2019全国2卷理科数学试题及详解.doc

2019全国2卷理科数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.设集合A=xx2-5x+6>0,B=xx-1<0,则A∩B=( A )
A. (-∞,1) B. (-2,1) C. (-3,-1) D. (3,+∞)
2.设z=-3+2i,则在复平面z对应的点位于( C )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知AB=2,3,AC=3,t,BC=1,则AB∙BC=( C )
A. -3 B. -2 C. 2 D. 3
4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天
事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探
测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”。鹊桥沿着围绕地月
拉格朗日L2点的轨道运行，L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上，设地球质量为M1
，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定理和万有引力
定律，r满足方程：
M1R+r2+M2r2=(R+r)M1R3
设α=rR,由于α的值很小，因此在近似计算中3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3,则r的近似值为( D )
A. M2M1R B. M22M1R C. 33M2M1R D. 3M23M1R
5.演讲比赛共有9为评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个
原始评分中去掉1个最高分、一个最低分，得到7个有效评分。7个有效评分与9个
原始评分相比，不变的数字特征是( A )
A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D.极差
6.若a>b,则( C )
A. lna-b>0 B.3a<3b C. a3-b3>0 D. a>|b|

7.设α，β为两个平面，则α∥β的 充要条件是( B )
A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行
C. α，β平行于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面
8.若抛物线y2=2pxp>0的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点，则p=( D )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
9.下列函数中，以π2为周期且在区间π4,π2单调递增的是( A )
A. fx=|cos2x| B. fx=|sin2x| C. fx=cosx D. fx=sin⁡|x|
10.已知α∈0,π2,2sin2α=cos2α+1,则sinα=( B )
A. 15 B. 55 C. 33 D. 255
11.设F为双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径
的圆与圆x2+y2=a2交于P，Q两点.若PQ=OF,则C的离心率为( A )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
12.设函数fx的定义域为R，满足fx+1=2fx,且当x∈0,1时，fx=xx-1.
若对任意x∈-∞,m,都有fx≥-89,则m的取值范围是( B )
A. (-∞,94] B. (-∞,73] C.(-∞,52] D. (-∞,83]
二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
13.我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的
正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经
停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为
14.已知fx是奇函数，且当x<0时，fx=-eax,若fln2=8,则a=
15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC
的面积为
16.中国有悠久的金石文化，印信时金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、
正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员孤独信的印信形状是“半正多面体”图1.
半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体。半正多面体体现了数
学的对称美。图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一正方
体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有 个面，其棱长
为 （本题第一空2分，第二空3分。）

三、解答题：共70分。第17~21题为必考题。第22、23题为选考题。
（一）必考题：共60分
17.（12分） 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形、
点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
1证明：BE⊥平面EB1C1;
2若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.

18.（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多
得2分的一方获胜，该局比赛结束。甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的
概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立。在某局双方10:10后，
甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束。
1求PX=2; 2求事件“X=4且甲获胜”的概率。

19.（12分）已知数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.
1证明：an+bn是等比数列，an-bn是等差数列; 2求an和bn的通项公式.

20.(12分)已知函数fx=lnx-x+1x-11讨论fx的单调性，并证明fx有且仅有两个零点;
2设x0是fx的一个零点，证明曲线y=lnx在点Ax0,lnx0处的切线也是曲线y=ex的切线。

21．（12分）已知点A-2,0，B2,0,动点Mx,y满足直线AM与BM的斜率之积为-12.
记M的轨迹为曲线C.1求C的方程，并说明C是什么曲线;
2过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，
连结QE并延长交C与点G. i证明：△PQG是直角三角形; ii求△PQG面积的最大值.

二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在极坐标系中，O为极点，点Mρ0,θ0ρ0>0在曲线C：ρ=4sinθ上.直线l过点
A4,0且与OM垂直，垂足为P.
1当θ0=π3时，求ρ0及l的极坐标方程;
2当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

23.【选修4-5：不等式选讲】(10分)
已知fx=x-ax+x-2x-a.
1当a=1时，求不等式fx<0的解集;
2若x∈-∞,1时，fx<0,求a的取值范围.

