空间向量例题更新.pdf

1空间向量在立体几何解题中的应用空间向量在立体几何解题中的应用一、空间向量的基础知识一、空间向量的基础知识1.向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算设=(a1，a2，a3)，=(b1，b2，b3)，则arbr=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)；=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)；=a1b1+a2b2+a3b3，arbrarbrarbra1=b1，a2=b2，a3=b3(R)或，a1b1+a2b2+a3b3=0arbr312123aaabbbarbr2.夹角和距离公式夹角和距离公式332211232221,cos;babababababaaaaa夹角公式 cos=arbr1 12 23 3222222123123a ba ba baaabbb距离公式设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|=ABuuu r222212121()()()xxyyzz向量与坐标关系，设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则),(121212zzyyxxABM 为中点时得中点坐标：x=，y=，z=即（，122xx122yy122zz122xx122yy）122zz由中点公式，可得以 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)为顶点的三角形重心的公式：x=，y=，z=即（，1233xxx1233yyy1233zzz1233xxx1233yyy）1233zzz3平面法向量的概念和求法平面法向量的概念和求法向量与平面垂直：向量与平面垂直：如果表示向量的有向线段所在的直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作nn平面的法向量：平面的法向量：如果，那么向量叫做平面的法向量nn一个平面的法向量有无数条，它们的方向相同或相反一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题推导平面法向量的方法如下：推导平面法向量的方法如下：在选定的空间直角坐标系中，设平面的法向量=(x，y，z)n2或=(x，y，1)或=(x，1，z)，或=(1，y，z)，在平面内任选定两个不共线的向量，由nnnab，得=0 且=0，由此得到关于 x，y 的方程组，解此方程组即可得到nn an bn例例 1在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，求平面 A1C1D 的法向量和单位法向量0nn解：建立空间直角坐标系，如图 1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，设面 A1C1D，=(x，y，z)得，nnn1DAuuu u rn1DCuuuu r又=(1，0，1)，=(0，1，1)1DAuuu u r1DCuuuu r，令 z=1 zyzxzyzxDCnDAn00;0011得11xy =(1，1，1)，0=nnnn(1,1,1)333(,)3331 1 1 二、空间向量在立体几何解题中的应用二、空间向量在立体几何解题中的应用(一一)空间角空间角1异面直线所成的角异面直线所成的角设点 A，B直线 a，C，D直线 b，构造向量，cos=，ABuuu rCDuuu rABuuu rCDuuu r|AB CDAB CDuuu ruuu ruuu ruuu r所对应的锐角或直角即为直线 a(AB)与 b(CD)所成的角ABuuu rCDuuu r例例 2在例 1 中，设 ACBD=O，求异面直线 D1O，DC1所成的角的余弦值解：如图建立空间直角坐标系 D-AC1，D(0，0，0)，1(0，0，1)，C1(0，1，1)，(1，0，0),C(0，1，0),则 0(,0)1212=(，1)，=(0，1，1)1DOuuuu r12121DCuuuu rzA1yxAC1BCD1B1D图 1zA1yxAC1BCD1B1D图 13cos=，1DOuuuu r1DCuuuu r11111326|322DODCDODCu u u u ru u u u ru u u u ru u u u r 异面直线 D1O，DC1所成的角余弦值为362线面所成的角线面所成的角如图，AB 为平面的斜线，为平面的法向量，如果与之间所成的角为锐角，则斜线 ABnABuuu rn与平面之间所成的角=即利用向量与求出的是角，实际上所求的角是2ABuuu rn若为锐角，则=，sin=cos；2若为钝角，则=()=，sin=cos22总之有，sin=|cos|=ABuuu rnnABnAB例例 3.