以历史之美 启对数之光——HPM视角下湘教版《对数的概念》教学设计.pdf

2024年 3月西北成人教育学院学报Mar.2024第2 期Journal of the College of Northwest Adult EducationNo.2一、课标分析在中华人民共和国教育部制定的普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）的教学建议中指出：在教学活动中，教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养；将数学文化融入教学，还有利于激发学生的数学学习兴趣，有利于学生进一步理解数学，有利于开阔学生视野、提升数学学科核心素养。此外，在普通高中数学课程标准的内容和学业要求中都指出，通过 对数的概念 一课的学习，学生需要理解对数的概念。二、设计理念数学史与数学教育（History and Pedagogy ofMathematics，简称HPM）意指数学史与数学教育之间的关系，作为一个学术研究领域，始于1972年。HPM的研究目标就是通过运用数学史来提高数学教育的水平。基于课标分析及落实核心素养的培养方案，在 HPM 的视角下，将对数的诞生历史融入教学中，根据学生在理解对数概念时可能遇到的问题，设计出具有针对性的教学案例：通过追溯对数的历史、呈现对数的起源、感知对数研究的必要性，带领学生简要经历对数发明的过程，不仅增强了课堂的文化性，激发了学生的学习热情，更加有利于降低学生的认知负荷，帮助学生理解本课的重难点。而且，在给学生讲述对数概念的演变过程时，也能够让学生追寻大师的足迹，领略大师的风采、体会大师坚持不懈，勇于创新的精神，将数学文化和数学精神作为助推剂，培养学生积极向上的情感价值观，架设沟通历史与现实、数学与人文的桥梁，最终达成立德树人的根本目标。以历史之美启对数之光HPM视角下湘教版 对数的概念 教学设计樊晖（兰州市第五十八中学，甘肃兰州730000）摘要本研究在数学史与数学教育（History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM）的视角下，将对数的诞生历史融入对数的概念教学中，根据学生在理解对数概念时可能遇到的问题，设计出具有针对性的教学案例，帮助学生理解本课的重难点，同时，通过带领学生追溯历史、呈现起源、感知研究的必要性，有利于降低认知负荷，激发学生的学习热情；借助对数概念的演变过程，也能够让学生领略大师的风采、体会大师坚持不懈，勇于创新的精神，进而形成积极向上的情感价值观，最终达成立德树人的根本目标。关键词对数的概念；数学史；HPM中图分类号G633.6文献标识码A文章编号1008-8539-（2024）02-0094-08DOI10.20012/ki.ISSN1008-8539.2024.02.014收稿日期2023-11-13作者简介 樊晖（1982），女，汉族，甘肃平凉人，本科，中教一级，从事高中数学教学工作研究。94三、教材分析本节课选自湘教版高中数学必修第一册第四章第三节，是一节概念课，既是指数有关知识的承接与延续，又是后续研究对数函数、探讨函数应用的基础。对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。对数函数作为本章的主要内容之一，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活及科研问题中都起到了十分重要的作用。通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，为后续学习对数的运算性质奠定基础，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，起到了承上启下的重要作用。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。四、学情分析在知识层面，学生已经具备了指数的概念和指数函数的学习经验，了解了研究函数的一般方法，经历了由特殊到一般具体到抽象的研究过程，初步具备探索、发现、研究对数定义的认知基础。但本节课学生将要学习已知底数和幂的值求指数的一种全新的运算，对学生来说还是比较抽象的，同时认识与理解对数运算符号也是学生认知对数的一个障碍。