初中数学八年级上册旋转中的变与不变.doc

北师大版初中数学八年级上册《旋转中的变与不变》精品教案

教学目标：
1.体验常见图形旋转问题中的变与不变，探究引起变化的主要因素.
2.通过图形的探究，发现图形间的联系，学会总结规律.

教学重点、难点：

问题1
如图，把一个角的顶点放在正三角形ABC的中心O上，如果在这个角绕O点旋转的过程中，角的内部覆盖住三角形部分的面积不变，覆盖住正三角形部分的边长和也不变，则需要一个多大的角？试猜想并验证.

完成表格，总结结论
边长为a
面积为s

正三边形

正四边形

正五边形

……

正n边形
所需最小角

覆盖部分面积

覆盖部分边长和

活学活用
如图，两个全等的等腰直角三角形ABC和DEF(其直角边均为4)叠放在一起，且把三角形DEF的直角顶点D放在AB中点上，将三角形EFG绕D点顺时针方向旋转（旋转角α满足0°≤α≤90°）
(1)通过上面的探究，从图中你可以直接得到哪些结论？

(2)解决问题：连结MN，在上述旋转过程中，设BN=x，
△DMN面积为y,求y与x之间的函数关系式，
并写出自变量x的取值范围.

例题1
等腰直角三角形ABC中，AC=BC=2, ∠C=90°，将一直角EDF的顶点D放在斜边AB上，∠EDF绕D旋转，两条边分别交射线AC、CB于M、N.
如图1，当D点是AB边中点时，∠EDF交AC、CB边于点M、N,作DP⊥AC于P,DQ⊥BC于Q,易证△DPM≌△DQN,所以DM=DN,即：DM:DN=1:1 .

图3
图2
图1

探索与发现
如图2，D点仍是AB边中点，当DE、DF分别交AC、CB的延长线于点M、N时，DM:DN=1:1是否还成立？如果成立，请说明理由并结合图1一起总结结论.

猜想与证明
当D点在AB上满足AD:DB=1:2时， DM:DN=__:___;
当D点在AB上满足AD:DB=1:3时， DM:DN=__:___;
… …
当D点在AB上满足AD:DB=m:n时，猜想DM:DN的值并利用图3证明.

例题2
正方形ABCD的边长为3，AC上有点O,且AO=AC,以O为顶点的直角
∠EOF绕O点旋转.
(1)如图1，当OE、OF分别垂直于BC、DC时，求此时正方形ABCD被覆盖住部分的面积.

(2)若在旋转过程中，OE与边BC有交点为M，设CM=x,当x在什么范围内时，
∠EOF内部覆盖住正方形部分的面积不变？并求出这个面积的值.

图4
图3
图2

图1

(3) 如果∠EOF可以绕O点旋转360度，请你分析一下还有没有一个过程使得被覆盖部分面积不变？有的话请找出来并说明整个旋转过程中被覆盖部分面积的变化情况.

随堂练习
1.如图，正方形ABCD放在直角坐标系中，若顶点A(-3, 3),则图中阴影部分面积为_____平方单位.

2．两个全等的等腰直角三角形如图1摆放.

(1)如果把图1中的△BCN绕点C逆时针旋转90°，得到图2，则图2中除了
△ABC≌△CED、△BCN≌△ACF外，你还能找到一对全等的三角形吗？找出来并说明理由.

(2)将△CED绕点C旋转：
当M、N在AB上（不与A、B重合）时，线段AM、MN、NB之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式（不需证明）.

布置作业
课后接着探究随堂练习2
将△CED绕点C旋转，当M在AB上，点N在AB的延长线上时，(2)中得到的AM、MN、NB之间的关系式是否仍然成立，请说明理由.