第22章-二次函数压轴题【解析】.doc

2016年11月29日Can的初中数学组卷一解答题（共10小题）1如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求PAC为直角三角形时点P的坐标2如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由3如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标4二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（1，4），且与直线y=x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BCx轴，垂足为点C（3，0）（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NPx轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标5如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由6如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）（1）求二次函数的解析式（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求BDE的面积（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成ADP，是否存在SADP=SBCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在请说明理由7如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得QMB与PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由8如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PGAB于点G求出PFG的周长最大值；（3）在抛物线y=x2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得ABM与ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由9已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且SABM=3，求点M的坐标；（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PDx轴于点D将抛物线y=x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与x轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由10如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点A的坐标为（4，0），以OA为一边，在第一象限作等边OAB（1）求点B的坐标；（2）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；（3）直线y=x与（2）中的抛物线在第一象限相交于点C，求点C的坐标；（4）在（3）中，直线OC上方的抛物线上，是否存在一点D，使得OCD的面积最大？如果存在，求出点D的坐标和面积的最大值；如果不存在，请说明理由2016年11月29日Can的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共10小题）1（2015枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求PAC为直角三角形时点P的坐标【解答】解：（1）B（4，m）在直线y=x+2上，m=4+2=6，B（4，6），A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，解得，抛物线的解析式为y=2x28x+6（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n28n+6），PC=（n+2）（2n28n+6），=2n2+9n4，=2（n）2+，PC0，当n=时，线段PC最大且为（3）PAC为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则APC=90由题意易知，PCy轴，APC=45，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则PAC=90如答图31，过点A（，）作ANx轴于点N，则ON=，AN=过点A作AM直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，AMN为等腰直角三角形，MN=AN=，OM=ON+MN=+=3，M（3，0）设直线AM的解析式为：y=kx+b，则：，解得，直线AM的解析式为：y=x+3 又抛物线的解析式为：y=2x28x+6 联立式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）C（3，0），即点C、M点重合当x=3时，y=x+2=5，P1（3，5）；iii）若点C为直角顶点，则ACP=90y=2x28x+6=2（x2）22，抛物线的对称轴为直线x=2如答图32，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，则点C在抛物线上，且C（，）当x=时，y=x+2=P2（，）点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，综上所述，PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）2（2015酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x1）（x5），把点A（0，4）代入上式得：a=，y=（x1）（x5）=x2x+4=（x3）2，抛物线的对称轴是：x=3；（2）P点坐标为（3，）理由如下：点A（0，4），抛物线的对称轴是x=3，点A关于对称轴的对称点A的坐标为（6，4）如图1，连接BA交对称轴于点P，连接AP，此时PAB的周长最小设直线BA的解析式为y=kx+b，把A（6，4），B（1，0）代入得，解得，y=x，点P的横坐标为3，y=3=，P（3，）（