湖北省武汉市武昌区2019届高三元月调研考试数学理试题(全WORD版)(1).doc

(完整word版)湖北省武汉市武昌区2019届高三元月调研考试数学理试题(全WORD版)(1)
武昌区2019届高三元月调研考试
数学理　试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量不平行，且满足，则（ ）
A． B． C．1或 D．1或
4．函数的图象大致为（ ）

5．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的（ ）
A．26 B．102 C．410 D．512
6．设满足约束条件，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的最小正周期为，则的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知是区间上的任意实数，则函数在上单调递增的概率为
（ ）
A． B． C． D．
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则此四面体的体积为（ ）
A． B． 　　　　　C．32 　　　　　D．48

10．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知为双曲线的右支上一点，分别为双曲线的左顶点和右焦点，线段的垂直平分线过点，，则的离心率为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
12．已知函数，则的零点个数可能有（ ）
A．1个 B．1个或2个 C．1个或2个或3个 D．2个或3个
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．的展开式中的系数为 ．（用数字填写答案）
14．已知是定义域为的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则 ．
15．设是公差不为零的等差数列，为其前项和．已知成等比数列，且，则数列的通项公式为 ．
16．过点作直线与抛物线相交，其中与交于两点，与交于两点，过的焦点．若的斜率满足，则实数的值为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为，且，
．
（1）求和的大小；
（2）若的面积为，求边上中线的长．

18．（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．

19．（本小题满分12分）
某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”（记为l，单位：cm），先从中随机抽取100件，测量发现全部介于85cm和155cm之间，得到如下频数分布表：
分组
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
[125，135)
[135，145)
[145，155]
频数
2
9
22
33
24
8
2
已知该批产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本的平均数，近似为样本方差（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．
（1）求；
（2）公司规定：当时，产品为正品；当时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记为生产一件这种产品的利润，求随机变量的分布列和数学期望．
参考数据：．
若，则，
．

20．（本小题满分12分）
设分别为椭圆的左、右焦点，动点在上．的平分线交轴于点，交轴于点，过的直线交于两点．
（1）若，求的值；
（2）研究发现始终为定值，写出该定值（不需要过程），并利用该结论求面积的取值范围．

21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若存在两个极值点，且，证明：．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．
22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若与相交于两点，求的面积．
23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）
已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，不等式恒成立，求的取值范围．

武昌区2019届高三年级元月调研考试理科数学参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
B
A
A
B
C
B
D
A
B
B
A
13
6
14

15

16
2

17．解析：（1）因为，所以，
所以，即，所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
即，所以． ……………………6分
（2），因为，所以，
在中，，
所以．……………………………………………………………………………………12分

18．解析：（1）记，连结．因为，所以．
由题意知为正三角形，求得，在中求得，又，
所以，所以．因为，所以平面．
因为平面，所以平面平面．………………………………6分
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则，
．
因为平面，所以平面的法向量为．
设平面的法向量为，则，取，则，
所以．
所以，因为所求二面角的平面角为钝角，
所以所求二面角的余弦值为．………………………………………………12分

19．解析：（1）抽取产频质量指标值的样本平均数为：
，
抽取产品质量指标值的方差为：
，
因为，

．………………6分
（2）由频数分布表得：．
随机变量的取值为，且．
则随机变量的分布列为：

90

P
0.67
0.33
所以． ……………………………………………………………12分
20．解析：（1）由题意知．
直线的方程为，即，
直线的方程为，即．
由点到和的距离相等，得． （*）
其中，
，且．
所以（*）式可化为，解得．……………………………………………………4分
（2）定值为2，即．
直线的方程为，令，并考虑，得．
所以点的坐标为，从而过的直线的方程为，即，
代入，消去，得．设，
则．
所以，
所以．
因为，其中，
所以，所以，
所以面积的取值范围为．………………………………………………………………12分

21．解析：当时，，．
．当时，；当时，．
在单调递增，在单调递减．………………………………………………4分
（2）因为，所以．
因为存在两个极值点，所以在有两根．
所以，所以，且．
因为．
要证，只需证，即证．
令，只需证．
令，所以，
所以在单调递增，因为，所以，即．
所以，．
22．解析：（1）的普通方程为，由，得，
又因为，所以的直角坐标方程为．……………………4分
（2）原点到直线的距离，的标准方程为，表示圆心为
，半径的圆．到直线的距离，所以．
所以．………………………………………………………10分

23．解析：（1）当时，不等式化为．
当时，，解得，所以；
当时，，无解；
当时，，解得，所以．
所以，不等式的解集为．…………………………………………………4分
（2）当时，不等式化为，即．
由，得或，即或．
当时，不等式不恒成立；
当时，若不等式恒成立，则．
所以，所求的取值范围为．…………………………………………………………10分