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第二章随机变量及其分布 一、随机一、随机变量量 二、二、离散型随机离散型随机变量及其分布量及其分布 三、三、随机随机变量的分布函数量的分布函数 四、四、连续型随机型随机变量及其分布量及其分布 五、随机五、随机变量的函数的分布量的函数的分布1.第一节 为了更方便地从数量方面研究随机了更方便地从数量方面研究随机现象的象的统计规 第二章 实数数对应起来，起来，将随机将随机试验结果数量化果数量化。随机变量律，引入随机律，引入随机变量的概念，即将随机量的概念，即将随机试验的的结果与果与2.定定义1.1.设随机随机试验的的样本空本空间在在样本本上的上的实值单值函数，函数，称称是定是定义为随机随机变量量。例例1.1.对一均匀硬一均匀硬币抛一次，抛一次，观察正反面情况。察正反面情况。设为随机随机变量。量。其中其中表示事件表示事件A：结果果样本空本空间出出现正面，正面，即即同理同理其中其中表示事件表示事件 一、随机一、随机变量的定量的定义3.结果出果出现反面反面,即即例例2.2.测量某工厂一天生量某工厂一天生产灯泡的寿命。灯泡的寿命。样本空本空间设，其中，其中，则 X 为随机随机变量。量。寿命寿命表示一事件表示一事件A，例如例如例例3.3.某某战士射士射击命中率命中率为 ,设首次首次击中目中目标所需射所需射击 次数次数为 ,则随机随机变量量 4.随机随机变量定量定义在在样本空本空间 S 上上,定定义域可以是数也可域可以是数也可以不是数；而普通函数是定以不是数；而普通函数是定义在在实数域上的。数域上的。2.随机随机变量函数的取量函数的取值在在试验之前无法确定之前无法确定,有一定有一定的概率；而普通函数却没有。的概率；而普通函数却没有。三、随机三、随机变量的分量的分类随机随机变量量非离散型随机非离散型随机变量量离散型随机离散型随机变量量连续型随机型随机变量量其它其它 二、随机二、随机变量函数和普通函数的区量函数和普通函数的区别1.定定义域不同域不同5.离散型随机变量及其分布 第二章 一、离散型随机一、离散型随机变量的定量的定义二、常用的离散型随机二、常用的离散型随机变量量第二节6.定定义1.1.若某个随机若某个随机变量量的全部可能取的全部可能取值是有限个或是有限个或无限可列多个，无限可列多个，则称称这个随机个随机变量是量是离散型随机离散型随机变量量。定定义2.2.设离散型随机离散型随机变量量的所有可能取的所有可能取值为,其中其中取各个可能取各个可能值的概率，即事件的概率，即事件的概率的概率一、离散型随机一、离散型随机变量的定量的定义表示一个事件表示一个事件,并且并且为的的值域。域。7.满足：足：称称为离散型随机离散型随机变量量的的概率分布或分布律概率分布或分布律。分布律也可用如下表格的形式表示分布律也可用如下表格的形式表示分布律的分布律的判断条件判断条件8.例例1.1.设一汽一汽车在开往目的地的道路上需在开往目的地的道路上需经过三三盏信号信号灯，每灯，每盏信号灯以概率信号灯以概率允允许或禁止汽或禁止汽车通通过,表示汽表示汽车首次停下通首次停下通过的信号灯的信号灯盏数数(设各信号灯的工各信号灯的工作是相互独立的）作是相互独立的）,求求的分布律。的分布律。解解 由由题意可知意可知的分布律的分布律为，则9.显然，然，的分布律的分布律满足足；将将带入可得入可得的分布律的分布律为10.解解 S=HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT则例例2.2.设一均匀的硬一均匀的硬币抛三次抛三次为一次一次试验，为正面正面出出现的次数，求随机的次数，求随机变量量的分布律。的分布律。11.(01)分布分布定定义1.1.如果随机如果随机变量量的分布律的分布律为则称称服从参数服从参数为的的(01)分布分布。