因此，在本节课的学习过程中，教师要给予学生足够的耐心，巧妙设计、抽丝剥茧、紧扣对数的定义、重视对数式与指数式的等价关系，逐层深入的引导学生解开对数的神秘面纱，使学生认识到对数运算是指数运算的逆运算，进而教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用等价转化的数学思想方法，以及感悟类比、归纳两种推理形式。五、教学目标1.经历对数概念产生的历史情景，初步理解对数将乘除运算化为加减运算的作用，理解对数的概念，会读会写对数，会求简单对数，提升培养数学抽象、数学运算素养；2.通过训练，熟练掌握对数式与指数式的互化，能总结出指对互化的原则，培养数学运算素养；3.从对数的概念出发，经历对数恒等式的归纳与证明过程，进一步理解指对运算互为逆运算，提升探究能力及符号认知能力，培养逻辑推理素养；4.能利用对数的基本恒等式进行对数式的化简与求值计算，能将对数运算转化为指数运算，求解对数方程。六、教学重、难点重点：（1）对数的定义；（2）对数式与指数式的相互转化。难点：（1）对数定义的形成与理解；（2）指、对之间的关系。七、教学方法（一）教学方法选取数学教育学家波利亚曾经说过：“学习任何知识的最佳途径即是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。”根据高一学生的认识特点和知识水平，笔者在教法上采用的是“问题探究式教学”，学法上采用“自主探究、合作交流”的方法。为落实重点，让学生在自主探索与合作交流中经历对数重要结论的生成过程；为突破难点，在反思总结中建构知识和方法的正确认识，通过追问的方式、结合生活实例，加深对对数定义和结论的理解。（二）目标检测设计为达到理想的教学效果，本节课在学生自主探究过程中，教师通过巡视，收集反馈信息；通过适时指导，调节学生的探究进程。在全班展示交流时，通过教师的点评或追问，引导学生调节自己的思维活动，促使探究问题的解决。八、教学过程为了提高教学的有效性，全面高效达成教学95目标，本课预设了以下七个教学环节：（一）创设情景、提出问题1.播放视频教师天文学是人类最古老的学科之一，当人类开始仰望星空时，天文学就已经诞生了。人类从来没有停止过对宇宙的探索，直到2016年，天眼的落成使用，开启了宇宙探索的新篇章。下面，我们一起来看一段有关天眼的纪录片。【设计意图1】直击对数诞生的历史根源天文学，为对数的引入埋下伏笔。【设计意图2】用由我国自主研发、世界排名第一的射电望远镜“天眼”开场，瞬间激发学生的爱国热情，让课堂思政化落到实处。2.历史探源、激发动力教师天眼，承载中国梦的国之重器，尽管它扎根天坑，“身段儿”很低，但目光却很远，它能探测的距离可以达到137亿光年，这个距离几乎到达了宇宙的边缘！光年，距离单位，一把量天的尺子，究竟1光年到底有多大呢？我们通过数值计算来感受一下吧！教师我们该如何计算1光年的大小呢？学生用光速乘以1年的秒数。教师现在，请同学们自己动笔算一算！学生迟迟不肯动笔或艰难地计数。教师 怎么感觉同学们很不情愿的样子呢？说说吧，为什么？学生这两个数字太大了！教师确实有些大了！今天，我们可以借助于计算器，很快得到1光年的大小，的确是一个很大的一个数字！具体点来说，1个正常人走完1光年需要大约 2 亿年。1 光年已经这么大了，何况137亿光年呢？这样，我们就不难理解了，在没有计算器的16、17世纪，天文学家常常需要耗费几个月甚至几年的时间来计算一个行星的位置。这不仅耗费时间，而且还容易出错，他们时常抱怨：没有什么比“大数”运算更让人头疼的了！随着人类对探索宇宙的渴望日益增长，改进数值计算方法成了当务之急！【设计意图1】通过引导学生计算1光年的大小，让学生感同身受天文学家的苦恼，理解改进数值计算方法的迫切愿望，意识到对数的发明有着极其强烈的动机，以及学习对数的必要性。【设计意图2】大数的乘法运算是本节课的主线，这个问题的提出自然的交代了后面的教学都是围绕解决多位数乘法运算问题而展开的。3.改进计算方法教师大道至简啊，求简是数学的灵魂。为了简化数值计算，苏格兰数学家纳皮尔利用对应思想，首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。这种对应思想，我们可以用一个表格来说明它：表中两行数字之间的关系是明确的：第一行是指数，第二行是2的对应幂。如果让同学们利用上表的对应关系，你能快速地计算出16128的值吗？122439416532664712882689512101024112048学生要计算第二行中两个大数的乘积，可以通过第一行对应数字的加法来计算。比如：第一行中 4+7=11，对应的第二行中 16128=2048。类似的，还可以计算2048除以128，等于16。