在例 1 中，设 E、F 分别为 C1D1、B1C1的中点，求 A1D 与平面 EFBD 所成的角解：如图建立空间直角坐标系 D-AC1，D(0，0，0)，1(0，0，1)，B(1，1，0)C1(0，1，1)，B1(1，1，1),则 E(0，1)，F(，1，1)，1212设 面 EFBD，=(x，y，z)，得，nnnDBuuu rnDEuuu r又=(1，1，0)，=(0，1)DBuuu rDEuuu r12，令 y=2 yzyxzyyxDEnDBn210210;00得12zx=(2，2，1)，又=(1，0，1)，n1DAuuu u rsin=11|322|2 3DADAuuu u rruuu u rrnn即=则所求的 A1D 与平面 EFBD 所成的角为44nBAzxBA1yEFB1C1D1DCA图 2 lmn43二面角的求法：二面角的求法：二面角l，平面的法向量，平面的法向量则二面角lmn的平面角=所以，cos=mnmnnmnm若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都指向二面角内或外时，则为二面角的平面角的补角；mn当两个法向量的方向一个指向二面角内，另一个指向外时，则为二面角的平面角mn故在所求的二面角的平面角时，先求法向量的余弦值后利用图形观察其为锐角或钝角故在所求的二面角的平面角时，先求法向量的余弦值后利用图形观察其为锐角或钝角例例 4.在例 1 中，求二面角 D1ACD 的大小的余弦值解：如图建立空间直角坐标系 D-AC1，D(0，0，0)，1(0，0，1)，A(1，0，0),C(0,1,0)面ACD1，=(x，y，z)，得，1nn1nAC1n1AD又（1,1,0），（,0,1）AC1AD；令=(1，1，1)，xzxyzxyxADnACn00;00111得1n由已知可易得平面 DAC 的法向量是=(0，0，1)，2ncos,=，1n2n1212(1,1,1)(0,0,1)33|3rrrrnnnn由图知所求的角为锐角，则所求的余弦值为33练习练习 1：如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M 为 B1C1上一点，且B1M=2，点 N 在线段 A1D 上，且，求：)516,58,0(N1)求直线 A1D 与 AM 所成角的余弦值；2)直线 AD 与平面 ANM 所成的角的正切；3)平面 ANM 与平面 ABCD 所成角（锐角）的余弦值.5(二二)空间距离空间距离1点到面的距离点到面的距离 设 A 是平面外一点，AB 是的一条斜线，交平面于点 B，而是平面n的法向量，那么向量在方向上的正射影长就是点 A 到平面的距离为 dBAuu u rn所以 d=|cos,|BABABAuu u rruu u ruu u r rrnnn例例 5.例 1 中，设 G、H 分别是 A1B1、CD 的中点，求点 B 到截面 AGC1H 的距离解：如图建立空间直角坐标系 D-AC1，D(0，0，0)，C(0，1，0),B1(1，1，1)，A1(1，0，1)，则 H(0，0)，G(1，1)，1212A(1，0，0)，设面AGG1H，则，nnAGuuu rnAHuuu r令=(x，y，z)，则=(0，1)，=(1，0)有：nAGuuu r12AHuuu r12=0，=0，n AGuuu rn AHuuu r22121021021yyxyzyxzy令点到面的距离线到面的距离线到线的距离面到面的距离ABdnzA1yxAC1BCD1B1D图 16ABCDnab图 3=(1，2，-1)，又=(0，1，0)，nABuuu r所以点 B 到截面 AGC1H 的距离为 d=故所求距离为263|16AB nABuuu rruuu rrn36练习练习 2：在例 1 中，求点 A1到平面 ACD1的距离2异面直线间的距离异面直线间的距离如图 3，若 CD 是异面直线 a、b 的公垂线段，A、B 分别为 a、b 上的任意两点令向量a，b，则nnn CDuuu r=+，ABuuu rACuuu rCDuuu rDBuuu r=+，ABuuu r nACuuu r n CDuuu r nDBuuu r n=，ABuuu r n CDuuu r n|=|，|=两异面直线 a、b 间的距离为：d=ABuuu r nCDuuu r nCDuuu r|ABuuu rrrnn|ABuuu