即即或或二、常用的离散型随机二、常用的离散型随机变量及其分布量及其分布（01）分布的分布律也可写成）分布的分布律也可写成12.注注 服从（服从（01）分布的随机）分布的随机变量很多，如果涉及的量很多，如果涉及的试验只有两个互斥的只有两个互斥的结果：果：，都可在，都可在样本空本空间上定上定义一个服从（一个服从（01）分布的随机）分布的随机变量：量：13.下面我下面我们将介将介绍一个重要的离散型随机一个重要的离散型随机变量的量的分布分布-二二项分布分布14.1.伯努利伯努利概型概型（概率（概率论中最早研究的模型之一，也是中最早研究的模型之一，也是研究最多的模型之一，在理研究最多的模型之一，在理论上一些重要的上一些重要的结果也由果也由它推它推导）n重独立重独立试验在相同的条件下在相同的条件下对试验E重复做重复做n次，若次，若n次次试验中各中各结果是相互独立的，果是相互独立的，则称称这n次次试验是相互独立的是相互独立的。伯努利概型伯努利概型设随机随机试验E只有只有两种可能两种可能结果，且果，且将将试验E独立地重复独立地重复进行行n次，次，则称称这n次次试验为n重伯努利重伯努利试验，或称，或称n重伯努利概型重伯努利概型。.二二二二项项分布分布分布分布15.引例：引例：某人打靶某人打靶单发命中率命中率为现独立重复射独立重复射击3次，求恰好命中次，求恰好命中2发的概率。的概率。解解表示表示“第第i次命中次命中”表示表示“恰好命中两次恰好命中两次”定理（伯努利定理）定理（伯努利定理）P24n重伯努利重伯努利试验中中,“事件事件 恰好恰好发生生k次次”,即即的概率的概率为：16.例例1从学校乘汽从学校乘汽车去火去火车站一路上有站一路上有 4 个交通个交通岗，到各个到各个岗遇到遇到红灯是相互独立的，灯是相互独立的，且概率均且概率均为0.3,求求某人从学校到火某人从学校到火车站途中站途中2次遇到次遇到红灯的概率。灯的概率。解解 途中遇到途中遇到 4次次经交通交通岗为4重重贝努利努利试验，其中，其中17.定定义2.2.如果随机如果随机变量量的分布律的分布律为则称称服从参数服从参数为的的二二项分分其中其中布布，记为容易容易验证由二由二项式定理式定理特特别,当当时,二二项分布分布为这就是（就是（01）分布，常）分布，常记为2 2.二二二二项项分布分布分布分布20.3.二二项分布的分布形分布的分布形态若若，则由此可知，二由此可知，二项分布的分布律分布的分布律(右右图)先是随着先是随着到其最大到其最大值后再随着后再随着 的增大而减小的增大而减小.这个使得个使得达到其最大达到其最大值的的称称为该二二项分布的最可能次数分布的最可能次数。的增大而增大，达的增大而增大，达21.例例4 已知已知100100个个产品中有品中有5 5个次品，个次品，现从中从中有放回有放回地地取取3 3次，每次任取次，每次任取1 1个，求在所取的个，求在所取的3 3个中恰有个中恰有2 2个次品个次品的概率的概率.22.表示所取的表示所取的3 3个中的次品数，个中的次品数，于是所求概率，于是所求概率为则解：解：设注注：若将本例中的若将本例中的“有放回有放回”改改为“无放回无放回”，那，那么各么各次次试验条件就不同了，不是伯努利概型，此条件就不同了，不是伯努利概型，此时只能用只能用古典概型求解古典概型求解.23.例例5 一大批一大批产品中一品中一级品率品率为0.20.2，现随机抽随机抽查2020只，只，问20只元件中恰好有只元件中恰好有为一一级品的概率品的概率为多少？多少？解解设表示表示20只元件中只元件中为一一级品的只数，品的只数，这个个试验可以看作伯努利可以看作伯努利试验。24.例例6 某人射某人射击命中率命中率为0.02，独立射，独立射击400次，次，试求至少求至少击中中2次的概率？次的概率？解解 设表示表示击中的次数，中的次数，则所以分布律所以分布律则所求概率所求概率25.例例4.