教师利用对应关系，实现了把“大数”的乘除运算降级为简单的加减运算，大大提高了计算效率。教师有了这种对应思想，我们还可以如何计算“这两个大数的乘法”呢？学生 可以先把“光速”和“一年的秒数”这两个大数都改写成2的对应幂的形式，再去计算。教师 是的，只要再能求出指数 m 和 n 的值，剩下的问题就易如反掌了。可是，你会求m，n的值吗？学生不会！【设计意图1】通过利用数表对来对去的计算过程，感知对数名称中“对”的深刻内涵是对应。通过总结对应关系可以实现降级运算，为后96续学习对数的运算性质奠定基础。【设计意图2】利用具体的问题引发学生的认知冲突，激发学生探求新知的兴趣。教师 如果是 2m=4，不难得到 m=2；，2n=32；如果是2p=48，p等于多少呢？不会求！那这样的p存在吗？学生存在，可以做y=2x和y=48两个函数的图象，它们只有一个交点，所以方程只有一解，而且交点的横坐标就是方程的解。借助图象，还不难发现，这样的p值，不仅存在，而且还唯一。教师对于更一般的情形，比如3m=8、10n=54、ap=76，这样的m、n、p的值还唯一存在吗？学生答案是肯定的，唯一存在！【设计意图】关注学生的认知规律，引导学生用旧知识解决新问题，反映知识的联系性。学生能够运用数形结合的方法探索指数的存在性，进而想办法用数学符号表示指数。不仅体现数形结合的思想，同时又能够为引入对数符号打下基础。4.类比学习教师既然唯一存在，那这个解我们可以把它表示出来吗？学生暂时不能！教师在之前的学习过程中，我们还有没有遇到过类似的困难？明明是一个数，但在我们目前有限的知识范围内却无法表示，后来又是如何解决的呢？学生学生自由发言，有学生提到无理数的诞生过程。教师下面，我们一起来回顾几种数学运算的诞生过程，看能不能受到什么启发？比方说：在加法算式中，我们想要表示其中一个加数的值，数学家们就给我们引入了减法；在乘法算式中，我们想要表示其中一个因数的值，数学家们就给我们引入了除法；在指数式中，我们想要表示底数的值，数学家们又给我们引入了开方运算，当然开方的结果会与n的奇偶有关；那么，在指数式中，想要准确表示指数的值，又该引入什么运算呢？其实就是我们今天要学习的一种新的数学运算，叫做对数运算！下面，我们一起来认识一下数学家们为我们创造的这位新朋友吧。借助于对数运算，我们就可以把这个指数式中的指数p准确表示为：p=log248。【设计意图】基于类比推理的学习模式，让创造一种新的数学运算的过程完全符合学生的认知规律，设置台阶，有效降低认知负荷，让对数定义的得出水到渠成。另外，对数的发明是计算方法的求简，数学符号的运用为的是语言的求简，求简是数学的重要思维方式之一。（二）新课讲授、梳理定义1.形成定义教师我们将它推广到一般的情形中，即：如果ab=N（a0且a1），那么b叫做以a为底，数N的对数，记作：b=logaN，读作：以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做对数的真数。教师 对数一词是由希腊文“关系”和“数”这两个词合成的，直译起来就是有关系的数，也体现了上述的对应思想。其中对数符号“log”是这个单词的缩写。对数符号“log”是一个整体，表示一种运算，即已知底数a和幂值N，求指数的运算，运算结果仍是一个实数。不同于其他运算，利用对数符号“log”来连接运算对象时，我们需要将对数运算的符号写在两个数的最前面。在对数式中，a还叫做底数；通过纳皮尔的对应思想，不难看出，在对数的运算中，“对数”充当了“替身”的角色，而对数所顶替的数，幂值N就被称为了“真数”。这就是我们今天要学习的一个新的定义对数的定义。【设计意图】学生跟随教师的引导，一步步进行数学抽象探究，建立底数不同的对数模型，逐步过渡到一般化问题，给对数赋予形式化的定义与符号，使其形成一个具体的数学对象，实现了定义的符号化、一般化。在此过程中，学生兴趣盎然的感受数学的魅力，逐步形成类似数学家的乐于探究的趋同感。2.理解定义97教师为了更好地理解对数的定义，我们再来结合表格举个例子：比如2x=256，利用对数的定义可得x=log2256，从表格中不难看出28=256，所以log2256=8。教师 现在，你会表示2m=299792458和2n=31536000这两个指数式中的m和n的值了吗？学生 会了！m=log2299792458，n=log231536000。教师 可是，我们能像上面这个式子一样，从表格中找到m和n的值吗？学生不能。教师不难发现，表格中第二行的数字跳得太快，缺少了很多数字，比如3、5、7等等，这样很多数的计算就无法借助这张表格来完成。