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2t+4）（0t5），如图2，过点N作NGy轴交AC于G；作ADNG于D，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=x+4，把x=t代入得：y=t+4，则G（t，t+4），此时：NG=t+4（t2t+4）=t2+4t，AD+CF=CO=5，SACN=SANG+SCGN=ADNG+NGCF=NGOC=（t2+4t）5=2t2+10t=2（t）2+，当t=时，CAN面积的最大值为，由t=，得：y=t2t+4=3，N（，3）3（2016枣庄）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标【解答】解：（1）依题意得：，解之得：，抛物线解析式为y=x22x+3对称轴为x=1，且抛物线经过A（1，0），把B（3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解之得：，直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设直线BC与对称轴x=1的交点为M，则此时MA+MC的值最小把x=1代入直线y=x+3得，y=2，M（1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（1，2）；（3）设P（1，t），又B（3，0），C（0，3），BC2=18，PB2=（1+3）2+t2=4+t2，PC2=（1）2+（t3）2=t26t+10，若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t26t+10解之得：t=2；若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t26t+10=4+t2解之得：t=4，若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t26t+10=18解之得：t1=，t2=；综上所述P的坐标为（1，2）或（1，4）或（1，） 或（1，）4（2014泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（1，4），且与直线y=x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BCx轴，垂足为点C（3，0）（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NPx轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标【解答】方法一：解：（1）由直线y=x+1可知A（0，1），B（3，），又点（1，4）经过二次函数，根据题意得：，解得：，则二次函数的解析式是：y=x+1；（2）设N（x，x2x+1），则M（x，x+1），P（x，0）MN=PNPM=x2x+1（x+1）=x2x=（x+）2+，则当x=时，MN的最大值为；（3）连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则MN=BC，且BC=MC，即x2x=，且（x+1）2+（x+3）2=，解x2+3x+2=0，得：x=1或x=2（舍去）故当N（1，4）时，BM和NC互相垂直平分方法二：（1）略（2）设N（t，），M（t，t+1），MN=NYMY=+t1，MN=，当t=时，MN有最大值，MN=（3）若BM与NC相互垂直平分，则四边形BCMN为菱形NCBM且MN=BC=，即=，t1=1，t2=2，t1=1，N（1，4），C（3，0），KNC=2，KAB=，KNCKAB=1，NCBMt2=2，N（2，），C（3，0），KNC=，KAB=，KNCKAB1，此时NC与BM不垂直满足题意的N点坐标只有一个，N（1，4）5（2015荆门）如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）CE=CB=5，CO=AB=4，在RtCOE中，OE=3，设AD=m，则DE=BD=4m，OE=3，AE=53=2，在RtADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即m2+22=（4m）2，解得m=，D（，5），C（4，0），O（0，0），设过O、D、C三点的抛物线为y=ax（x+4），5=a（+4），解得a=，抛物线解析式为y=x（x+4）=x2+x；（2）CP=2t，BP=52t，BD=，DE=，BD=DE，在RtDBP和RtDEQ中，RtDBPRtDEQ（HL），BP=EQ，52t=t，t=；（3）抛物线的对称轴为直线x=2，设N（2，n），又由题意可知C（4，0），E（0，3），设M（m，y），当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，则线段EN的中点横坐标为=1，线段CM中点横坐标为，EN，CM互相平分，=1，解得m=2，又M点在抛物线上，y=22+2=16，M（2，16）；当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，则线段EM的中点横坐标为，线段CN中点横坐标为=3，EM，CN互相平分，=3，解得m=6，又M点在抛物线上，y=（6）2+（6）=16，M（6，16）；当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，则M为抛物线的顶点，即M（2，）综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（6，16）或（2，）6（2014六盘水）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）（1）求二次函数的解析式（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求BDE的面积（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成ADP，是否存在SADP=SBCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在请说明理由【解答】解：（1）二次函数y=x2+bx+c的图象过A（2，0），B（8，6），解得二次函数解析式为：y=x24x+6，（2）由y=x24x+6，得y=（x4）22，函数图象的顶点坐标为（4，2），点A，D是y=x2+bx+c与x轴的两个交点，又点A（2，0），对称轴为x=4，点D的坐标为（6，0）（3）二次函数的对称轴交x轴于C点C点的坐标为（4，0）B（