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(完整版)对数函数讲义(可直接使用)
一、 教学目标：
1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质；
2．掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题．
二、教学重、难点：
运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题
三、命题规律：
主要考察指数式与对数式的互化，对数函数的图像和性质或由对数函数复合成的函数，主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等，主要以填空为主。
四、教学内容：
【知识回顾】
1.对数的概念
如果 ,那么数叫做以为底N的对数，记作 ，其中叫做对数的 ，N叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：
2.常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，记作.
自然对数：通常将以无理数为底的对数叫做自然对数，记作。
3.对数的性质及对数恒等式、换底公式
（1）对数恒等式：①= ②=
（2）换底公式：
（3)对数的性质：①负数和零没有对数 ② 1的对数是零,即
③底的对数等于1,即 ④
4.对数的运算性质
如果,那么
（1） ； (2） ；
（3) ； （4） .
（5) ； （6）
5。对数函数
函数做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为（—∞，+∞).、
6.对数函数图像与性质

注:对数函数的图像关于轴对称.
7.同真数的对数值大小关系如图
在第一象限内，图像从左到右相应的底逐渐增大，
即

8.对数式、对数函数的理解
① 应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关键。
② 在理解对数函数的概念时，应抓住定义的“形式”,像等函数均不符合形式,因此，它们都不是对数函数
③ 画对数函数的图像，应抓住三个关键点

【例题精讲】
考点一：对数式的运算
例1.计算
（1） （2）

【反思归纳】运用对数的运算法则时,要注意各字母的取值范围，只有所得结果中的对数和所给出的数的对数都存在时才成立，同时不要将积商幂的对数与对数的积商幂混淆起来。
【举一反三】
1。求值：
(1) （2）

（3）

练习：

6．若logπ(log3（lnx)）=0，则x=________．
7．化简lg25＋lg2·lg50=________．

考点二：对数值的大小比较
比较大小常用的方法有:①做差比较法 ②做商比较法 ③函数单调性法 ④中间值法，
在比较两个幂的大小时，除上述一般方法外，还应注意以下情况：
1) 对于底数相同,真数不同的两个对数的大小比较,直接利用对数函数的单调性来判断。
2) 对于底数不同，真数相同的两个对数的大小比较，可利用对数函数的图像来判断。
3) 对于底数和真数均不同的两个对数的大小比较，可以利用中间值来比较
4) 对于三个及以上的数进行大小比较，则应先根据值的大小，(特别是0和1）进行分组,再比 较各组的大小。
5) 对于含有参数的两个对数进行大小比较时，要注意对底数进行讨论。
例2.比较大小
（1) （2）

（3） (4)

【举一反三】
（1） （2） (3)
解：(1） ∵
∴
（2） ∵
∴
（3) 解：
∵ ∴
考点三:与对数函数有关的定义域问题
求与对数函数有关的复合函数的定义域的方法与前面所讲到的求定义域解法一样，但应注意真数大于0且不等于1，若遇到底数含有参数,则应对参数进行讨论。
例3. 求下列函数的定义域
；(2);（3）。
解（1）因为，即，所以函数的定义域是。
（2)因为，即,所以函数的定义域是。
（3)因为，即，所以函数的定义域是。
考点四：与对数函数有关的值域问题
（1） 型如：采用换元法,令，根据定义域先求值域，再求的值域。
（2） 型如:由真数求出定义域，再求出的值域，再根据的值确定复合函数的值域。
例4.求下列函数的定义域、值域：
(1） (2)
(3） （4)
解(1)：要使函数有意义，必须： 即:
值域：∵ ∴ 从而
∴ ∴ ∴
(2)∵对一切实数都恒有 ∴函数定义域为R
从而 即函数值域为
(3）函数有意义，必须:
由 ∴在此区间内
∴
从而 即：值域为
(4)要使函数有意义,必须： ①
②
由①：
由②:当时 必须
当时 必须
综合①②得
当时 ∴
∴
考点五：定义域或值域为R的问题
（1） 若的定义域为R，则对任意实数，恒有.
特别地，当时，要使定义域为R,则必须
（2） 若的值域为R，则必需取遍内所有的数。
特别地，当时,要使值域为R，则必须
例5。 对于函数，解答下述问题：
(1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2）若函数的值域为R,求实数a的取值范围;
（3)若函数在内有意义,求实数a的取值范围；
（4）若函数的定义域为，求实数a的值；
（5）若函数的值域为，求实数a的值；
(6）若函数在内为增函数，求实数a的取值范围.

