一类带有临界指数的分数阶Schrodinger-Poisson系统正解的存在性.pdf

第 卷 第 期 西 华 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版)()年 月.:./.收稿日期:基金项目:四川省自然科学基金项目()西华师范大学科研创新团队项目()西华师范大学基本科研项目()作者简介:廖家锋()男博士教授硕士生导师主要从事非线性泛函分析方面的研究通信作者:廖家锋:.引文格式:廖家锋蒋维.一类带有临界指数的分数阶 系统正解的存在性.西华师范大学学报(自然科学版)():.()():.一类带有临界指数的分数阶 系统正解的存在性廖家锋蒋 维(西华师范大学.数学与信息学院.公共数学学院四川 南充)摘 要:分数阶 系统是由分数阶 方程和分数阶 方程耦合而成 本文考虑了含有临界指数的分数阶 系统由于非局部项中含有临界指数这使得对()条件的成立和山路水平值的估计有一定的困难 通过山路定理和变分方法得到了该系统正解的存在性 补充并推广了以往分数阶 系统的相关结论关键词:正解临界指数分数阶 系统山路定理中图分类号:.文献标志码:文章编号:()考虑如下分数阶 系统()()()()()式中:()假设 满足以下条件:()()且满足()其中 是一个正常数()当 时存在 满足 ():()其中 表示 测度()是以 为中心以 为半径的球()对所有的 满足()()对所有的 有 ()且存在 使得()满足()()()对所有的 满足()其中 ()对所有的 当 ()时满足 且 ()()当()()()时文献 利用变分方法和集中紧性原理证明了系统()至少存在一个基态解其中 ()()()其次文献 在()中研究了系统()当()()()时文献 在强制位势条件下利用变分方法和改进的集中紧性原理得到了系统()非平凡解的存在性其中 ()()()当()()()时文献 利用变分方法和山路定理证明了系统()至少存在一个正解其中()()满足()和()文献 在周期位势条件下利用山路定理集中紧性原理和逼近方法证明了系统()有一个非平凡解其中()当()()()()时文献 利用变分方法和集中紧性原理得到了系统()基态解的存在性其中 ()关于带临界指数的其他文献可参阅文献受上述文献的启发特别是文献本文考虑把 的范围从()推广到()运用山路定理和变分方法可以证明系统()有正解 本文的主要结果如下:定理 如果条件()()和()()都成立则系统()至少存在一个正解 预备知识本文所用到的符号有:记()为 空间它的范数是()/这里 空间()():()()是()在范数()()下的完备化空间空间()():()()的范数为 由于()非负故可以引入空间()的子空间():()和 满足)对所有的 满足 /()假设 弱 于 和()().于 则在()中 弱 进一步 可以知道 ()引理 如果条件()()和()成立则()存在 当 时满足()()存在 当 时满足()存在 满足()()()()令 :其中 根据 不等式和()可以推出()再根据引理 对所有的 可以知道 ()()()()()()()由于 足够小故可以假设 ()当 充分小时可以推得()()()西华师范大学学报(自然科学版):./年故()成立()对任意的 有()()()()于是当 时满足()因此存在充分大满足以及()取 则()也成立 从而引理 证毕定义()()其中 ():()()()引理 如果条件()()和()成立则泛函 满足局部的()条件这里()证明 若 是泛函 在 上的局部的()序列则当 时满足()()()可以断言:是 上的有界序列事实上当 足够大时根据条件()以及()式有 ()()()()()()这说明序列 在 上有界故可知 存在子列(不妨仍记为)和 当 时满足弱 在 中 在()(存在 和 ()满足()根据 控制收敛定理和上式可以知道()()()()()进一步结合()式和()式可知()()()()()同理可得()()()()不妨假设再结合()式和()式则有 ()()()再根据引理 和 不等式可以知道 ()()这意味着 从而有 或者 若 代入()式则有 ()它和 时有()对于设()()()()(/)()(/)()()由文献 中的命题 和命题 可知()()()()()()()()西华师范大学学报(自然科学版):./年引理 如果条件()()和()都成立则 足够小时有()当 时有()又有()因此存在 使得()()由于对所有的 都存在 满足 故由引理 知 和 使得对所有的 ()满足 再根据条件()()和()()式可知存在正常数 和 使得当 充分小时满足()()由条件()可知给定足够大的 存在足够大的 满足()其中 再结合()式可知对所有的 都存在 满足()()因此存在 和 使得对所有的 ()有 此外根据()式可推得()()接下来设()()()()由()可知 ()()()()()再根据()式可知 ()()从而可推得 ()()()()()()()()令()()()通过计算有()()从而有()()()再结合()式知当 充分小时有()()()()()当 ()时有 ()()()又()()()()充分小时有()()()()当 时有 ()()又故当 充分小时有()()()当 ()时 ()()()又 第 卷第 期廖家锋等:一类带有临界指数的分数阶 系统正解的存在性 ()()充分小时有()()()即当 充分小时有 ()因此()是 系统()的一个非平凡解又因为()()()()()所以有 ()()()()()()()()这说明 是方程()的非负弱解下面只需证明 是正的假设存在 使得()即有()()再根据()的定义有()()()()()()因此()()这意味着 它与 矛盾 故定理 得证参考文献:.:.():.():.:.张炫冯晓晶.带临界项的分数阶薛定谔泊松系统的非平凡解.纺织高校基础科学学报():.():.郭凯利冯晓晶.具有临界项的分数阶薛定谔泊松系统的解.山东大学学报(理学版)():.:.():.():.廖家锋朱丽君.一类带有临界指数的 系统非平凡解的存在性.西华师范大学学报(自然科学版)():.朱丽君廖家锋.一类带有临界指数的 系统正解的存在性.西南师范大学学报(自然科学版)():.西华师范大学学报(自然科学版):./年 .:.:.():.():.():.(.):.().: