江西省九江一中2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析.doc

(完整word版)江西省九江一中2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析
2016-2017学年江西省九江一中高二（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上.）
1．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（　　）
A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1
C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1
2．在△ABC中，A=60°，C=45°，c=20，则边a的长为（　　）
A． B． C． D．
3．已知数列{an}满足an=17﹣3n，则使其前n项的和Sn取最大值时n的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．“4＜K＜9”是“方程+=1表示的图形为椭圆”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设x，y满足约束条件，则的最大值为 （　　）
A．0 B． C．1 D．2
6．已知抛物线方程为x2=2py，且过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为（　　）
A．（1，0） B．（，0） C．（0，） D．（0，1）
7．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
8．已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
9．数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则Sn=（　　）
A．2n﹣1 B． C． D．
10．△ABC满足，设M为△ABC内一点（不在边界上），记x、y、z分别表示△MBC、△MAC、△MAB的面积，若z=最小值为（　　）
A．9 B．8 C．18 D．16
11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2向其中一条渐进线作垂线，垂足为N，已知点M在y轴上，且满足=2，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．2
12．已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则a的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（0，1） C．（，1） D．（1，2）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．不等式（x﹣1）（x+1）（x﹣2）＜0的解集为　　．
14．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是
　　．
15．已知P为椭圆+=1上的一个点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为　　．
16．已知a、b满足b=﹣+3lna（a＞0），点Q（m、n）在直线y=2x+上，则（a﹣m）2+（b﹣n）2最小值为　　．

三、解答题：本大题共6小题，共75分
17．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a+b=6，c=2，cosC=．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求S△ABC．
18．为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．
（I）求该校报考体育专业学生的总人数n；
（Ⅱ）已知A，a是该校报考体育专业的两名学生，A的体重小于55千克，a的体重不小于70千克．现从该校报考体育专业的学生中选取体重小于55千克的学生1人、体重不小于70千克的学生2人组成3人训练组，求A不在训练组且a在训练组的概率．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：AD⊥平面PQB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=3MC，求三棱锥P﹣QBM的体积．

20．数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+（n+1）n（n∈N+），
（1）令cn=，证明{cn}是等差数列，并求an；
（2）令bn=，求数列{bn}前n项和Sn．
21．设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
（1）求b；
（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．
22．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），抛物线的焦点到直线l：y=2x+2的距离为．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设点R（x0，2）在抛物线C上，过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．

2016-2017学年江西省九江一中高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上.）
1．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（　　）
A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1
C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1
【考点】四种命题．
【分析】根据逆否命题的定义，直接写出答案即可，要注意“且”形式的命题的否定．
【解答】解：原命题的条件是““若x2＜1”，结论为“﹣1＜x＜1”，
则其逆否命题是：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1．
故选D．

2．在△ABC中，A=60°，C=45°，c=20，则边a的长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦定理．
【分析】依题意，由正弦定理=即可求得边a的长．
【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，C=45°，c=20，
∴由正弦定理=得： =，
∴a=20×=20×=10，
故选A．

3．已知数列{an}满足an=17﹣3n，则使其前n项的和Sn取最大值时n的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由题意易得递减的等差数列{an}前5项为正数，从6项开始为负数，易得结论．
【解答】解：令an=17﹣3n≤0可得n≥，
∴递减的等差数列{an}前5项为正数，从6项开始为负数，
∴使其前n项的和Sn取最大值时n的值为5
故选：B

4．“4＜K＜9”是“方程+=1表示的图形为椭圆”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】求出方程+=1表示的图形为椭圆的k的范围，结合集合的包含关系判断即可．
【解答】解：∵方程+=1表示的图形为椭圆，
∴，解得：4＜k＜9且k≠，
故“4＜K＜9”是“方程+=1表示的图形为椭圆“的必要不充分条件，
故选：B．

5．设x，y满足约束条件，则的最大值为 （　　）
A．0 B． C．1 D．2
【考点】简单线性规划．
【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．
【解答】解：约束条件对应的区域如图：
由的几何意义得到：
区域内的点A（1，2）与O的连接直线斜率最大
即的最大值为=2；
故选D．