考点六:对数函数的综合问题
例1、设为奇函数， 为常数。
⑴求的值;
⑵求证:在内单调递增；
⑶若对于上的每一个的值,不等式恒成立，求实数的取值范围。
解：⑴因为是奇函数,所以，,,,，经检验
⑵
定义法：任取，所以，，，，所以，所以在内单调递增.
导数法：，因为，所以又,所以，所以所以在内单调递增.
⑶对于上的每一个的值，不等式恒成立，所以恒成立，令，由知⑵，在上是单调递增函数,所以，所以的取值范围是.
例2、已知
⑴求函数的定义域；
⑵讨论函数的奇偶性；
⑶讨论函数的单调性.
析：由真数大于0，可求定义域，按奇偶性的定义判断其奇偶性，单调性可按复合函数的单调性的规律判断。
解:⑴令得，所以函数的定义域为。
⑵函数的定义域关于原点对称，,故是奇函数。
⑶令，则在和上是减函数，所以
当时,函数在和上是增函数.
当时，函数在和上是减函数.
例3、已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围。
析：本题只需在上递减且恒为正即可。
解：令，则在上是减函数，又因为，函数在上递增,所以只要在上递减,且，即有，所以,故的取值范围是
例4、对于函数定义域中任意的,有如下结论：
①；②；
③;④
当时,上述结论中正确结论的序号是 ② ③
例5、设为常数,试讨论方程的解的个数．
解:原方程等价于即
构造函数和作出它们的图象，易知平行于轴的直线与抛物线的交点情况：①当或时，原方程有一个解；②当时,原方程有两个解;③当或时，原方程无解.

例6、已知函数 满足，且当时，，则方程与 的实根个数为 4 .

解析：由知函数的周期为 2,作出其图像如图所示,当时，，；当 时，，,与的图像不再有交点.
例7、函数f（x）=log2|x｜，g（x)=－x2+2，则f（x）·g（x）的图象只可能是

A B C D
解析：∵f（x）与g(x）都是偶函数,∴f(x）·g(x）也是偶函数，由此可排除A、D.
又由x→+∞时,f（x）·g（x）→－∞,可排除B。
答案：C
练习：
（一）选择题
( )

( ）

( ）
A．a＜b＜c 　　 　B．b＜a＜c C．a＜c＜b 　　　D．c＜a＜b
（ )
A．a＞1，b＞1 B．0＜a＜1，b＞1
C．a＞1且0＜b＜1 　　 　D．0＜a＜1，0＜b＜1
5．若m＞n＞1，且0＜a＜1,则下面四个结论中不正确的是( )
A．m-a＜n—a 　B．am＜a-n
7．设f（x)=|lgx|，则其递减区间是( ）
A．(0，1) 　B．(1,＋∞) C．(0,＋∞) 　D．不存在
的大小关系是

（ ）
A．（－∞，1) 　B．（2,＋∞）
10．如图2．8－11所示,已知0＜a＜1，则在同一坐标系中，函数y=a-x,和y＝loga（－x)的图像只可能是（ )

（二）填空题
1. 函数在区间上的最大值与最小值之和为，最大值与最小值之积为,则等于 。

3．函数y＝log2(2－x2）的值域是________．

________时，f（x）有最大值________．当x=________时，f(x)有最小值________．
5．函数f(x）的定义域是(－∞，1），则f（log2（x2－1）)的定义域是________．
6。不等式的解集为 。
7。若的值域为R，则的取值范围是 。

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