第22章-二次函数压轴题【解析】.doc

2016年11月29日Can的初中数学组卷

一．解答题（共10小题）
1．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

2．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

4．二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．

5．如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．
（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．
（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．

7．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

8．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G．求出△PFG的周长最大值；
（3）在抛物线y=﹣x2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得△ABM与△ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

9．已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．
（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且S△ABM=3，求点M的坐标；
（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PD⊥x轴于点D．将抛物线y=x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与x轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由．

10．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点A的坐标为（4，0），以OA为一边，在第一象限作等边△OAB
（1）求点B的坐标；
（2）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；
（3）直线y=x与（2）中的抛物线在第一象限相交于点C，求点C的坐标；
（4）在（3）中，直线OC上方的抛物线上，是否存在一点D，使得△OCD的面积最大？如果存在，求出点D的坐标和面积的最大值；如果不存在，请说明理由．

2016年11月29日Can的初中数学组卷
参考答案与试题解析

一．解答题（共10小题）
1．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴B（4，6），
∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．

（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），
∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），
=﹣2n2+9n﹣4，
=﹣2（n﹣）2+，
∵PC＞0，
∴当n=时，线段PC最大且为．

（3）∵△PAC为直角三角形，
i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．
由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；
ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．
如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．
过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，
∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，
∴M（3，0）．
设直线AM的解析式为：y=kx+b，
则：，解得，
∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①
又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②
联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）
∴C（3，0），即点C、M点重合．
当x=3时，y=x+2=5，
∴P1（3，5）；

iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．
∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，
则点C在抛物线上，且C（，）．
当x=时，y=x+2=．
∴P2（，）．
∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，
∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．

2．（2015•酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），
把点A（0，4）代入上式得：a=，
∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，
∴抛物线的对称轴是：x=3；
（2）P点坐标为（3，）．
理由如下：
∵点A（0，4），抛物线的对称轴是x=3，
∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）
如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．

设直线BA′的解析式为y=kx+b，
把A′（6，4），B（1，0）代入得，
解得，
∴y=x﹣，
∵点P的横坐标为3，
∴y=×3﹣=，
∴P（3，）．
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），
如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，

由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4，
把x=t代入得：y=﹣t+4，则G（t，﹣t+4），
此时：NG=﹣t+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+4t，
∵AD+CF=CO=5，
∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AD×NG+NG×CF=NG•OC=×（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，
∴当t=时，△CAN面积的最大值为，
由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，
∴N（，﹣3）．

3．（2016•枣庄）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

【解答】解：（1）依题意得：，
解之得：，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3
∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，
得，
解之得：，
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；

（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，
∴M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；

（3）设P（﹣1，t），
又∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=，t2=；
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）．

4．（2014•泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．

【解答】方法一：
解：（1）由直线y=﹣x+1可知A（0，1），B（﹣3，），又点（﹣1，4）经过二次函数，
根据题意得：，
解得：，
则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1；

（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），
则M（x，﹣x+1），P（x，0）．
∴MN=PN﹣PM
=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）
=﹣x2﹣x
=﹣（x+）2+，
则当x=﹣时，MN的最大值为；

（3）连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，
即四边形BCMN是菱形，
则MN=BC，且BC=MC，
即﹣x2﹣x=，
且（﹣x+1）2+（x+3）2=，
解x2+3x+2=0，得：x=﹣1或x=﹣2（舍去）．
故当N（﹣1，4）时，BM和NC互相垂直平分．
方法二：
（1）略．
（2）设N（t，﹣），
∴M（t，﹣t+1），
∴MN=NY﹣MY=﹣+t﹣1，
∴MN=﹣，
当t=﹣时，MN有最大值，MN=．

（3）若BM与NC相互垂直平分，则四边形BCMN为菱形．
∴NC⊥BM且MN=BC=，
即﹣=，
∴t1=﹣1，t2=﹣2，
①t1=﹣1，N（﹣1，4），C（﹣3，0），
∴KNC==2，
∵KAB=﹣，
∴KNC×KAB=﹣1，
∴NC⊥BM．
②t2=﹣2，N（﹣2，），C（﹣3，0），
∴KNC==，KAB=﹣，
∴KNC×KAB≠﹣1，此时NC与BM不垂直．
∴满足题意的N点坐标只有一个，N（﹣1，4）．

