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余弦定理练习题及答案

积累巩固
1. 已知是中角的对边,若，则A＝ .
2. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则A＝ .
3. 在△中，三个角的对边边长分别为,则
的值为 ．
4. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ．
5. 在△ABC中，已知a＝1，b＝，B＝60°，求边C．
延伸拓展
6. 在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，解此三角形．
7. 已知、、分别是的三个内角、、所对的边，若面积求、的值．
8.在 △ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若 ，求证：．
9. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知，求：
（1）A的大小；（2）的值．
10. 设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求：
（1）的值；（2）的值.

创新应用
11. 在△ABC中，a、b是方程的两根，且.求：
（1）角C的度数；（2）c；（3）△ABC的面积.

12. 已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．
（1）求； （2）若，求的面积 ．

13．当甲船位于A处时获悉，在其正东方方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10海里C处的乙船，试问乙船直接赶往B处救援最少要走多少海里？

参考答案
1. 解析：，．
2. 解：由余弦定理可得
,解得．
3. 解：由余弦定理，所求式．
4. 解：设顶角为C，因为，由余弦定理得
．
5. 解：由余弦定理得 ()2＝12＋c2－2ccos60°，
∴c2－c－6＝0，解得c1＝3，c2＝－2(舍去)；∴c＝3．
6. 解：由a2＝b2＋c2－2bccosA得22＝()2＋c2－2ccos45°，∴c2－2c－2＝0，
解得c＝1＋或c＝1－(舍去)；∴c＝1＋．
又cosB＝＝＝，且B为三角形内角；
∴B＝30°； ∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°．

7. 解：，，得
由余弦定理得，
∴．
8. 证明：由已知得： ，
　　∴ ，
　　∴ ，
∴ ，即 ．
9. 解：(1)由余弦定理得

(2)

10. 解：（1）由余弦定理得

（2）由余弦定理及（1）的结论有

　　　　 故
　同理可得

　　　　　从而
11. 解：(1)∵，∴，∴角C的度数为120°.
(2)∵a、b是方程的两根，
∴由求根公式计算得 ，,
由余弦定理得＝12－2＝10.
∴.
(3).
12. 解：（1），；
又，；， ．
（2）由余弦定理得，
∴ ，
即，；
．
13. 解：在△ABC中，，
∴．
答：乙船直接赶往B处救援最少要走海里．