拟 E. 其它成果类别A.论文 B.设计主要研究内容与研究目标本课题研究的主要内容是矩阵的特征值的算法，根据几种不同的矩阵，使用与之相对应的算法实现数值运算。这里把矩阵分为了对称矩阵和非对称矩阵，对称矩阵使用Jacobi方法、二分法以及改进的Jacobi过关法，非对称矩阵使用了幂法、反幂法和改进的加速方法计算特征值。本篇论文的研究目标是通过几种矩阵特征值的数值算法程序实现，了解算法的收敛速度和运算效率。 指导教师签字： 年 月 日 选题学生签字： 年 月 日系所或教研室审题意见负责人签字: 年 月 日学院审批意见学院学位分委员会主任签字: 年 月 日山东师范大学本科毕业论文（设计）开题报告论文题目：计算矩阵特征值的几种数值算法及其程序实现学院名称： 数学科学学院 专 业： 信息与计算科学专业 学生姓名： 吕俊玲 学 号： 201100820227 指导教师： 尹哲 2014年 12 月 26 日一、选题的性质 基础性研究二、 选题的目的和意义特征值问题在科学和工程上的应用：自从1946年世界第一台计算机问世，经过半个世纪的发展，科学工程计算已经成为当今世界最重要的科学进步之一。矩阵计算是科学与工程计算的核心，大部分的科学与工程计算都要归结为一个矩阵计算问题，其中具有挑战性的问题是大规模矩阵的计算问题。在工程上，矩阵的特征值具有广泛的应用，如大型桥梁或建筑物的震动问题；机械和基建的震动问题，飞机机翼的颤振问题；无线电电子学及光学系统的电磁震动问题，调节系统的自震问题以及声学和超声系统的震动问题。又如天文、地震、信息系统、经济学中的一些问题与矩阵的特征之问题密切相关。在科学上，计算流体力学、统计计算、量子力学、化学工程和网络排队的马尔可夫链模拟等实际问题，最后都归结为矩阵的特征值问题求解。由于特征值问题在许多学科中具有广泛的应用，因此矩阵特征值问题的求解理论研究、算法的开发、软件的研制等是当今计算数学和科学与工程计算研究领域的重大课题。三、与本课题相关的国内外研究现状，预计可能有所创新的方面在进行特征值计算时，由于初始数据的误差，计算机字长的限制带来的舍入误差是不可避免的，这些误差对矩阵的特征值有什么影响，矩阵特征值对矩阵元素的扰动是否敏感，这个复杂的问题，我们称之为矩阵扰动分析。矩阵扰动分析主要是研究矩阵元素的变化对于矩阵问题的解的影响，它不仅仅与矩阵论和算子理论密切相关，而且对于矩阵计算同样是有重要的意义。 矩阵特征值扰动理论在上个世纪后半叶得到充分的发展，国外的发展体系比较完善，建立了矩阵特征值扰动理论的基本框架，国内在上世纪80年代中期以后，一批致力于基础理论研究的数学工作者在这一领域取得了长足的发展，使矩阵特征值扰动理论的分析方法、研究范围都有突破性的进展，为其在其他学科上的应用起到了导向和借鉴作用。四、 课题研究的可行性分析 目前，求解特征值问题的方法有两大类，一类成为变换方法；另一类称为向量迭代方法。变换方法是直接对原矩阵进行处理，经过一系列变换，使之变成一个易于求解特征值的形式，如Jacobi方法，Givens方法，QR方法等。变换方法由于要存储矩阵元素，因而只适合求解阶数较低的矩阵，它一般和向量迭代法合起来使用。向量迭代法是通过一系列矩阵向量乘积而求的特征和特征向量。由于向量迭代法可采用压缩存储技术，因而适合求解大型矩阵特征值，尤其是大型稀疏矩阵的特征值问题。求解中小规模的矩阵特征值问题最有效的方法是方法。目前，不仅在该方法的可靠性分析，数值稳定性研究方面取得大量成果，MATLAB中计算矩阵全部特征值和特征向量的函数子程序eig.m 即用QR原理编制。另外，还有一些如Jacobi方法等方法都是能有效解决此类问题的数值方法。因此，从某种意义上说，中小规模矩阵特征值问题的求解基本上得到完满解决。五、 课题研究的策略、方法和步骤研究策略：1.搜集相关资料，查阅相关书籍2.结合自己所学的专业知识和能力进行分析。4.通过老师指导完成课题研究。研究方法：1.文献资料法：查阅与本研究有关的国内文献资料数篇, 对本研究有关的文献资料进行充分的检索、分析和利用。2.科学实验法：将通过查阅资料获得的方法进行总结优化编程实现。课题研究的步骤第一阶段 2015年1月2011年2月 查阅文献，收集资料，提出研究报告的基本框架第二阶段 2015年3月2015年4月 进行总结研究，并进行编程实验第三阶段 2015年5月2015年6月 进行研究报告和专著的撰写工作六、 预期成果形式描述学位论文七、指导教师意见指导教师签字：年 月 日八、学院学位分委员会意见 学院学位分委员会主任签字： 年 月 日山东师范大学本科毕业论文（设计）教师指导记录表学院：数学科学学院 系别：信息与计算科学 专业：信息与计算科学专业论文（设计）题目：计算矩阵特征值的几种数值方法及其程序实现学生姓名吕俊玲学号201100820227指导教师尹哲职称讲师计划完成时间：2015年5月18日指导情况纪录（含指导时间、指导内容）2015年4月13日 指导论文的内容范围2015年4月22日 指导论文中算例选取，推荐参考书2015年4月30日 指导论文写作的结构2015年5月4日 指导论文的程序编写2015年5月15日 指导英文摘要修改 指导教师签字： 学生签字：学院学位分委员会主任签字： 年 月 日注：本科论文（设计）的指导应不少于5次，如表格空间不足可另附页。指导教师意见（包括选题的意义，资料收集或实验方法、数据处理等方面的能力，论