5．（2015•荆门）如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4，
∴在Rt△COE中，OE===3，
设AD=m，则DE=BD=4﹣m，
∵OE=3，
∴AE=5﹣3=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即m2+22=（4﹣m）2，解得m=，
∴D（﹣，﹣5），
∵C（﹣4，0），O（0，0），
∴设过O、D、C三点的抛物线为y=ax（x+4），
∴﹣5=﹣a（﹣+4），解得a=，
∴抛物线解析式为y=x（x+4）=x2+x；
（2）∵CP=2t，
∴BP=5﹣2t，
∵BD=，DE==，
∴BD=DE，
在Rt△DBP和Rt△DEQ中，
，
∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），
∴BP=EQ，
∴5﹣2t=t，
∴t=；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x=﹣2，
∴设N（﹣2，n），
又由题意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3），
设M（m，y），
①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，
则线段EN的中点横坐标为=﹣1，线段CM中点横坐标为，
∵EN，CM互相平分，
∴=﹣1，解得m=2，
又M点在抛物线上，
∴y=×22+×2=16，
∴M（2，16）；
②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，
则线段EM的中点横坐标为，线段CN中点横坐标为=﹣3，
∵EM，CN互相平分，
∴=﹣3，解得m=﹣6，
又∵M点在抛物线上，
∴y=×（﹣6）2+×（﹣6）=16，
∴M（﹣6，16）；
③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，
则M为抛物线的顶点，即M（﹣2，﹣）．
综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣）．

6．（2014•六盘水）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．
（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．
（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．

【解答】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象过A（2，0），B（8，6）
∴，解得
∴二次函数解析式为：y=x2﹣4x+6，

（2）由y=x2﹣4x+6，得y=（x﹣4）2﹣2，
∴函数图象的顶点坐标为（4，﹣2），
∵点A，D是y=x2+bx+c与x轴的两个交点，
又∵点A（2，0），对称轴为x=4，
∴点D的坐标为（6，0）．

（3）∵二次函数的对称轴交x轴于C点．
∴C点的坐标为（4，0）
∵B（8，6），
设BC所在的直线解析式为y=kx+b′，
∴，
解得，
∴BC所在的直线解析式为y=x﹣6，
∵E点是y=x﹣6与y=x2﹣4x+6的交点，
∴x﹣6=x2﹣4x+6
解得x1=3，x2=8（舍去），
当x=3时，y=﹣，
∴E（3，﹣），
∴△BDE的面积=△CDB的面积+△CDE的面积=×2×6+×2×=7.5．

（4）存在，
设点P到x轴的距离为h，
∵S△BCD=×2×6=6，S△ADP=×4×h=2h
∵S△ADP=S△BCD
∴2h=6×，解得h=，
当P在x轴上方时，
=x2﹣4x+6，解得x1=4+，x2=4﹣，
当P在x轴下方时，
﹣=x2﹣4x+6，解得x1=3，x2=5，
∴P1（4+，），P2（4﹣，），P3（3，﹣），P4（5，﹣）．

7．（2015•攀枝花）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由得，则抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，

（2）设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DH⊥x轴，
则S△BCD=S梯形OCDH+S△BDH﹣S△BOC=（﹣t2+2t+3+3）t+（3﹣t）（﹣t2+2t+3）﹣×3×3=﹣t2+t，
∵﹣＜0，
∴当t=﹣=时，D点坐标是（，），△BCD面积的最大值是；

（3）设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，
∵P点的坐标为（1，4），直线BC的解析式为y=﹣x+3，
∴过点P与BC平行的直线为y=﹣x+5，
由得Q的坐标为（2，3），
∵PM的解析式为x=1，直线BC的解析式为y=﹣x+3，
∴M的坐标为（1，2），
设PM与x轴交于点E，
∵PM=EM=2，
∴过点E与BC平行的直线为y=﹣x+1，
由得或，
∴点Q的坐标为（，﹣），（，﹣），
∴使得△QMB与△PMB的面积相等的点Q的坐标为（2，3），（，﹣），（，﹣）．