参考答案：2019全国2卷理科数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.设集合A=xx2-5x+6>0,B=xx-1<0,则A∩B=( A )
A. (-∞,1) B. (-2,1) C. (-3,-1) D. (3,+∞)
解析：∵A=xx2-5x+6>0=xx<2或x>3,B=xx<1,
∴A∩B=xx<1,选A
2.设z=-3+2i,则在复平面z对应的点位于( C )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
解析：∵z=-3+2i，∴z=-3-2i,对应点-3,-2位于复平面第三象限，选C
3.已知AB=2,3,AC=3,t,BC=1,则AB∙BC=( C )
A. -3 B. -2 C. 2 D. 3
解析：∵BC=AC-AB=1,t-3,∴BC=1+t-32=1,∴t=3
∴BC=1,0,∴AB∙BC=2，选C
4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天
事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探
测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”。鹊桥沿着围绕地月
拉格朗日L2点的轨道运行，L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上，设地球质量为M1
，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定理和万有引力
定律，r满足方程：
M1R+r2+M2r2=(R+r)M1R3
设α=rR,由于α的值很小，因此在近似计算中3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3,则r的近似值为( D )
A. M2M1R B. M22M1R C. 33M2M1R D. 3M23M1R
解析：∵M1R+r2+M2r2=R+rM1R3，r=Rα,∴ M1R+Rα2+M2(Rα)2=(R+Rα)M1R3
∴M2=M1∙1+α-11+α2α2=M1∙3α3+3α4+α51+α2≈M1∙3α3=3M1∙r3R3,
∴r3≈M23M1R3,∴r≈3M23M1R,选D
5.演讲比赛共有9为评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个
原始评分中去掉1个最高分、一个最低分，得到7个有效评分。7个有效评分与9个
原始评分相比，不变的数字特征是( A )
A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D.极差
解析：不妨把9个原始评分从小到大排序记作：x1,x2,⋯,x9,去掉x1,x9,剩余7个
有效评分为，x2,x3,⋯,x8,由数字特征定义知，不变的数字特征是中位数，选A
6.若a>b,则( C )
A. lna-b>0 B.3a<3b C. a3-b3>0 D. a>|b|
解析：由函数y=lnx,y=3x,y=x3,y=x的基本性质知，当a>b时，只有a3-b3
>0成立，选C
7.设α，β为两个平面，则α∥β的 充要条件是( B )
A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行
C. α，β平行于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面
解析：由面面平行的判定定理知，B正确，选B
8.若抛物线y2=2pxp>0的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点，则p=( D )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
解析：抛物线y2=2pxp>0的焦点为Fp2,0,所以椭圆焦点在x轴上，由题知，
3p=p+(p2)2,∴p2=8p,又p>0，∴p=8,选D
9.下列函数中，以π2为周期且在区间π4,π2单调递增的是( A )
A. fx=|cos2x| B. fx=|sin2x| C. fx=cosx D. fx=sin⁡|x|
解析：由y=cos2x,y=sin2x,y=cosx,y=sinx的函数图象可知，周期为π2且
在区间π4,π2单调递增的函数是y=cos2x，选A
10.已知α∈0,π2,2sin2α=cos2α+1,则sinα=( B )
A. 15 B. 55 C. 33 D. 255
解析：∵2sin2α=cos2α+1，∴4sinαcosα=2cos2α,sinα=12cosα,
∴sin2α=141-sin2α,∴sin2α=15，又α∈0,π2，∴sinα=55，选B
11.设F为双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径
的圆与圆x2+y2=a2交于P，Q两点.若PQ=OF,则C的离心率为( A )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
解析：由题知，PQ=OF，∴2abc=c,∴c4=4a2b2=4a2c2-a2,
∴c4-4a2c2+4a4=0,∴c2-2a22=0,∴c2-2a2=0，∴c2a2=2,∴ca=2,选A
12.设函数fx的定义域为R，满足fx+1=2fx,且当x∈0,1时，fx=xx-1.
若对任意x∈-∞,m,都有fx≥-89,则m的取值范围是( B )
A. (-∞,94] B. (-∞,73] C.(-∞,52] D. (-∞,83]
解析：∵fx+1=2fx，∴fx=2fx-1,fx=12fx+1
∵x∈0,1时，fx=xx-1≥-14，
∴x∈1,2时，fx=2fx-1=2x-1x-2≥-12
x∈2,3时，fx=2fx-1=22x-2x-3≥-1
⋯,x∈n,n+1n∈N时, fx=2nx-nx-n-1≥-2n-2,
x∈-1,0时,fx=12fx+1=12x+1x≥-18,
x∈-2,-1时，fx=12fx+1=122x+2x+1≥-116
⋯，x∈-n-1,-nn∈N时，fx=12n+1x+n+1x+n≥-12n+3,
故当x∈2,3时，令fx=22x-2x-3=-89，得x=73,x=83，结合图象
∴x∈-∞,73时，都有都有fx≥-89，∴m≤73,选B
二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
13.我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的
正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经
停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为
解析：平均正点率估计值为0.97×1040+0.98×2040+0.99×1040=0.98，填0.98
14.已知fx是奇函数，且当x<0时，fx=-eax,若fln2=8,则a=
解析：∵已知fx是奇函数，且当x<0时，fx=-eax，
∴fln2=-f-ln2=e-aln2=eln12a=12a=8,∴a=-3,填-3
15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC
的面积为
解析：∵b=6,a=2c,B=π3，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,知
36=4c2+c2-2∙2c∙c∙12=3c2,∴c=23,a=43
∴△ABC的面积S=12acsinB=12∙43∙23∙32=63,填63
16.中国有悠久的金石文化，印信时金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、
正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员孤独信的印信形状是“半正多面体”图1.
半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体。半正多面体体现了数
学的对称美。图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一正方
体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有 个面，其棱长
为 （本题第一空2分，第二空3分。）

