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新华东师大版九年级下数学圆复习课件 经过圆心的弦（如图中的经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径）叫做直径COAB连接圆上任意两点的线段（如图连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，）叫做弦，与圆有关的概念与圆有关的概念弦圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆COB弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以A、B为端点的弧记作为端点的弧记作 AB，读作，读作“圆弧圆弧AB”或或“弧弧AB”COAB劣弧与优弧劣弧与优弧小于半圆的弧叫做劣弧小于半圆的弧叫做劣弧.大于半圆的弧叫做优弧大于半圆的弧叫做优弧.（如图中的（如图中的AC）(用三个字母表示用三个字母表示,如图中的如图中的ACB)想一想想一想判断下列说法的正误：判断下列说法的正误：(1)(1)弦是直径；弦是直径；(2)(2)半圆是弧；半圆是弧；(3)(3)过圆心的线段是直径；过圆心的线段是直径；(4)(4)过圆心的直线是直径；过圆心的直线是直径；(5)(5)半圆是最长的弧；半圆是最长的弧；(6)(6)直径是最长的弦；直径是最长的弦；(7)等弧就是拉直以后长度相等的弧等弧就是拉直以后长度相等的弧 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，易知同圆或等圆的半径相等。等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，易知同圆或等圆的半径相等。同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。等弧应同时满足两个条件：等弧应同时满足两个条件：1）两弧的长度相等，）两弧的长度相等，2）两弧的度数相等。）两弧的度数相等。1、直径是弦，而弦不一定是直径；、直径是弦，而弦不一定是直径；2、半圆是弧，而弧不一定是半圆；、半圆是弧，而弧不一定是半圆；3、两条等弧的度数相等，长度也相等，、两条等弧的度数相等，长度也相等，反之，度数相等或长度相等的两条弧不一定是等弧。反之，度数相等或长度相等的两条弧不一定是等弧。注意：注意：一、一、垂径定理垂径定理OABCDMAM=BM,重视：模型重视：模型“垂径定理直角三角形垂径定理直角三角形”若若 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得AC=BC,AD=BD.1.1.定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.2 2、垂径定理的逆定理、垂径定理的逆定理CDAB,n由由 CD是直径是直径 AM=BM可推得可推得AC=BC,AD=BD.OCD MAB平分弦（不是直径）的直径垂直于弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.(1)直径直径(过圆心的线过圆心的线)；(2)垂直弦；垂直弦；(3)平分弦平分弦；(4)平分劣弧；平分劣弧；(5)平分优弧平分优弧.知二得三知二得三注意注意:“直径平分弦则垂直弦直径平分弦则垂直弦.”这句话对吗这句话对吗?()错错OABCDM垂径定理及其推论垂径定理及其推论OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧例例O O的半径为的半径为10cm10cm，弦，弦ABCDABCD，AB=16AB=16，CD=12CD=12，则，则ABAB、CDCD间的间的 距离是距离是_ _ .2cm或或14cm圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.圆周角圆周角:顶点在圆上顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角叫做圆周角.OBAOBAC二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系 在同圆或等圆中在同圆或等圆中,如果如果两个圆心角两个圆心角,两条弧两条弧,两条弦两条弦,两条弦心距中两条弦心距中,有一组量相等有一组量相等,那么它们所那么它们所对应的其余各组量都分别相等对应的其余各组量都分别相等.OABDABD如由条件如由条件:AB=ABAB=AB OD=OD可推出AOB=AOB二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系综上所述综上所述,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系是的大小关系是:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.OABCOABCOABC即即 ABC=AOC.ABC=AOC.