8．（2016•邯郸校级自主招生）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G．求出△PFG的周长最大值；
（3）在抛物线y=﹣x2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得△ABM与△ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵直线AB：y=x+3与坐标轴交于A（﹣3，0）、B（0，3），
代入抛物线解析式y=﹣x2+bx+c中，
∴
∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；

（2）∵由题意可知△PFG是等腰直角三角形，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），
∴F（m，m+3），
∴PF=﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3=﹣m2﹣3m，
△PFG周长为：﹣m2﹣3m+（﹣m2﹣3m），
=﹣（+1）（m+）2+，
∴△PFG周长的最大值为：．

（3）点M有三个位置，如图所示的M1、M2、M3，都能使△ABM的面积等于△ABD的面积．
此时DM1∥AB，M3M2∥AB，且与AB距离相等，
∵D（﹣1，4），
∴E（﹣1，2）、则N（﹣1，0）
∵y=x+3中，k=1，
∴直线DM1解析式为：y=x+5，
直线M3M2解析式为：y=x+1，
∴x+5=﹣x2﹣2x+3或x+1=﹣x2﹣2x+3，
∴x1=﹣1，x2=﹣2，x3=，x4=，
∴M1（﹣2，3），M2（，），M3（，）．

9．（2015•大庆模拟）已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．
（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且S△ABM=3，求点M的坐标；
（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PD⊥x轴于点D．将抛物线y=x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与x轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由．

【解答】解：（1）依题意，，
解得b=﹣2．
将b=﹣2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y=x2+bx+c得6=32﹣2×3+c．
解得 c=3．
所以抛物线的解析式为y=x2﹣2x+3．

（2）∵抛物线y=x2﹣2x+3与y轴交于点A，
∴A（0，3）．
∵B（3，6），
可得直线AB的解析式为y=x+3．
设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，x2﹣2x+3），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N，则N（x，x+3）．（如图1）

∴．
∴．
解得 x1=1，x2=2．
故点M的坐标为（1，2）或 （2，3）．

（3）如图2，由 PA=PO，OA=c，可得．
∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为 ，
∴．

∴b2=2c．
∴抛物线，A（0，），P（，），D（，0）．
可得直线OP的解析式为．
∵点B是抛物线与直线的图象的交点，
令 ．
解得．
可得点B的坐标为（﹣b，）．
由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为．
将点D（，0）的坐标代入，得．
则平移后的抛物线解析式为．
令y=0，即．
解得．
依题意，点C的坐标为（﹣b，0）．
则BC=．
则BC=OA．
又∵BC∥OA，
∴四边形OABC是平行四边形．
∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．

10．（2016•磴口县校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点A的坐标为（4，0），以OA为一边，在第一象限作等边△OAB
（1）求点B的坐标；
（2）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；
（3）直线y=x与（2）中的抛物线在第一象限相交于点C，求点C的坐标；
（4）在（3）中，直线OC上方的抛物线上，是否存在一点D，使得△OCD的面积最大？如果存在，求出点D的坐标和面积的最大值；如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵△OAB是等边三角形，
∴OE=2，BE=2，
∴点B的坐标为（2，2）；

（2）根据抛物线的对称性可知，点B（2，2）是抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+2，
当x=0时，y=0，
∴0=a（0﹣2）2+2，
∴a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+2，
即：y=﹣x2+2x；

（3）设点C的横坐标为x，则纵坐标为x，
即点C的坐标为（x，x）代入抛物线的解析式得：x=﹣x2+2x，
解得：x=0或x=3，
∵点C在第一象限，
∴x=3，
∴点C的坐标为（3，）；

（4）存在．
设点D的坐标为（x，﹣x2+2x），△OCD的面积为S，
如图2，过点D作DF⊥x轴于点F，交OC于点G，
则点G的坐标为（x，x），
作CM⊥DF于点M，
则OF+CM=3，DG=﹣x2+2x﹣x=﹣x2+x，
∴S=S△OCD=S△DGO+S△DGC=DG•OF+DG•CM=DG•（OF+CM）=DG×3
=（﹣x2+x）×3，
∴S=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，
∴△OCD的最大面积为，此时点D的坐标为（，）．

第24页（共24页）