rrrnn其中与 a、b 均垂直(即 a，b 的公垂向量)，A、B 分别为两异面直线上的任意两点n例例 6在例 1 中，求直线 DA1和 AC 间的距离解：=(1，1，0)，=(1，0，1)设 DA1和 AC 公垂线段上的向量为=(x，y，z)，ACuuu r1DAuuu u rn由，即可取=(1，1，1)，100ACDAruuu rruuu u rnn100 xxzxyzxyx令n又=(0，0，1)，所以点 A 到平面 A1C1D 的距离为 d=，1AAuuu r1|33|AAuuu rrrnn即直线 DA1和 AC 间的距离为337ABCDOSxyz图 4练习练习 3如图 4，正四棱锥 SABCD 的高 SO=2，底边长 AB=，求异面直线 BD 和 SC 之间的距2离3线面距离线面距离直线 a 与平面平行时，直线上任意一点 A 到平面的距离就是直线 a 与平面之间的距离其求法与点到面的距离求法相同4平面与平面间的距离平面与平面间的距离平面与平面平行时，其中一个平面上任意一点到平面的距离就是平面与平面间的距离其求法与点到面的距离求法相同1）用法向量求直线到平面间的距离，首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题2）用法向量求两平行平面间的距离，首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题例例 8在例 1 中，设 P、Q、R 分别是 A1C1、A1D 和 B1A 上任一点，(1)求证：平面 A1PQ平面 B1RC；(2)求平面 A1PQ 与平面 B1RC 间的距离解：(1)由前面例题知=(1，1，0)，=(1，0，1)，11ACuuuu r1BCuuu r=(1，0，1)，=(0，1，1)，1ADuuu u r1B Auuu r设，(、R，且均不为 0)111APACuuu ruuuu r11AQADuuuruuu u r11B RB Auuu ruuu r设、分别是平面 A1PQ 与平面 B1RC 的法向量，1nu r2nu u rQyPRxzD1C1B1A1CDBA8由即即，可解得：=(1，1，1)，111100APAQruuu rruuurnn1111100ACADruuuu rruuu u rnn1111100ACADruuuu rruuu u rnn1nu r由即即，可解得=(1，1，1)，221100B RnBCruuu rruuu rn212100B ABCruuu rruuu rnn221100B ABCruuu rruuu rnn2nu u r所以=，所以平面 A1PQ平面 B1RC1nu r2nu u r1nu r2nu u r如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用=0 来证1n2nu u r1n2nu u r明(2)A(1，0，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，=(1，0，1)，=(0，0，1)，=(1，0，0)，1DAuuu u r1DCuuuu rADuuu r设平面 A1C1D 的一个法向量=(x，y，1)，nr则，即，=(-1，-1，1)1100DADCru u u u rru u u u rnn(,1)(1,0,1)0(,1)(0,1,1)0 x yx y11xy nr平面 AB1C 与平面 A1C1D 间的距离 d=222(1,0,0)(1,1,1)|33|(1)(1)1ADuuu rrr nn将平面将平面 AB1C 与平面与平面 A1C1D 间的距离转化成点间的距离转化成点 A 到平面到平面 A1C1D 的距离的距离例例 9.9.已知斜三棱柱，在底面上的射影恰为111ABCABC90BCAo2ACBC1AABC的中点，又知。（I）求证：平面ACD11BAAC1AC；（II）求到平面的距离1ABC1CC1A AB证明：证明：（I）如图，取的中点，则，因为ABE/DEBC，所以，又平面，BCACDEAC1AD ABC以为轴建立空间坐标系，则1,DE DC DA,x y z，0,1,0A0,1,0C2,1,0B10,0,At，10,2,Ct，10,3,ACtuuuu r12,1,BAt uuu r2,0,0CB uu u r9由，知，又，从而平面；10AC CBuuu ruu u r1ACCB11BAAC1AC 1ABC（II）由，得。1ACuuuu r2130BAt uuu r3t 设平面的法向量为，所以1A AB,nx y zr10,1,3AA uuu r2,2,0AB uuu r，设，则130220nAAyznABxyruuu rruuu r1z 3,3,1n r所以点到平面的距离。