2017学年广州市调研考试题及参考答案(理科数学).doc

(word完整版)2017学年广州市调研考试题及参考答案(理科数学)
2017届广州市普通高中毕业班模拟考试
理科数学
2016.12
一、选择题:本题共12小题，每小题5分， 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合，，则
　 （Ａ) 　 （Ｂ) (Ｃ） 　 （Ｄ)
（2）设,其中是实数,则
（A）1 (B） （C) (D）
(3）等比数列的前项和为，若，则公比
(A） （B） （C） (D)

（4）已知双曲线()的渐近线方程为, 则双曲线的离心率为
（A） （B) (C） (D）
(5）若将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称,则的最小正值是
(A） （B) (C） (D）
（6）GZ新闻台做“一校一特色”访谈节目, 分A， B, C三期播出, A期播出两间学校， B期，
C期各播出1间学校, 现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务, 不同的选法共有
（A)140种 （B）420种 （C）840种　　 （D）1680种
（7)已知函数 ，则函数的图象是

(A） (B） （C) (D）

（8)设，， ，则的大小关系为
(A） （B) （C) （D)
（9）阅读如下程序框图,运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为

(A) 7 （B） 9 （C) 10 (D) 11
（10）已知抛物线的焦点为,准线为，是上一点,直线与曲线相交于，两点，若，则
(Ａ） (Ｂ) (Ｃ) （Ｄ)
(11）如图, 网格纸上小正方形的边长为1， 粗线画出的是某三棱锥
的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积是
(A） （B)
(C) （D）

（12) 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
（A) (B) (C) (D)

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22~23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本小题共4题，每小题5分。
（13)已知菱形的边长为， , 则________．
（14）按照国家规定, 某种大米质量(单位：kg)必须服从正态分布， 根据检测
结果可知，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利, 若该公司有名职工， 则分发到的大米质量在kg以下的职工数大约为 .
（15）已知满足约束条件若的最大值为4,则 。
（16）在数列中,，,对所有正整数均有，则 。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17)（本小题满分12分）
已知△的内角，,的对边分别为,，，若，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若， 求.
(18）（本小题满分12分）
某产品按行业生产标准分成个等级,等级系数依次为…，其中为标准，为标准. 已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件; 乙
厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲, 乙两厂的产品都符合相
应的执行标准。
（Ⅰ)已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：

且的数学期望, 求的值；
(Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数,从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等
级系数组成一个样本，数据如下:

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率，求等级系数的数学期望；
（Ⅲ）在（Ⅰ），（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可
购买性？说明理由.
注: ①产品的“性价比”；②“性价比”大的产品更具可购买性。

（19) （本小题满分12分）
如图， 平面，平面， △是等边三角形，,
是的中点.
（Ⅰ）求证：;
（Ⅱ)若直线与平面所成角的正切值为,
求二面角的余弦值.

(20) （本小题满分12分）
已知动圆与圆相切,且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线.
（Ⅰ)求曲线的方程；
（Ⅱ)设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行
线交曲线于两个不同的点， 求△面积的最大值．

（21） （本小题满分12分）
设函数. 若曲线在点处的切线方程为
（为自然对数的底数）。
(Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，试比较与的大小，并予以证明。

请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分.
(22）（本小题满分10分）选修4－4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位。已知直线l的参数方程为为参数， 曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ） 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（II）设直线与曲线C相交于两点， 当变化时, 求的最小值.

（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知，不等式的解集是。
(Ⅰ）求的值;
(II）若存在实数解，求实数的取值范围。

2017届广州市普通高中毕业班模拟考试
理科数学试题答案及评分参考
（1)B （2）D (3）A （4）B （5)A （6）C
（7）D （8）C （9）B （10)B （11）D （12)A
（13） （14） （15） （16）
(17）解：
(Ⅰ）因为,，
由余弦定理得，即. ……………………2分
所以。 …………………………………………4分
由于， 所以. …………………………………………6分
（Ⅱ）法1： 由及， 得, ……………………7分
即， ………………………………………………………………8分
解得或（舍去)。 …………………………………………9分
由正弦定理得, …………………………………………10分
得。 ………………………………………12分
法2： 由及正弦定理得, …………………………………………7分
得. …………………………………………8分
由于， 则,
则. …………………………………………9分
由于， 则. ………………………………………10分
所以
………………………………………11分