解析：由图知，该半正多面体的面数为26，设所求棱长为a,则由题知a+2a=1,∴a=2-1，
第一空填26，第二空填2-1
三、解答题：共70分。第17~21题为必考题。第22、23题为选考题。
（一）必考题：共60分
17.（12分）
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形、
点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
1证明：BE⊥平面EB1C1;
2若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.
解析：1在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C1⊥平面ABB1A1
BEÜ平面ABB1A1，∴B1C1⊥BE，又∵BE⊥EC1，B1C1∩EC1=C1，
且B1C1，EC1Ü平面EB1C1，∴BE⊥平面EB1C1
2∵底面ABCD是正方形，若AE=A1E，由1知BE⊥平面EB1C1，则BE⊥EB1，
∴△ABE为等腰直角三角形，取AB=BC=1,则AE=1，CC1=2
以C为坐标原点，以CD，CB，CC1分别为x,y,z轴如图建立空间直角坐标系C-xyz.
则C0,0,0,B0,1,0,E1,1,1,C10,0,2,
CE=1,1,1,CB=0,1,0,CC1=0,0,2
设平面CEB的法向量n=x,y,z,则
n∙CE=0n∙CB=0,∴x+y+z=0y=0,取x=1,则y=0,z=-1
∴n=(1,0,-1)
设平面CEC1的法向量m=a,b,c,则
m∙CE=0m∙CC1=0,∴a+b+c=02c=0,取a=1,则y=-1,z=0
∴m=(1,-1,0)
∴cos<m,n>=m∙nmn=122=12
∴二面角B-EC-C1的正弦值为32
18.（12分）
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多
得2分的一方获胜，该局比赛结束。甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的
概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立。在某局双方10:10后，
甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束。
1求PX=2;
2求事件“X=4且甲获胜”的概率。
解析：1用甲表示甲发球时甲得分，用乙表示乙发球时乙得分，用甲表示甲发球时乙得分，
用乙表示乙发球时甲得分，∵甲先发球,X=2，∴甲:乙为10:12或12:10时比赛结束。
则PX=2=P甲乙+P甲乙=0.5×0.4+1-0.5×(1-0.4)=0.5
2∵甲先发球，X=4且甲获胜，则甲：乙为13:11时比赛结束
则PX=4且甲获胜=P甲 乙 甲 乙+P甲 乙 甲 乙
=1-0.5×0.4×0.5×0.4+0.5×1-0.4×0.5×0.4=0.1
∴事件“X=4且甲获胜”的概率为0.1
19.（12分）
已知数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.
1证明：an+bn是等比数列，an-bn是等差数列;
2求an和bn的通项公式.
解析：1∵4an+1=3an-bn+4①,4bn+1=3bn-an-4②.
①+②得：4an+1+bn+1=2an+bn，即an+1+bn+1=12an+bn
①-②得：4an+1-bn+1=4an+bn+8，即an+1+bn+1=an+bn+2
又a1=1,b1=0，∴a1+b1=1，a1-b1=1
∴an+bn是首项为1，公比为12的等比数列，an-bn是首项为1，公差为2的等差数列.
2由1知，an+bn=12n-1, an-bn=2n-1,
∴an=12an+bn+an-bn=12n+n-12，bn=12an+bn-an-bn=12n-n+12
20.(12分)
已知函数fx=lnx-x+1x-1
1讨论fx的单调性，并证明fx有且仅有两个零点;
2设x0是fx的一个零点，证明曲线y=lnx在点Ax0,lnx0处的切线也是曲线y=ex的切线。
解析：1∵fx=lnx-x+1x-1=lnx-2x-1-1(x>0且x≠1)
∴f'x=1x+2x-12>0,∴fx在0,1上单调递增，在1，+∞上单调递增。
∵f1e=-1-1+e1-e=2e-1>0,f1e2=e2+1e2-1-2<0,fe=12-e+1e-1<0,fe2=2-e2+1e2-1>0
∴fx在0,1和1，+∞上各有一个零点.∴fx有且仅有两个零点.
2设x0是fx的一个零点，则lnx0-2x0-1-1=0
∵y=lnx,y'=1x，∴y=lnx在点Ax0,lnx0处的切线斜率为1x0,
∴y=lnx在点Ax0,lnx0处的切线方程为：y-lnx0=1x0x-x0，
即y=1x0x+lnx0-1=1x0x+2x0-1
设该切线与y=ex切于Bt,et，又y'=ex,∴et=1x0,且et=1x0t+2x0-1
∴1x0=1x0t+2x0-1，∴t=1-2x0x0-1=-2x0-1-1=-lnx0,
∴曲线y=lnx在点Ax0,lnx0处的切线也是曲线y=ex的切线且切点为B(-lnx0,1x0)
21．（12分）
已知点A-2,0，B2,0,动点Mx,y满足直线AM与BM的斜率之积为-12.
记M的轨迹为曲线C.
1求C的方程，并说明C是什么曲线;
2过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，
连结QE并延长交C与点G.
i证明：△PQG是直角三角形;
ii求△PQG面积的最大值.
解析：1设直线AM与BM的斜率分别为kAM，kBM，∵点A-2,0，B2,0,动点Mx,y
∴kAM∙kBM=yx+2∙yx-2=y2x2-4=-12，∴C：x24+y22=1x≠±2,∴曲线C是去掉左右顶点
A-2,0，B2,0,长轴长为4,焦点为±2,0的椭圆.

