《集合与常用逻辑用语》单元测试题(文科).doc

《集合与常用逻辑用语》单元测试题（文科）
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＝2n，n∈N}与B＝{x|x＝2n，n∈N}，
则正确表示集合A、B关系的韦恩(Venn)图是(　A　)
2．已知集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则
M∩N 等于(　D　)
A．(0,1)，(1,2) B．{(0,1)，(1,2)} C．{y|y＝1或y＝2} D．{y|y≥1}
3.若集合A＝{x||2x－1|<3}，B＝{x|<0}，则A∪B是(　C　)
A．{x|－1<x<－或2<x<3} B．{x|2<x<3}C．{x|x<2或x>3}D．{x|－<x<2}
4．设α、β是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若α∥β，l⊂α，m⊂β则l∥m；命题q：l∥α，m⊥l，m⊂β，则α⊥β.则下列命题为真命题的是(　B　)
A．p或q B．¬p或q C．p且q D．p且¬q
5．在△ABC中，“·＝·”是“||＝||”的(　A)
A．充要条件B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．下列结论错误的是(　D　)
A．命题“若p，则q”与命题“若¬q，则¬p”互为逆否命题
B．命题p：∀x∈[0,1]，ex≥1，命题q：∃x∈R，x2＋x＋1<0，则p∨q为真
C． 若p∨q为假命题，则p、q均为假命题
D．“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真命题
7．“若x≠a且x≠b，则x2－(a＋b)x＋ab≠0”的否命题是(D　　)
A．若x＝a且x＝b，则x2－(a＋b)x＋ab＝0.B．若x＝a或x＝b，则x2－(a＋b)x＋ab≠0.
C．若x＝a且x＝b，则x2－(a＋b)x＋ab≠0.D．若x＝a或x＝b，则x2－(a＋b)x＋ab＝0.
8．命题p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1，则(B　　)
A．p是假命题，¬p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32)x0>1
B．p是真命题，¬p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32)x0>1
C．p是假命题，¬p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1
D．p是真命题，¬p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1
9．非空数集中,所有元素的算术平均数记为,即.若非空数集满足下列两个条件:①;②,则称为的一个“保均值子集”.据此,集合的“保均值子集”有 （　C　）
A．个 B．个 C．个 D．个
10记实数…中的最大数为{…}，最小数为min{…}.已知的三边边长为、、（）,定义它的倾斜度为

则“t=1”是“为等边三解形”的B
A.充分布不必要的条件 B.必要而不充分的条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件
二、填空题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把正确答案填在题中横线上)
11．已知命题甲：a＋b≠4，命题乙：a≠1且b≠3，则命题甲是命题乙的________条件．　既不充分也不必要
12. 已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为　m－n　
13．已知集合A满足条件：当p∈A时，总有∈A(p≠0且p≠－1)，已知2∈A，则集合A中所有元素的积等于___1
14．函数f(x)＝logax－x＋2(a>0且a≠1)有且仅有两个零点的充要条件是___ a>1_____．
15. 设函数f(x)＝x2－2x＋m.
(1)若∀x∈[0,3]，f(x)≥0恒成立， m的取值范围 m ≥1 ；
(2)若∃x∈[0,3]，f(x)≥0成立， m的取值范围 m ≥-3 ．
16. 设A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|<a}，若“a＝1”是“A∩B≠Ø”的充分条件，则实数b的取值范围是___(－2,2)_____．
17．方程＋＝1表示曲线C，给出以下命题：
①曲线C不可能为圆；②若1<t<4，则曲线C为椭圆；
③若曲线C为双曲线，则t<1或t>4；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1<t<.
其中真命题的序号是___　③④___(写出所有正确命题的序号)
三、解答题(本大题共5个小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
18．(本小题满分12分)求方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负实数根的充要条件．
解：方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负根．
当a＝0时，x＝－适合条件．
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，
则Δ＝4－4a≥0，∴a≤1，
当a＝1时，方程有一负根x＝－1.
当a<1时，若方程有且仅有一负根，则<0，∴a<0.
综上，方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负实数根的充要条件为a≤0或a＝1.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)是R上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”
(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
[解析]　(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，真命题．
用反证法证明：设a＋b<0，则a<－b，b<－a，∵f(x)是R上的增函数，
∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，
∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，这与题设f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，所以逆命题为真．
(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0，为真命题．
由于互为逆否命题同真假，故只需证原命题为真．
∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，又∵f(x)在R上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，∴原命题真，故逆否命题为真．
20．(本小题满分13分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．
(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
[解析]　A＝{x|－1≤x≤3} B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)∵A∩B＝[0,3]，∴，，∴m＝2.
(2)∁RB＝{x|x<m－2或x>m＋2}A⊆∁RB，∴m－2>3或m＋2<－1.
∴m>5或m<－3.因此实数m的取值范围是m>5或m<－3.
21(本小题满分14分).已知命题p：指数函数f(x)＝(2a－6)x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x2－3ax＋2a2＋1＝0的两个实根均大于3.若p且q为假，求实数a的取值范围．
解：若p真，则f(x)＝(2a－6)x在R上单调递减，
∴0<2a－6<1，∴3<a<.
若q真，令f(x)＝x2－3ax＋2a2＋1，则应满足，
∴，故a>，
又由题意应有p假或q假
若p假则或a≥，若q假，则，
故a的取值范围是{a|a≤3或a≥}．
22．(本小题满分14分) 已知p：2x2－9x＋a＜0，q：且¬p是¬q的充分条件，求实数a的取值范围．
解析：　由得即2＜x＜3.
∴q：2＜x＜3.
设A＝{x|2x2－9x＋a＜0}，B＝{x|2＜x＜3}，
∵¬p⇒¬q，∴q⇒p.∴B⊆A.
∴2＜x＜3含于集合A，
即2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0.
设f(x)＝2x2－9x＋a，
要使2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0，
需即∴a≤9.
故所求实数a的取值范围是{a|a≤9}．