8，6），设BC所在的直线解析式为y=kx+b，解得，BC所在的直线解析式为y=x6，E点是y=x6与y=x24x+6的交点，x6=x24x+6解得x1=3，x2=8（舍去），当x=3时，y=，E（3，），BDE的面积=CDB的面积+CDE的面积=26+2=7.5（4）存在，设点P到x轴的距离为h，SBCD=26=6，SADP=4h=2hSADP=SBCD2h=6，解得h=，当P在x轴上方时，=x24x+6，解得x1=4+，x2=4，当P在x轴下方时，=x24x+6，解得x1=3，x2=5，P1（4+，），P2（4，），P3（3，），P4（5，）7（2015攀枝花）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得QMB与PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由得，则抛物线的解析式为y=x2+2x+3，（2）设D（t，t2+2t+3），过点D作DHx轴，则SBCD=S梯形OCDH+SBDHSBOC=（t2+2t+3+3）t+（3t）（t2+2t+3）33=t2+t，0，当t=时，D点坐标是（，），BCD面积的最大值是；（3）设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，P点的坐标为（1，4），直线BC的解析式为y=x+3，过点P与BC平行的直线为y=x+5，由得Q的坐标为（2，3），PM的解析式为x=1，直线BC的解析式为y=x+3，M的坐标为（1，2），设PM与x轴交于点E，PM=EM=2，过点E与BC平行的直线为y=x+1，由得或，点Q的坐标为（，），（，），使得QMB与PMB的面积相等的点Q的坐标为（2，3），（，），（，）8（2016邯郸校级自主招生）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PGAB于点G求出PFG的周长最大值；（3）在抛物线y=x2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得ABM与ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）直线AB：y=x+3与坐标轴交于A（3，0）、B（0，3），代入抛物线解析式y=x2+bx+c中，抛物线解析式为：y=x22x+3；（2）由题意可知PFG是等腰直角三角形，设P（m，m22m+3），F（m，m+3），PF=m22m+3m3=m23m，PFG周长为：m23m+（m23m），=（+1）（m+）2+，PFG周长的最大值为：（3）点M有三个位置，如图所示的M1、M2、M3，都能使ABM的面积等于ABD的面积此时DM1AB，M3M2AB，且与AB距离相等，D（1，4），E（1，2）、则N（1，0）y=x+3中，k=1，直线DM1解析式为：y=x+5，直线M3M2解析式为：y=x+1，x+5=x22x+3或x+1=x22x+3，x1=1，x2=2，x3=，x4=，M1（2，3），M2（，），M3（，）9（2015大庆模拟）已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且SABM=3，求点M的坐标；（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PDx轴于点D将抛物线y=x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与x轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由【解答】解：（1）依题意，解得b=2将b=2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y=x2+bx+c得6=3223+c解得 c=3所以抛物线的解析式为y=x22x+3（2）抛物线y=x22x+3与y轴交于点A，A（0，3）B（3，6），可得直线AB的解析式为y=x+3设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，x22x+3），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N，则N（x，x+3）（如图1）解得 x1=1，x2=2故点M的坐标为（1，2）或 （2，3）（3）如图2，由 PA=PO，OA=c，可得抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为 ，b2=2c抛物线，A（0，），P（，），D（，0）可得直线OP的解析式为点B是抛物线与直线的图象的交点，令 解得可得点B的坐标为（b，）由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为将点D（，0）的坐标代入，得则平移后的抛物线解析式为令y=0，即解得依题意，点C的坐标为（b，0）则BC=则BC=OA又BCOA，四边形OABC是平行四边形AOC=90，四边形OABC是矩形10（2016磴口县校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点A的坐标为（4，0），以OA为一边，在第一象限作等边OAB（1）求点B的坐标；（2）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；（3）直线y=x与（2）中的抛物线在第一象限相交于点C，求点C的坐标；（4）在（3）中，直线OC上方的抛物线上，是否存在一点D，使得OCD的面积最大？如果存在，求出点D的坐标和面积的最大值；如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）如图1，过点B作BEx轴于点E，OAB是等边三角形，OE=2，BE=2，点B的坐标为（2，2）；（2）根据抛物线的对称性可知，点B（2，2）是抛物线的顶点，设抛物线的解析式为y=a（x2）2+2，当x=0时，y=0，0=a（02）2+2，a=，抛物线的解析式为y=（x2）2+2，即：y=x2+2x；（3）设点C的横坐标为x，则纵坐标为x，即点C的坐标为（x，x）代入抛物线的解析式得：x=x2+2x，解得：x=0或x=3，点C在第一象限，x=3，点C的坐标为（3，）；（4）存在设点D的坐标为（x，x2+2x），OCD的面积为S，如图2，过点D作DFx轴于点F，交OC于点G，则点G的坐标为（x，x），作CMDF于点M，则OF+CM=3，DG=x2+2xx=x2+x，S=SOCD=SDGO+SDGC=DGOF+DGCM=DG（OF+CM）=DG3=（x2+x）3，S=x2+x=（x）2+，OCD的最大面积为，此时点D的坐标为（，）第24页（共24页）