浙江省衢州市年高三4月教学质量检测数学理试卷.doc

(完整word版)浙江省衢州市2015年高三4月教学质量检测数学理试卷
衢州市2015年 4月高三年级教学质量检测试卷
数学(理科)
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.设集合，, 则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知直线，，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若是不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. B B.
C. D.
5.已知实数满足： ，若的最小值为，则实数（ ）
A. B. C. D. 8
6.为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A.向右平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向左平移
7.设点是曲线上的动点，且满足
，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.在等腰梯形中， 其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. 2 D.

二、填空题
9.已知双曲线：，则它的焦距为__ _；渐近线方程为__ _；
焦点到渐近线的距离为__ _．
10.已知等差数列的前项和为,,，则__ ，__ ．
11.三棱锥中，平面，为侧棱上一点，它的正视图和侧视图 （如下图所示），则与平面所成角的大小为__ _；三棱锥的体积为 __ _．

2

4

2

4
4

侧视图
正视图

12.在中，若，则其形状为__ _，__
（①锐角三角形 ②钝角三角形 ③直角三角形，在横线上填上序号）；
13.已知满足方程，当时，则的最小值为 __ _．
14.过抛物线的焦点作一条倾斜角为锐角,长度不超过的弦,且弦所在的直线与
圆有公共点,则角的最大值与最小值之和是__ _．
15.已知函数，若关于的方程有个不同的实数
根，且所有实数根之和为，则实数的取值范围为__ _．
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16.（本题满分15分）已知函数
（Ⅰ）求函数的单调增区间；
（Ⅱ）在中，内角所对边分别为，，若对任意的不等式
恒成立，求面积的最大值．

17.（本题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形， 平面，点分别为的中点，且，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）设直线与平面所成角为，当在内
变化时，求二面角的取值范围．

18.(本题满分15分)已知椭圆：过点，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同两点，记的内切圆的面积为，求当取最大值时直线的方程，并求出最大值．

19.（本题满分15分）设各项均为正数的等比数列的公比为，表示不超过实数的
最大整数（如），设，数列的前项和为，的前项和为.
（Ⅰ）若，求及；
（Ⅱ）若对于任意不超过2015的正整数,都有 ，证明:．

20.(本题满分14分)设为函数两个不同零点.
（Ⅰ）若，且对任意,都有，求；
（Ⅱ）若，则关于的方程是否存在负实根?若存在,求出该负根的取值范围，若不存在,请说明理由；
（Ⅲ）若，,且当时，的最大值为，求的最小值.

2015年4月衢州市高三教学质量检测
数学（理）参考答案
一、选择题：
CBAC BDAB
二、填空题：
9． ； 10． ； 11．；
12．③，； 13．； 14．； 15．．
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16.（本题满分15分）
解：（Ⅰ）

由 解得
所以函数的单调增区间为
（Ⅱ）由题意得当时，取得最大值，则及
解得
由余弦定理得
即
所以当时，

17.（本题满分15分）
（Ⅰ）证明：取中点，连接，
因为点分别为的中点，所以
四边形为平行四边形，则 又平面，平面
所以平面
（Ⅱ）解法1：连接，因为，点分别为的中点，则
又平面，则 所以即为二面角的平面角
又，所以 平面，则平面平面
过点在平面内作于，则平面．
连接，于是就是直线与平面所成的角，即=．
在中，；
在中，，．
，
，．
又，．
即二面角取值范围为．
解法2：连接，因为，点分别为的中点，则
又平面，则 所以即为二面角的平面角，设为
以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
于是，，，．
设平面的一个法向量为，
则由．
得
可取，又，
于是，
，
，．
又，．
即二面角取值范围为．
18.(本题满分15分)
解：（Ⅰ）由题意得 解得
椭圆的标准方程为
（Ⅱ）设，的内切圆半径为，则

所以要使取最大值，只需最大
设直线的方程为
将代入可得(*)
恒成立，方程(*)恒有解，
记
在上递减
当，此时
19.（本题满分15分）
解：（Ⅰ） 所以 则
因为，且
所以 即
（Ⅱ）因为

(1)

(2)
由（1）（2）两式可得

20. (本题满分14分)
解：（Ⅰ）由得函数关于对称，则
又 解得
（Ⅱ）由知只需考虑时的情况 当时可化为

所以关于的方程存在唯一负实根

令
在上单调递增
则

（Ⅲ）
等号成立条件为 所以
因为