6．已知抛物线方程为x2=2py，且过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为（　　）
A．（1，0） B．（，0） C．（0，） D．（0，1）
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】将点（1，4）代入抛物线方程，求得p的值，求得抛物线方程，即可求得抛物线的焦点坐标．
【解答】解：由抛物线x2=2py，过点（1，4），代入1=8p，p=，
抛物线方程为x2=y，焦点在y轴上， =，
则抛物线的焦点坐标（0，），
故选：C．

7．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【考点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．
【分析】根据f（x）=f（2﹣x）求出（x）的图象关于x=1对称，又当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，x﹣1＜0，得到f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，根据增函数性质得到即可．
【解答】解：由f（x）=f（2﹣x）可知，f（x）的图象关于x=1对称，
根据题意又知x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，
x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
所以f（3）=f（﹣1）＜f（0）＜f（），即c＜a＜b，
故选B．

8．已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【考点】导数的几何意义．
【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．
【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），
又∵
∴x0+a=1
∴y0=0，x0=﹣1
∴a=2．
故选项为B

9．数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则Sn=（　　）
A．2n﹣1 B． C． D．
【考点】数列递推式．
【分析】由a1=1，Sn=2an+1，可得Sn=2（Sn+1﹣Sn），化为：Sn+1=Sn，再利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：∵a1=1，Sn=2an+1，
∴Sn=2（Sn+1﹣Sn），化为：Sn+1=Sn．　
∴数列{Sn}是等比数列，公比为，首项为1．
则Sn=．
故选：D．

10．△ABC满足，设M为△ABC内一点（不在边界上），记x、y、z分别表示△MBC、△MAC、△MAB的面积，若z=最小值为（　　）
A．9 B．8 C．18 D．16
【考点】基本不等式．
【分析】如图所示，△ABC满足，可得cbcos30°=2，解得bc=4．可得S△ABC=bcsin30°=1，可得x+y=．（x，y＞0）．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：如图所示，
∵△ABC满足，
∴cbcos30°=2，解得bc=4．
∴S△ABC=bcsin30°==1，
∴x+y+=1，解得x+y=．（x，y＞0）．
∴=2（x+y）=≥=18，当且仅当y=2x=时取等号．
故选：C．

11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2向其中一条渐进线作垂线，垂足为N，已知点M在y轴上，且满足=2，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设出右焦点和一条渐近线方程，由向量共线可得N为F2M的中点，运用两直线垂直的条件和点斜式方程，求得MN的方程，进而得到M，N的坐标，运用中点坐标公式，结合离心率公式，计算即可得到．
【解答】解：设F2（c，0），双曲线的一条渐近线方程为y=x，
由于=2，则有N为F2M的中点，
又垂线MN为y=﹣（x﹣c），
联立渐近线方程可得N（，），
而M（0，），
由中点坐标公式可得c+0=，
则有c=a，e==．
故选：A．

12．已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则a的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（0，1） C．（，1） D．（1，2）
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】利用导数研究函数的极值，求导，f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，由于函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点⇔g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．对a分类讨论，解得即可．
【解答】解：f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax，
令g（x）=lnx+1﹣2ax，
∵函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，
g′（x）=﹣2a=，
当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，
因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去；
当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，
令g′（x）＞0，解得0＜x＜，此时函数g（x）单调递增；
令g′（x）＜0，解得x＞，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=时，函数g（x）取得极大值．
当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→﹣∞，
要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，
则g（）=＞0，解得0＜a＜，
∴实数a的取值范围是（0，），
故选：A．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．不等式（x﹣1）（x+1）（x﹣2）＜0的解集为　（﹣∞，﹣1）∪（1，2）　．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．
【解答】解：令（x﹣1）（x+1）（x﹣2）=0，解得：x=1或﹣1或2，
x＜﹣1时，x﹣1＜0，x+1＜0，x﹣2＜0，
故（x﹣1）（x+1）（x﹣2）＜0，成立，
﹣1＜x＜1时，x﹣1＜0，x+1＞0，x﹣2＜0，
故（x﹣1）（x+1）（x﹣2）＞0，不成立，
1＜x＜2时，（x﹣1）＞0，（x+1）＞0，（x﹣2）＜0，
故（x﹣1）（x+1）（x﹣2）＜0，成立，
x＞2时，x﹣1＞0，x+1＞0，x﹣2＞0，
故（x﹣1）（x+1）（x﹣2＞0，不成立，
故不等式的解集是：（﹣∞，﹣1）∪（1，2），
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，2）．

