一类高阶有理差分方程正平衡解的稳定性.pdf

2024 年 4 月第 45 卷第 2 期湘南学院学报Journal of Xiangnan UniversityApr.,2024Vol.45 No.2 110 一类高阶有理差分方程正平衡解的稳定性李望康，陈彭涛，刘美，王金华*（湘南学院 数学与信息科学学院，湖南 郴州 423000）摘 要：文章研究了一高阶有理差分方程1nn knn kyyyABy+=+的正平衡解的性态，其中,A B 为正实数，1k 为正整数，初始值10,kkyyy+为非负实数，研究获得了该方程唯一正平衡解具有局部稳定性的充要条件以及全局渐近稳定的充分条件。关键词：高阶；有理差分方程；正平衡解；稳定性中图分类号：O157 文献标志码：A DOI:10.3969/j.issn.1672-8173.2024.02.019收稿日期：2023-08-05基金项目：国家级大学生创新创业训练计划项目（S202310545011）；湖南省大学生创新创业训练计划项目（湘教通 2023237 号，No.3700）。作者简介：李望康（2004），男，湖南涟源人，在校本科生，研究方向为差分方程；通信作者：王金华（1968），女，湖南醴陵人，教授，硕士，研究方向为微分差分方程。差分方程模型是数学研究动力学系统的重要分支，在生产实际的各个领域都有着广泛的应用。国内外都有不少的学者致力各类差分方程模型的研究。有理差分方程也是一个有理的递推序列，其定性性质的研究没有固定的方法，不同的模型的解的性态有很大的差别且复杂多变，也因此引起了学者们的广泛兴趣，一直以来都是研究热点。Gibbons 等 1 研究了简单的二阶有理差分方程11()(),0,1,2,nnnxxxn+=+=，分别讨论了其解的有界性、振动性、周期性及稳定性等性态。文献 2 将相关模型的阶数进行了推广，分析了一类简单的1k+阶有理差分方程1,0,1,2,nn knyAyyn+=+=解的情况，得到更高阶有理差分方程解的特征。Devaul等 3 研究了只含一次项的高阶有理差分模型1()(),0,1,2nn knn kyPyqyyn+=+=的解性态，其中高阶项系 数 为 1，进 一 步 将 模 型 进 行 拓 展 研 究。El-Afifi 4 讨 论 了 更 一 般 形 式 的 二 阶 有 理 差 分 方 程111()(),0,1,2nnnnnxxxBxCxn+=+=解 的 稳 定 性。Saleh 等 5 研 究 了 有 理 差 分 方 程1()(),0,1,2,nnn knn kxxxBxCxn+=+=，将文献 3 的模型推广到了最一般的形式，而将文献 4的模型推广到了一般高阶的有理差分方程，推广了文献 3-4 的相关研究。文献 6 研究了形于1()(),0,1,2nnn knxaxbxABxn+=+=的高阶有理差分方程解的全局渐近稳定性,分别获得了其零解及正平衡解具有全局渐近稳定的充分条件。文献 7 研究了更高阶的差分方程13nn knkxA xB x+=+，获得了其解具有稳定与全局吸引性的条件。Saleh 等 8 又将文献 6 的模型进行了推广，其形式为含 4 个参数的高阶有理差分方程1()(),0,1,2nnn kn kxaxbxABxn+=+=，研究了此方程平衡解的全局渐近稳定性。可见，不同类型的有理差分方程都受到学者的关注，模型由简单到复杂，理论和应用都不断发展。国内期刊也涌现出不少关于有理差分模型的研究文献，如陈韦韦 9 讨论的是带二次项的高阶有理型差分模型的奇点集及解的表达式，分析了其解的全局性，获得了较好的结论。谢涛等 10 分析了带初始条件的差分方程1(1)()nn sn tn sxxpxpqx+=+正解的全局吸引性，其初始条件满足：1 min,2 min,0,0s ts txxx，获得了其正解具有全局吸引性的充分条件。基于以上讨论可以看出，不同的差分方程其解的性态差别很大，差分方程的阶数越高，其解的性态分析过程越复杂，难度也更大，模型中多一个扰动项都有可能导致解的不稳定。本文研究更一般形式的含 5个参数的高阶有理差分模型的正平衡解的性态，即 111 1nn knn kyyyABy+=+（1）其中，,A B 为正实数，1k 为正整数，初始值10,kkyyy+为非负实数；式（1）比文献 8 的模型适应范围更广泛。1 定义及引理定义 1 5 点 y 称为差分方程11(,),0,1nnnn kyf yyyn+=（2）的平衡解是指 y 满足条件(,)yf y yy=。定义 2 5 设 y 是式（2）的平衡解，则有：（a）y 称为局部稳定是指0,0,当10,kkyyyI+且当10kkyyyyyy+时，有,nyynk当10,kkyyyI+且10kkyyyyyy+时，有limnnyy=；（c）y 称为全局吸引是指对所有的10,kkyyyI+有limnnyy=；（d）y 称为全局渐近稳定是指 y 是局部稳定且全局吸引。引理 1 5 设,a bR则差分方程10,0,1nnn kyaybyn+=（3）的解渐近稳定的充要条件是12ab+。引理 2 5 考虑差分方程1(,),0,1nnn kyf yyn+=（4）其中，1,2k，:,fa ba ba bR为连续函数，且满足下列两个条件：（i）(,)f x y 分别关于变量,x y 不增；（ii）如果(,),m Ma ba b是方程组(,),(,)f M Mm f m mM=的解，则必有mM=。那么，式（4）的所有解都收敛到其唯一平衡解 y，即唯一平衡解 y 是该差分方程式（4）的全局吸引子。引理 3 8 考虑差分方程1(,),0,1nnn kyf yyn+=（5）其中，1,2k，:,fa ba ba bR为连续函数，且满足下列两个条件：（i）(,)f x y 关于,xa b变量不减，关于,ya b变量不增；（ii）如果(,),m Ma ba b是方程组(,),(,)f m Mm f M mM=的解，则必有mM=。那么，式（5）的所有解都收敛到其唯一平衡解 y，即唯一平衡解 y 是该差分方程式（5）的全局吸引子。2 正平衡解及其性态定理 1 式（1）有唯一正平衡解2()()42AAByB+=。证明：由平衡解的定义得差分方程式（1）的平衡解 y 满足yyyABy+=+（6）由式（6）可得李望康，陈彭涛，刘美，等：一类高阶有理差分方程正平衡解的稳定性 112 湘南学院学报2024 年 4 月（第 45 卷）第 2 期2()0ByA y+=（7）解式（7）得2()()42AAByB+=。