. ……………………………………………………………12分
(18) 解：
（Ⅰ)， 即,  ……………………1分
又由的概率分布列得, ② ……………………2分
由‚得 …………………………………………………………4分
（Ⅱ)由已知得,样本的频率分布表如下：

………………………………………………………………5分
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如下：

………………………………………………………………6分
所以. ……………7分
即乙厂产品的等级系数的数学期望为. ……………………………………………8分
（Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于， 价格为元/件,所以其性价比为，
………………………………………………………………………………9分
因为乙厂产品的等级系数的期望等于， 价格为元/件，所以其性价比为，
……………………………………………………………………………10分
据此，乙厂的产品更具可购买性。 ……………………………………………12分
（19） 解：
（Ⅰ）因为△是等边三角形，是的中点,
所以. …………………………………1分
因为平面, 平面,
所以。 …………………………………2分
因为，
所以平面. ……………………3分
因为平面，
所以。 ……………………………4分
（Ⅱ）法1: 以点为坐标原点,所在直线为轴，所在直线为轴，过且
与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系。
因为平面，
所以为直线与平面所成角。 ……………………………………5分
由题意得, 即，…………………………………6分
从而。
不妨设, 又， 则, 。…………………………7分
故,， , . ……………………………8分
于是， ,,,
设平面与平面的法向量分别为，
由 得 令，得，
所以。 …………………………………9分
由 得 令,得， 。
所以. …………………………………10分
所以。 …………………………………11分
所以二面角的余弦值为。 …………………………………12分
(20） 解：
（Ⅰ）设圆的半径为， 圆心的坐标为，
由于动圆与圆相切，且与圆相内切，
所以动圆与圆只能内切。 …………………………………1分
所以 …………………………………2分
则. …………………………………3分
所以圆心的轨迹是以点为焦点的椭圆,
且， 则。
所以曲线的方程为。 …………………………………4分
（Ⅱ）设，直线的方程为，
由 可得，
则. …………………………………5分

所以 …………………………………6分

…………………………………7分

因为,所以△的面积等于△的面积。 …………………8分
点到直线的距离. ……………………………9分
所以△的面积.

…………………………………10分
令,则 ,.
设，则.
因为， 所以
所以在上单调递增.
所以当时, 取得最小值, 其值为。 …………………………………11分
所以△的面积的最大值为. …………………………………12分
说明: △的面积.

（21） 解：
（Ⅰ)函数的定义域为。
。 ………………………………………………………………1分
依题意得，即 ……………………3分
所以。 ………………………………………………………………4分
所以，.
当时， ； 当时， 。
所以函数的单调递减区间是， 单调递增区间是。………………6分
（Ⅱ）当时,。
等价于，
也等价于。 ………………………………………7分
不妨设，
设(),
则. …………………………………………………………8分
当时，,所以函数在上为增函数，
即， ……………………9分
故当时，（当且仅当时取等
号）。
令，则， …………………………………………10分
即（当且仅当时取等号)，……………11分
综上所述，当时，（当且仅当时取等号）.
………………………………………………………………12分

(22） 解:
(Ⅰ) 由消去得， ……………………1分
所以直线的普通方程为. ……………………2分
由, 得, ……………………3分
把代入上式， 得,
所以曲线C的直角坐标方程为。 …………………………………………5分
(II) 将直线l的参数方程代入， 得, ………………6分
设A、B两点对应的参数分别为,
则， , …………………………………………7分
所以 . ……9分
当时， 的最小值为4。 …………………………………………10分
（23） 解：
（Ⅰ）由, 得，即. ……………………1分
当时，。 …………………………………………………………2分
因为不等式的解集是
所以 解得…………………………………………………………3分
当时,。 …………………………………………………………4分
因为不等式的解集是
所以 无解。 …………………………………………………………5分
所以
（II)因为………………7分
所以要使存在实数解，只需。 ………………8分
解得或。 ………………………………………………………9分
所以实数的取值范围是. …………………………10分

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