14．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是
　　．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】利用余弦定理，结合c2=（a﹣b）2+6，C=，求出ab=6，利用S△ABC=absinC，求出△ABC的面积．
【解答】解：由c2=（a﹣b）2+6，可得c2=a2+b2﹣2ab+6，
由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=a2+b2﹣ab，
所以：a2+b2﹣2ab+6=a2+b2﹣ab，
所以ab=6；
所以S△ABC=absinC=×6×=．
故答案为：．

15．已知P为椭圆+=1上的一个点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为　7　．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由椭圆的定义：|PF1|+|PF2|=2a=10．圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的圆心和半径分别为F1（﹣3，0），r1=1；F2（3，0），r2=2．由|PM|+r1≥|PF1|，|PN|+r2≥|PF2|．|PM|+|PN|≥|PF1|+|PF2|﹣1﹣2=7．
【解答】解：由椭圆+=1焦点在x轴上，a=5，b=4，c=3，
∴焦点分别为：F1（﹣3，0），F2（3，0）．
|PF1|+|PF2|=2a=10．
圆（x+3）2+y2=1的圆心与半径分别为：F1（﹣3，0），r1=1；
圆（x﹣3）2+y2=4的圆心与半径分别为：F2（3，0），r2=2．
∵|PM|+r1≥|PF1|，|PN|+r2≥|PF2|．
∴|PM|+|PN|≥|PF1|+|PF2|﹣1﹣2=7．
故答案为：7．

16．已知a、b满足b=﹣+3lna（a＞0），点Q（m、n）在直线y=2x+上，则（a﹣m）2+（b﹣n）2最小值为　　．
【考点】两点间的距离公式．
【分析】根据y=3lnx﹣x2；以及y=2x+，所以（a﹣m）2+（b﹣n）2就是曲线y=3lnx﹣x2与直线y=2x+之间的最小距离的平方值，由此能求出（a﹣m）2+（b﹣n）2的最小值．
【解答】解：∵b=﹣a2+3lna（a＞0），
设b=y，a=x，则有：y=3lnx﹣x2，
∴（a﹣m）2+（b﹣n）2就是曲线y=3lnx﹣x2与直线y=2x+之间的最小距离的平方值，
对曲线y=3lnx﹣x2，求导：y′（x）=﹣x，
与y=2x+平行的切线斜率k=2=﹣x，解得：x=1或x=﹣3（舍），
把x=1代入y=3lnx﹣x2，得：y=﹣，即切点为（1，﹣），
切点到直线y=2x+的距离： =，
∴（a﹣m）2+（b﹣n）2的最小值就是（）2=．
故答案为：．

三、解答题：本大题共6小题，共75分
17．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a+b=6，c=2，cosC=．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求S△ABC．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（I）利用余弦定理可得ab，与a+b=6联立即可得出．
（II）利用三角形面积计算公式即可得出．
【解答】解：（I）由余弦定理，c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣2ab×，∴22=62﹣ab，解得ab=9．
联立，解得a=b=3．
（II）∵cosC=，C∈（0，π）．∴sinC==．
∴S△ABC===2．