2(i)设Px0,y0,则Ex0,0,Q-x0,-y0,由题知直线PQ斜率存在且不为0，则直线PQ的方程
为y=y0x0x,直线 QE的方程为y=y02x0x-x0=y02x0x-y02，
且x02+2y02=4,x0>0,y0>0， 由x24+y22=1与y=y02x0x-y02，联立得
2x02+y02x2-2x0y02x+x02y02-8x02=0,解得，x=-x0,xG=x03y02+2x022x02+y02,yG=y032x02+y02
∴直线PG的斜率为y032x02+y02-y0x03y02+2x022x02+y02-x0=-x0y0,∴PQ⊥PG，∴△PQG是直角三角形.
Ii由i得PQ=2x02+y02,PG=2x0y0x02+y022x02+y02,∴△PQG的面积
S=12PQPG=2x0y0(x02+y02)2x02+y02=8x0y0(x02+y02)(x02+2y02)2x02+y02=8x0y0(x02+y02)x02y02+(x02+y02)2
令t=x02+y02x0y0=y0x0+x0y0≥2,则S=8t1+t2在2,+∞单调递减，∴y0=x0=233时，S取得最大值，
最大值为169. ∴△PQG面积的最大值为169.

二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在极坐标系中，O为极点，点Mρ0,θ0ρ0>0在曲线C：ρ=4sinθ上.直线l过点
A4,0且与OM垂直，垂足为P.
1当θ0=π3时，求ρ0及l的极坐标方程;
2当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
解析：1∵点Mρ0,θ0ρ0>0在曲线C：ρ=4sinθ上，当θ0=π3时，ρ0=4sinπ3=23
∴OP=OAcosπ3=2. 设Qρ,θ，则ρcosθ-π3=OP=2,
∴直线l的极坐标方程为ρcosθ-π3=2
2设Pρ,θ,则OP=OAcosθ=4cosθ,即ρ=4cosθ
∵P在线段OM上，且AP⊥OM，∴θ∈π4,π2,
∴点P轨迹的极坐标方程为ρ=4cosθ，θ∈π4,π2

23.【选修4-5：不等式选讲】(10分)
已知fx=x-ax+x-2x-a.
1当a=1时，求不等式fx<0的解集;
2若x∈-∞,1时，fx<0,求a的取值范围.
解析：1当a=1时，fx=x-1x+x-2x-1=-2x-12,x<1x-1x+x-2,x≥1
∴不等式fx<0的解集为(-∞,1)
2∵fa=0，∴a≥1
当a≥1，且x∈-∞,1时，fx=a-xx+2-xx-a=2a-xx-1<0
∴a的取值范围是1,+∞.