由,A B 均为正实数可知式（1）有唯一正平衡解：2()()42AAByB+=。为了应用引理讨论式（1）的局部稳定性，先将原非线性有理差分方程式（1）进行线性化。令(,)uvf u vABv+=+，则有222(,),(,),(,),(,)()()()ffAByfABBufABByu vy yu vy yuABvuvABvvAByAByABy+=+。因此，非线性有理差分方程式（1）的线性化方程为122()()nnn kAByABByzzzAByABy+=+（8）定理 2 若()AB+，则式（1）的唯一正平衡解 y 是局部渐近稳定的。证明：对照引理 1 中的式（3）及线性化式（8），记222,()()()AByABByBAByabAByAByABy+=+。当()AB+时，有ABA，于是有22()()AByBAByabAByABy+=+（9）即1abb+成立。再由式（7）可得2()A yyB+=，代入有 2ByBAbAAByByByB+=+（10）显然由式（10）可以看出1b 。因此有，12abb+,所以必有mM=。这与,m M m M为有理差分方程式（1）的二周期解矛盾。定理 4 如果k 为奇数且 A+成立，则有理差分方程式（1）没有非负二周期解。证明：设k 为奇数，且存在严格不等的非负实数m 和M，使得,m M m M为有理差分方程式（1）的二周期解，则实数m 和M 同时满足 MmmABm+=+，mMMABM+=+（12）由式（12）可得()()0AB mMMm+=，又A+,所以必有mM=。这与,m M m M为有理差分方程式（1）的二周期解矛盾。113 李望康，陈彭涛，刘美，等：一类高阶有理差分方程正平衡解的稳定性定理 5 设()AB+成立，则式（1）的唯一正平衡解是全局渐近稳定的。证明：令(,),0 xyf x yx yABy+=+，由前面的计算可得20,0()ffABBxxAByyABy=+显然，函数(,)f x y关于 x 变量不减，关于y不增，所以(,)f x y满足引理 3 的条件（i），又由定理 3和定理 4 可知(,)f x y满足引理 3 的条件（ii）。由此推得有理差分方程式（1）唯一正平衡解是全局吸引的，因此，该正平衡解也是全局渐近稳定的。3 数值模拟结果例 考虑如下高阶有理差分方程2121.20.51.5,0,1,2,1.32.3nnnnyyyny+=+（13）即差分方程式（1）中令1.2,0.5,1.5,1.3,2.3AB=，通 过 简 单 计 算 可 以 验 证 参 数 满 足 定 理 5 中 的 条 件()AB+。由定理 1 可计算式（13）的正平衡解为2()()40.89032AAByB+=（14）取定初始值2100.1,0.2,0.3yyy=，通过 MATLAB 进行数值计算得到如图 1 所示的数值模拟结果。从图 1 可以看出，差分方程式（13）的解最终收敛于唯一正平衡解y，验证了定理所得结果，即有理方差分方程（13）唯一正平衡解y是全局渐近稳定。参考文献 1 GIBBONS C H,KULENOVIC M R S,LADAS G.On the recursive sequence 11()()nnnxxx+=+J.Mathematical Science Research Hot-Line,2000,4(2):1-11.2 SALEH M,ALOQEILI M.On the rational difference equation 1nn knyAyy+=+J.Applied Mathematics and Computation,2005,171(2):862-869.3 DEVAULT R,KOSMALA W,LADAS G,et al.On the Recursive Sequence Global behavior of 1()()nn knn kyPyqyy+=+J.Nonlinear Analysis:Theory,Methods&Applications,2001,47(7):4743-4751.4 El-AFIFI M M.On the recursive sequence 111()()nnnnnxxxBxCx+=+J.Applied Mathematics and Computation,2004,147(3):617-628.5 SALEH M,ALKOUMI N,FARHAT A.On the dynamics of a rational difference equation 1()()nnn knn kxxxBxCx+=+J.Chaos,Solitons and Fractals,2017,96(1):76-84.6 YAN X X,LI W T,ZHAO Z.Global asymptotic stability for a higher order nonlinear rational difference equations J.Applied Mathematics and Computation,2006,182(2):1819-1831.7 JABERI DOURAKI M,DEHGHAN M,RAZZAGHI M.On the higher order rational recursive sequence 13nn knkxA xB x+=+J.Applied Mathematics and Computaton,2006,173(2):710-723.8 SALEH M,FARHAT A.Global asymptotic stability of the higher order equation 1()()nnn kn kxaxbxABx+=+J.Journal of Applied Mathematics and Computing,2017,55(1):135-148.9 陈韦韦.一类含有二次项的高阶有理差分方程的全局行为 J.四川大学学报（自然科学版）2018,55(2):231-236.10 谢涛,范逸鹏,郭芳承.一类有理差分方程全局吸引性 J.陇东学院学报,2023,34(2):1-4.图 1 差分方程式（13）解的性态数值模拟图