1C1A AB1ACndnuuuu rrr2 217(三三)证明面面平行或面面垂直；线面平行或线面垂直等证明面面平行或面面垂直；线面平行或线面垂直等若两平面、的法向量分别为、，则1nu r2nu u r(1)当=0 时，平面平面；(2)当=，即它们共线时，平面平面1nu r2nu u r1nu r2nu u r若平面的一法向量为，直线 AB 在平面外，则nr(1)当=0 时，AB平面；(2)当=，即它们共线时，AB平面nr ABuuu rnrABuuu rAB平面内的两条相交直线，则 AB平面10例例 9如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为3，侧棱长为，D 是 CB 延长线上一点，且3 32BD=BC求直线 BC1与平面 AB1D 之间的距离；解：由题设知，AD，AC，AA1两两垂直，建立空间直角坐标系 A1DCA1，则A(0，0，0)，B(，0)，C(0，3，0)，D(3，0，0)，3 32323B1(，)，C1(0，3，)可求得平面 AB1D 的一个法向量为=(0，-1)3 32323 323 32nr3直线 BC1与平面 AB1D 之间的距离为d=3 3 3|(0,3,1)(,0)|3 3224|(0,3,1)|ABruuu rrnnA1C1B1BACD11(2)平面 ABD 的一个法向量为=(0，0，)，1AAuuu r3 32cos=，1AAuuu r13 3|3 32|24AA uuu rnn二面角 B1ADB 的大小为 arccos3 34(3)取 AB 中点 M(，0)，则=(-，0)是平面 ABB1的一个法向量，点 C 到3 3434MCuuu u r3 3494平面 ABB1的距离为h=1，3 3 33 3 927|(,0)(,0)|2244427|3 3 9|(,0)|444BC MCMC uuu r uuu u ruuu u r又 SABB1=，三棱锥 C1ABB1的体积为9 343 341213例例 10如图 8，已知 ABCD 是矩形，PD平面ABCD，PD=DC=a，AD=a，M、N 分别是 AD、PB 的中2点求证：平面 MNC平面 PBC证明：证明：建立空间直角坐标系 DACP，则P(0，0，a)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，2M(a，0，0)，N(a，)22222a2a=(a，a，-a)，=(-a，0，0)，PBuu u r2BCuuu r2=(a，-)，=(-a，a，0)，NCuuu r222a2aMCuuu u r22设 n1=(x，y，1)为平面 PBC 的法向量，则 n1=0，n1=0，PBuu u rBCuuu r，解之得:，n1=(0，1，1)2020axyaaax01xy同理可求平面 MNC 的一个法向量：n2=(-，-1，1)，2而 n1n2=0-1+1=0，n1n2，故平面 PBC平面 MNC若若 ，则，则；反之也成立若；反之也成立若 ，则，则；反之也成立；反之也成立nuu rnuu rnuu rnuu r利用法向量来解决上述五种立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题但是也有局限性，高中阶段用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正(长)方体、直棱柱、正棱锥等图 8ABCDNPM14事实证明，法向量在求角、距离以及证明平行垂直中都有非常广泛的应用，它在中学数学中的出现，是对传统的立体几何知识一个很好的补充及加深15例 7长方体 ABCDA1B1C1D1中AB=2，AD=4，AA1=6，E 是 BC 的中点，F 是 CC1的中点，求(1)异面直线 D1F 与 B1E 所成角大小的余弦值；(2)二面角 D1AED 大小的余弦值；(3)异面直线 B1E 与 D1F 的距离分析：建立空间直角坐标系 ABDA1，则(1)=(2，0，-3)，=(0，2，-6)，1D Fuuuu r1B Euuu rcos=，1D Fuuuu r1B Euuu r1111189 130130|1340D F B ED FB Euuuu r uuu ruuuu ruuu r异面直线 D1F 与 B1E 所成的角为 arccos9 130130 (2)显然平面 AED 的一个法向量为=(0，0，6)，1AAuuu r设平面 AED1的一个法向量为 n=(x，y，1)，且 n，n，则，AEuuu r1ADuuuu r100AEADuuuu