三、圆周三、圆周角定理及推论角定理及推论 90 90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是 .OABCOBACDEOABC 定理定理:在同圆或等圆中在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角同弧或等弧所对的圆周角相等相等,都等于这弧所对的圆心角的一半都等于这弧所对的圆心角的一半.推论推论:直径所对的圆周角是直径所对的圆周角是 .直角直角直径直径判断判断:(1)相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等.(2)相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等.(3)等弧所对的圆周角相等等弧所对的圆周角相等.()()()1、如图、如图1，AB是是 O的直径，的直径，C为圆上一点，弧为圆上一点，弧AC度数为度数为60，ODBC，D为垂足，且为垂足，且OD=10，则，则AB=_，BC=_；2、已知、是同圆的两段弧，且弧、已知、是同圆的两段弧，且弧AB等于等于2倍弧倍弧AC，则弦，则弦AB与与CD之间的关系为（之间的关系为（）；）；A.AB=2CD B.AB2CD D.不能确定不能确定图图13、如图如图2，O中弧中弧AB的度数为的度数为60，AC是是 O的直径，那么的直径，那么BOC等于等于()；A150 B130 C120 D604、在、在ABC中，中，A70，若，若O为为ABC的外心，的外心，BOC=；若；若O为为ABC的内心，的内心，BOC=图图2 5、两个同心圆的直径分别为、两个同心圆的直径分别为5 cm和和3 cm，则圆环部分的宽度为，则圆环部分的宽度为_ cm；6、如图、如图1,已知已知 O，AB为直径，为直径，ABCD，垂足为，垂足为E，由图你还能知道哪些正确的结论，由图你还能知道哪些正确的结论?请把它们一一写请把它们一一写出来出来 ；7、为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为、为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为100 cm，截面如图，截面如图2，若管，若管内污水的面宽内污水的面宽AB=60 cm，则污水的最大深度为，则污水的最大深度为 cm；图图1图图2.p.or.o.p.o.p四、点和圆的位置关系四、点和圆的位置关系Opr 点点p在在 o内内Op=r 点点p在在 o上上Opr 点点p在在 o外外不在同一直线上的三个点确定一个圆（这个三角形叫做圆的不在同一直线上的三个点确定一个圆（这个三角形叫做圆的内接内接三角形，这三角形，这个圆叫做三角形的个圆叫做三角形的外接外接圆，圆心叫做三角形的圆，圆心叫做三角形的外心外心）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的性质：（1）对角互补；对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内对角任意一个外角都等于它的内对角反证法的三个步骤：反证法的三个步骤：1、提出假设、提出假设2、由题设出发，引出矛盾、由题设出发，引出矛盾3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个一个三角形的外接圆有几个？一个三角形的外接圆有几个？一个圆的内接三角形有几个？一个圆的内接三角形有几个？经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。OABC 有关概念有关概念 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.做一做锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.ABCOABCCABOO1、O的半径为的半径为R，圆心到点，圆心到点A的距离为的距离为d，且，且R、d分别是方程分别是方程x26x80的两根，则点的两根，则点A与与 O的的位置关系是（位置关系是（）A点点A在在 O内部内部 B点点A在在 O上上C点点A在在 O外部外部 D点点A不在不在 O上上2、M是是 O内一点，已知过点内一点，已知过点M的的 O最长的弦为最长的弦为10 cm，最短的弦长为，最短的弦长为8 cm，则，则OM=_ cm.3、圆内接四边形、圆内接四边形ABCD中，中，ABCD可以是（可以是（）A、1 2 3 4 B、1 3 2 4 C、4 2 3 1 D、4 2 1 3 练习：有两个同心圆，半径分别为和练习：有两个同心圆，半径分别为和r，是圆环内一点，则的取值是圆环内一点，则的取值范围是范围是.rOPR1 1、直线和圆相交、直线和圆相交nd d r;r;nd d r;r;2 2、直线和圆相切、直线和圆相切3 3、直线和圆相离、直线和圆相离nd d r.r.五五.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系OO相交相交O相切相切相离相离rrrddd切线的判定定理切线的判定定理定理定理 经过半径的外端经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.CDOA如图如图OAOA是是O O的半径的半径,且且CDOA,CDOA,CD CD是是O O的切线的切线.