18．为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．
（I）求该校报考体育专业学生的总人数n；
（Ⅱ）已知A，a是该校报考体育专业的两名学生，A的体重小于55千克，a的体重不小于70千克．现从该校报考体育专业的学生中选取体重小于55千克的学生1人、体重不小于70千克的学生2人组成3人训练组，求A不在训练组且a在训练组的概率．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布．
【分析】（I）设报考体育专业的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，根据前3个小组的频率之比为1：2：3和所求频率和为1，建立方程组，解之即可求出第二组频率，然后根据样本容量等于频数÷频率进行求解即可；
（II）根据古典概型的计算公式，先求从该校报考体育专业的学生中选取体重小于55千克的学生1人、体重不小于70千克的学生2人组成3人训练组的所有可能情形，再求符合要求的可能情形，根据公式计算即可．
【解答】解：（I）设该校报考体育专业的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，则由题意可知，
，
解得p1=0.125，p2=0.25，p3=0.375．
又因为p2=0.25=，故n=48．
（II）由题意，报考体育专业的学生中，体重小于55千克的人数为48×0.125=6，记他们分别为A，B，C，D，E，F，
体重不小于70千克的人数为48×0.0125×5=3，记他们分别为a，b，c，
则从该校报考体育专业的学生中选取体重小于55千克的学生1人、体重不小于70千克的学生2人组成3人训练组的结果为：（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c），（C，a，b），（C，a，c），（C，b，c），（D，a，b），（D，a，c），（D，b，c），（E，a，b），（E，a，c），（E，b，c），（F，a，b），（F，a，c），（F，b，c），共18种；
其中A不在训练组且a在训练组的结果有：（B，a，b），（B，a，c），（C，a，b），（C，a，c），（D，a，b），（D，a，c），（E，a，b），（E，a，c），（F，a，b），（F，a，c），共10种，
∴所求概率P==．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：AD⊥平面PQB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=3MC，求三棱锥P﹣QBM的体积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）由PA=PD，得到PQ⊥AD，又底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，得BQ⊥AD，利用线面垂直的判定定理得到AD⊥平面PQB利用面面垂直的判定定理得到平面PQB⊥平面PAD；
（2）由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，得PQ⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，得PQ⊥BC，得BC⊥平面PQB，即得到高，利用椎体体积公式求出；
【解答】证明：（1）∵PA=PD，
∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，
∴BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，
∴AD⊥平面PQB
解：（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴PQ⊥BC，
又BC⊥BQ，QB∩QP=Q，
∴BC⊥平面PQB，
又PM=3MC，
∴VP﹣QBM=VM﹣PQB=．

20．数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+（n+1）n（n∈N+），
（1）令cn=，证明{cn}是等差数列，并求an；
（2）令bn=，求数列{bn}前n项和Sn．
【考点】数列的求和；等差关系的确定．
【分析】（1）把已知数列递推式两边同时除以n（n+1），可得数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，求其通项公式后可得an；
（2）把（1）中求得的数列通项公式代入bn=，整理后利用裂项相消法求数列{bn}前n项和Sn．
【解答】（1）证明：由nan+1=（n+1）an+（n+1）n，得
，又∵，
∴数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
则，
∴；
（2）解：∵bn==，
∴=．

21．设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
（1）求b；
（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；
（2）对a分类讨论：当a时，当a＜1时，当a＞1时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：（1）f′（x）=（x＞0），
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0，解得b=1．

（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+，
∴=．
①当a时，则，
则当x＞1时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，
∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，即，
解得；
②当a＜1时，则，
则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减；
当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增．
∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，
而=+，不符合题意，应舍去．
③若a＞1时，f（1）=，成立．
综上可得：a的取值范围是．

22．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），抛物线的焦点到直线l：y=2x+2的距离为．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设点R（x0，2）在抛物线C上，过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．

【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）可以得到抛物线的焦点为，而根据点到直线的距离公式得到，而由p＞0即可得出p=2，从而得出抛物线方程为y2=4x；
（Ⅱ）容易求出R点坐标为（1，2），可设AB：x=m（y﹣1）+1，，直线AB方程联立抛物线方程消去x可得到y2﹣4my+4m﹣4=0，从而有y1+y2=4m，y1y2=4m﹣4．可写出直线AR的方程，联立y=2x+2即可得出，而同理可得到，这样即可求出，从而看出m=﹣1时，|MN|取到最小值，并且可得出此时直线AB的方程．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，，得p=2，或﹣6（舍去）；
∴抛物线C的方程为y2=4x；
（Ⅱ）点R（x0，2）在抛物线C上；
∴x0=1，得R（1，2）；
设直线AB为x=m（y﹣1）+1（m≠0），，；
由得，y2﹣4my+4m﹣4=0；
∴y1+y2=4m，y1y2=4m﹣4；
AR： =；
由，得，同理；
∴=；
∴当m=﹣1时，，此时直线AB方程：x+y﹣2=0．

2017年2月25日