ruuuuu rnnzyxFCBEAA1B1C1D1D16=(2，2，0)，=(0，4，6)，AEuuu r1ADuuuu r，n=(，-，1)(,1)(2,2,0)0(,1)(0,4,6)0 x yx y220460 xyy3232xy 3232cos=，得=arccos1AAuuu r1162211|611/2AAAAuuu ruuu rnn2211二面角 D1AED 的大小为 arccos2211(3)令向量 m=(x，y，1)，且 m，m，则，1B Euuu r1D Fuuuu r1100B ED Fuuuuu ruuuuu rmm，m=(，3，1)(,1)(0,2,6)0(,1)(2,0,3)0 x yx y260230yx323xy32异面直线 B1E 与 D1F 之间的距离为：d=3|(0,2,3)(,3,1)|91823|7/27|(,3,1)|2EFuuu rmm17练习练习 1：如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M 为 B1C1上一点，且B1M=2，点 N 在线段 A1D 上，且，求：)516,58,0(N1)；1cos,AD AMuuu u r uuuu r2)直线 AD 与平面 ANM 所成的角的正切；3)平面 ANM 与平面 ABCD 所成角（锐角）的余弦值.解析：(1)以 A 为原点，AB、AD、AA1所在直线 为 x 轴，y 轴，z 轴.则 D(0,8,0)，A1(0，0，4)，M(5,2,4)4,8,0(1DA)4,2,5(AM01 AMDA0,cos1AMDA(2)由(1)知 A1DAM，又由已知 A1DAN，平面 AMN，垂足为 N.DA1因此 AD 与平面 ANM 所成的角即是.DAN181tantan2DANAAD(3)平面 ABCD，A1N平面 AMN，1AA分别成为平面 ABCD 和平面 AMN 的法向量。11NAAA和设平面 AMN 与平面 ABCD 所成的角（锐角）为，则11115coscos,coscos5AA NAAANAADuuu r uuu rPBCA19如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，PAABBC2，E 为 PA 的中点，过 E 作平行于底面的平面 EFGH，分别与另外三条侧棱相交于点 F、G、H.已知底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ABAD，BCD=135.（1）求异面直线 AF 与 BG 所成的角的大小；（2）求平面 APB 与平面 CPD 所成的锐二面角的大小.解解 由题意可知：AP、AD、AB 两两垂直，可建立空间直角坐标系 A-xyz由平面几何知识知：AD4,D(0,4,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(1,0,1),G(1,1,1)(1)(1,0,1),(1,1,1)AF BG 0，AF BG AF 与 BG 所成角为 .2(2)可证明 AD平面 APB，平面 APB 的法向量为 n(0,1,0)设平面 CPD 的法向量为 m(1，y，z)由00m CDm PDuuu rguuu rg y1z2)故 m(1,1,2)20ABCDOSxyz图 4cosm mn n|m m|n n|66平面 APB 与平面 CPD 所成的锐二面角的大小为 arccos.66练习练习 2：在例 1 中，求点 A1到平面 ACD1的距离解析：平面 ACD1的单位法向量 n0=(，)，333333又=(0，0，1)，设点 A1到平面 ACD1的距离为 d，则1AAuuu rd=|n0|=|(0，0，1)(，)|=1AAuuu r33333333所以，点 A1到平面 ACD1的距离为33练习练习 3如图 4，正四棱锥 SABCD 的高 SO=2，底边长 AB=，求异面直线 BD 和 SC 之间的距2离分析：建立如图所示的直角坐标系，则A(，-，0)，B(，0)，22222222C(-，0)，D(-，-，0)，22222222S(0，0，2)=(，0)，DBuuu r22=(，-，2)CSuu u r2222令向量 n=(x，y，1)，且 n，n，则，DBuuu rCSuu u r00DBCSuuuu ruuuu rnn21，(,1)(2,2,0)022(,1)(,2)022x yx y02 20 xyxy22xy n=(-，1)22异面直线 BD 和 SC 之间的距离为：d=22222|(,0)(2,2,1)|1 1 0|2 522|5|(2,2,1)|(2)(2)1OC uuu rnn