（）定义（）定义（）圆心到直线的距离（）圆心到直线的距离d圆的半径圆的半径r（）切线的判定定理：经过半径的外端（）切线的判定定理：经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的判定方法切线的判定方法切线的判定定理的两种应用切线的判定定理的两种应用1、如果已知直线与圆有交点，往往要作出过这一点的半径，再证明直线垂直于这条半径即可；、如果已知直线与圆有交点，往往要作出过这一点的半径，再证明直线垂直于这条半径即可；2、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线段等于半径即、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线段等于半径即可可切线的性质定理切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径.CDCD切切O O于于,OA,OA是是O O的半径的半径CDOA CD OA.切线的性质定理出可理解为切线的性质定理出可理解为如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个，那么如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个，那么第三个也成立。第三个也成立。经过切点、经过切点、垂直于切线、垂直于切线、经过圆心。经过圆心。如如任意两个任意两个做一做：做一做：1、两个同心圆的半径分别为、两个同心圆的半径分别为3 cm和和4 cm，大圆的弦，大圆的弦BC与小圆相切，则与小圆相切，则BC=_ cm；2、如图、如图2，在以，在以O为圆心的两个同心圆为圆心的两个同心圆中，大圆的弦中，大圆的弦AB是小圆的切线，是小圆的切线，P为切点，为切点，设设AB=12，则两圆构成圆环面积为，则两圆构成圆环面积为_；3、下列四个命题中正确的是（、下列四个命题中正确的是（）与圆有公共点的直线是该圆的切线与圆有公共点的直线是该圆的切线；垂直于圆的半径的直线是该圆的切线垂直于圆的半径的直线是该圆的切线；到圆心的距离等于半径的到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线直线是该圆的切线 ；过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线A.B.C.D.一一一一、判断。、判断。1、三角形的外心到三角形各边的距离相等；、三角形的外心到三角形各边的距离相等；（）2、直角三角形的外心是斜边的中点、直角三角形的外心是斜边的中点 （）二、填空：二、填空：1、直角三角形的两条直角边分别是、直角三角形的两条直角边分别是5cm和和12cm，则，则它的外接圆它的外接圆 半径半径，内切圆半径，内切圆半径；2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比比 6.5cm6.5cm2cm2cm2:12:1三、选择题：三、选择题：下列命题正确的是（下列命题正确的是（）A、三角形外心到三边距离相等、三角形外心到三边距离相等B、三角形的内心不一定在三角形的内部、三角形的内心不一定在三角形的内部C、等边三角形的内心、外心重合、等边三角形的内心、外心重合D、三角形一定有一个外切圆、三角形一定有一个外切圆C C四、一个三角形四、一个三角形,它的周长为它的周长为30cm,它的内切圆半径为它的内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积为则这个三角形的面积为_30cmA AB BC CO O七七七七.三角形的外接圆和内切圆：三角形的外接圆和内切圆：三角形的外接圆和内切圆：三角形的外接圆和内切圆：A AB BC CI I三角形内切圆的圆心叫三角形的三角形内切圆的圆心叫三角形的三角形内切圆的圆心叫三角形的三角形内切圆的圆心叫三角形的内心内心内心内心。三角形外接圆的圆心叫三角形的外心三角形外接圆的圆心叫三角形的外心三角形外接圆的圆心叫三角形的外心三角形外接圆的圆心叫三角形的外心实质实质性质性质三角形的外心三角形的外心三角形的内心三角形的内心三角形三边垂直平分线的交点三角形三边垂直平分线的交点三角形三内角角平分线的交点三角形三内角角平分线的交点到三角形各边的距离到三角形各边的距离相等相等到三角形各顶点的距到三角形各顶点的距离相等离相等锐角三角形的外心位于三角形内锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外钝角三角形的外心位于三角形外.ABCOABCCABOO三角形的外心是否一定在三角形的内部？三角形的外心是否一定在三角形的内部？n从圆外一点向圆所引的两条切线长相等从圆外一点向圆所引的两条切线长相等;并且这一点和圆心的并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角连线平分两条切线的夹角.ABPO12ABCODEFABCOODEF切线长定理及其推论切线长定理及其推论:n直角三角形的内切圆半径与三边关系直角三角形的内切圆半径与三边关系.n三角形的内切圆半径与圆面积三角形的内切圆半径与圆面积.PA,PB切切 O于于A,B PA=PB 1=21.