设有有80台同台同类型型设备,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是生故障的概率都是0.01,且一台且一台设备的故障由一的故障由一个人个人处理。考理。考虑两种方法，其一是由两种方法，其一是由4人人维护，每，每人人负责20台，其二是由台，其二是由3人共同人共同维护80台，台，试比比较这两种方法在两种方法在设备发生故障不能及生故障不能及时维修的概率修的概率的大小。的大小。26.27.定理定理1（泊松泊松Poisson定理定理)设是一常数，是一常数，n是是正整数，若正整数，若，则对任一固定的非任一固定的非负整数整数证明明 由由得得28.注：注：二二项分布是最重要的离散型概率分布之一，当分布是最重要的离散型概率分布之一，当时，即，即为（01）分布；当）分布；当时，二二项分布近似于下面介分布近似于下面介绍的泊松分布。的泊松分布。定定义1.设随机随机变量量所有可能取的所有可能取的值为0,1,2,0,1,2,而而 且概率分布且概率分布为：.泊松分布泊松分布其中其中，则称称服从参数服从参数为的泊松分布的泊松分布，记30.泊松定理的意泊松定理的意义：31.泊松分布的泊松分布的图形特点形特点：32.当当 n 很大，很大，p 很小很小时，泊松泊松定理表明：定理表明：泊松分布是二泊松分布是二项分布的极限分布分布的极限分布，参数参数 =n p 的的泊松分布泊松分布二二项分布就可近似看成是分布就可近似看成是33.例例1 一交通路口一段一交通路口一段时间内汽内汽车发生交通事故的次数生交通事故的次数服从参数服从参数为的泊松分布，求至少的泊松分布，求至少发生两次生两次事故的概率。事故的概率。解解 随机随机变量量则34.例例3 某城市有某城市有1%色盲者，色盲者，问从从这个城市里个城市里选出多少出多少人才能使里面至少有一位色盲患者的概率少于人才能使里面至少有一位色盲患者的概率少于0.95？解解 设选出出n个人，个人，n人中色盲患者人中色盲患者为则两两边取取对数数所以得所以得36.随机变量的分布函数 第二章 一、分布函数的概念一、分布函数的概念二、分布函数的性二、分布函数的性质第三节37.为X 的的分布函数分布函数。记作作设 X 是一个随机是一个随机变量，量，定定义1 1是任意是任意实数，称函数数，称函数的的值就表示就表示X 落在区落在区间上的概率上的概率.分布函数分布函数一、分布函数的概念一、分布函数的概念38.由定由定义，对任意任意实数数上的概率上的概率，用，用F(x)刻画随机点落在刻画随机点落在功能式功能式区区间由于由于得得39.解解 (1)(1)当当时，当当时，则例例1 1 设随机随机变量量X 的分布律的分布律为求求(1)(1)X 的分布函数；的分布函数；(2)(2)40.当当时，则 当当时，则所以所以41.(2)一般地一般地，设离散型随机离散型随机变量量的分布律的分布律为由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得的分布函数的分布函数为请看看41页42.二、分布函数的性二、分布函数的性质 单调不减性不减性：右右连续性性：对任意任意实数数 x 归一一 性性：，则具有上述三个性具有上述三个性质的的实函数，必是某个函数，必是某个随机随机变量的分量的分布函数。布函数。故故该三个性三个性质是分布函数的是分布函数的充分必要充分必要性性质。对任意的43.解解例例2 已知已知，求，求 A、B。所以所以44.例例3 已知离散型随机已知离散型随机变量量 X 的分布函数的分布函数为求求 X 的分布律。的分布律。解解 X 的可能取的可能取值为 3，4，5。45.所以所以 X 的分布律的分布律为46.例例1.一个靶子是半径一个靶子是半径为2米的米的圆盘,设击中靶上任一中靶上任一同心同心圆盘上的点的概率与上的点的概率与该圆盘的面的面积成正比成正比,并并设射射击都能都能击中靶中靶,以以X表示表示弹着点与着点与圆心的距离心的距离.试求求X的分布函数的分布函数.47.48.