如图：圆如图：圆O中弦中弦AB等于半径等于半径R，则这条弦所对的圆心角是，则这条弦所对的圆心角是,圆周角是圆周角是.60度度30或或150度度2：已知：已知ABC三点在圆三点在圆O上，连接上，连接ABCO，如果，如果 AOC=140，求，求 B的度数的度数3.平面上一点平面上一点P到圆到圆O上一点的距离最长为上一点的距离最长为6cm,最短为最短为2cm,则圆则圆O的半径为的半径为_.D解：在优弧AC上定一点D，连结AD、CD.AOC=140 D=70 B=180 70 =110 2或或4cm弧长、扇形面积公式弧长、扇形面积公式（1）弧长公式：（2）扇形面积公式：侧面展开图侧面展开图（1）圆柱侧面展开图 =（2）圆锥侧面展开图 =4.4.怎样要将一个如图所示的破镜重圆？怎样要将一个如图所示的破镜重圆？ABCP5、如图，如图，AB是是 O的任意一条弦，的任意一条弦，OCAB，垂足为，垂足为P，若，若 CP=7cm，AB=28cm，你能帮老师求出这面你能帮老师求出这面镜子的半径吗？镜子的半径吗？O714综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径6.如图：如图：AB是圆是圆O的直径，的直径，BD是圆是圆O的弦，的弦，BD到到C，AC=AB，BD与与CD的大小有什么关系？的大小有什么关系？为什么？为什么？补充：补充：若B=70,则DOE=E40 要会用到解题中 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。几何表达式：几何表达式：ABCD是是 O的内接四边形，的内接四边形，A+C=180且且B=1 练习练习:如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为为O O 的内接四边形，已知的内接四边形，已知BODBOD100100，求，求BADBAD及及BCDBCD的度数。的度数。A AOOD DB BC C 例例 如图，如图，ABC中中,AB=AC,O是是BC的中点的中点,以以O为圆心的为圆心的 O切切AB于于D,问问:O与与AC相切吗相切吗?说明理由说明理由.解：解：O与与AC相切相切 AB=AC，O是是BC的中点的中点，AO平分平分 BAC.连接连接OA,OD,作作 OE AC 于于 E.OE=OD O切切AB于于D,OD AB.又又 OE AC,AB是是 O的切线的切线.AOBCDE例题欣赏例题欣赏根据切线的性质根据切线的性质,遇到切点遇到切点,连接半径连接半径,这是在圆中添加辅这是在圆中添加辅助线的常用方法之一助线的常用方法之一.当已知条件中没有明确给出直线与圆是否有公共点时当已知条件中没有明确给出直线与圆是否有公共点时,常过常过圆心作该直线的垂线段圆心作该直线的垂线段,证明该垂线段的长等于半径证明该垂线段的长等于半径.即即“作垂直作垂直,证半径证半径”.例题欣赏例题欣赏变式变式(一一)如图如图,直角梯形直角梯形ABCD中中,A=900,AD/BC,E为为AB上一点上一点,且且DE平分平分ADC,CE平分平分BCD,以以AB为直径的为直径的圆与边圆与边CD有怎样的位置关系有怎样的位置关系?线段线段CD与与AD,BC之间又有怎样的关系之间又有怎样的关系?说明理由说明理由.ABCDE F解：解：(1)以以AB为直径的圆与为直径的圆与CD相切相切.DE平分平分ADC,CE平分平分BCD,且且A=B=900,过点过点E 作作 EF CD 于于 F.以以AB为直径的圆与边为直径的圆与边CD相切相切.AE=EF=BE=AB.12(2)CD=AD+BC.CD=DF+CF=AD+BC.AD=DF AD与与 E相切相切.A=900,CD与与 E相切相切.同理同理:BC=CF证明：作作OEAB于于E所以AB是O的切线练习练习、如图，、如图，O O的半径为的半径为8 8厘米，圆内的弦厘米，圆内的弦ABAB为为 厘米，以厘米，以O O为圆心，为圆心，4 4厘米为半径作小圆，求证：小圆与直厘米为半径作小圆，求证：小圆与直线相切。线相切。则则AE=BE连结OAAB=AE=又小O半径为4厘米圆心到直线AB的距离等于半径E练习、如图，线段练习、如图，线段AB经过圆心经过圆心O，交，交 O于点于点A、C，BADB30，边，边BD交圆于点交圆于点D.，BD是是 O的切线吗？为什么？的切线吗？为什么？解：连结解：连结ODOD因为因为 所以所以 因为因为 所以所以 即即所以所以 BDBD是是O O的切线的切线ODCBABD是O的切线因为AC是O的直径例题欣赏例题欣赏 变式变式(二二):如图如图,直角梯形直角梯形ABCD中中,A=900,AD/BC,且且CD=AD+BC,以以AB为直径的圆与边为直径的圆与边CD有怎样的位置关系有怎样的位置关系,说明理由说明理由.ABCDFE M解：解：以以AB为直径的圆与为直径的圆与CD相切相切.取取AB的中点的中点E,则点则点E即为以即为以AB为直径的圆的圆心为直径的圆的圆心,过点过点E作作 EF CD 于于 F,连接连接DE并延长交并延长交CB的延长线于点的延长线于点M.课外练习、如图课外练习、如图,AB是圆是圆O的直径的直径,圆圆O过过AC的中点的中点D,DEBC于于E证明证明:DE是圆是圆O的切线的切线.ABCDEO.结束寄语你做成功一件事你做成功一件事,千万不要等待着享受荣誉千万不要等待着享受荣誉,应该再做那些需要做的事应该再做那些需要做的事.下课了!汇报结束谢谢大家!请各位批评指正