如果这张表格能被扩充，那该多好啊！但是，这个工作的难度相当大！追求科学的过程中，没有捷径可走！纳皮尔经过二十多年的艰苦探索，尝试了很多种方法，不断扩充表格，终于解决了这些问题，并于1614年出版了他的数学名著 奇妙的对数定律说明书，向世人公布了他的这项发明。【设计意图】将数学史融入课堂教学中，通过介绍数学家纳皮尔为对数的诞生所付出的努力，让学生领略大师的风采，学习大师坚持不懈的精神，达到立德树人的目标。3.升华定义教师 同学们想想看，有了这样一张说明书，要计算行星的位置，天文学家还会头疼吗？肯定不会了！教师那你觉得天文学家会以怎样的心情来迎接对数的诞生呢？教师诚然，对数的诞生确实有效地解决了大数运算的困难，整个天文学界以近乎狂喜的心情来迎接这一发明。数学家拉普拉斯说：对数的发现，因其缩短了计算时间而延长了天文学家的寿命。伟大的导师恩格斯说：对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。【设计意图】名人名言语言精练、表达准确、含蓄典雅，增强说服力，具有权威性，让学生从内心完全认可对数诞生的重要性，达到“言有尽而意无穷”的境界。4.辨析定义思考：指数式ab=N和对数式logaN=b中的a，b，N分别代表什么？两个式子有什么关系？学生 指数式中的底数也是对数式中的底数，指数式中的指数即是对数式中的对数，指数式中的幂即是对数式中的真数。教师根据对应关系，不难看出：尽管指数式与对数式的形式不一样，相同的字母的名称也不同，但它们的本质却是一样的，它们是同一本质的不同表达形式而已，所以具有等价关系，是可以互化的。这种对应关系（见图1），我们可以用十二字箴言来记忆它，就是“底数不变，指对一体，幂真一致”。图1指数式和对数式中各要素的对应关系【设计意图】充分体现对数与指数的关系，理解对数概念的来龙去脉，突出转化与化归的数学思想。5.应用定义例1：将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。（1）23=8（2）105=100000（3）3x=7（4）log232=5（5）log3127=-3（6）logxb=2点评历史上，对数的发明先于指数，这是数学史上的珍闻。直到18世纪，欧拉才发现对数与指数间的联系，他指出：“对数源出于指数”，深刻揭示了指数与对数的密切联系，这个见解很快被人们所接受，这也就是为什么我们会先学习98指数，再学习对数的原因了，就是想以指数作为奠基，利用“指对互化”的思想，帮助同学们更好地理解对数的定义。当然，这种转化与化归的思想，也就预示着，我们在解决对数问题时，如果遇到困难，就可以将它等价的转化为指数问题来解决了！【设计意图】通过对数式与指数式的互化，强化指数与对数之间的内在联系，明确对数式与指数式的区别，凸显转化与化归的数学思想，培养学生分析问题，解决问题的能力。（三）自主探究、强化定义1.式子logaN=b中a 的取值范围是什么？为什么？2.式子logaN=b中N的取值范围是什么？为什么？负数和零有没有对数？3.计算：（1）log2322=；log393=；log 27（13）13=；（2）log223=；log33-1=；13log55=。请观察上述式子，你能归纳出一般性的结论，并证明它吗？4.计算 logaa=；loga1=，并说明理由。（其中a0，a1）【设计意图 1】设置探究环节的主要目的在于充分发挥学生的主体作用，给学生足够的时间和空间，让学生自己得出结论，使学生在课堂上既有动手操作的实践活动，又有动脑思索和探究数学的思维活动，有助于学生全方位参与学习，让课堂充满生命活力。学生在这种探究与交流中认识自我、改变自我、超越自我，同时在探究与交流中切磋，相互启迪开阔视野。【设计意图2】探究（1）（2）重在引导学生利用“指对互化”的思想，正确理解对数定义中底数和真数的限制条件，进而得到结论：负数和零没有对数。同时为今后学习对数函数时掌握底数及定义域的限制条件做准备。【设计意图3】探究（3）引导学生从个性中寻找共性，提升学生发现、归纳、总结的能力，渗透数学学科核心素养中的数学抽象和逻辑推理。通过让学生自己归纳结论并进行证明，不仅可以培养学生归纳推理的能力，而且还可以让学生体会数学学习的快乐，印象深刻，更好地理解、更牢固地掌握两个对数基本恒等式：logaNa=N，logaab=b。同时教师应指出，对数恒等式体现了指数运算和对数运算互为逆运算，强调对数恒等式形式及意义，利于学生记忆、便于应用。【设计意图4】探究（4）进一步引导学生利用对数的基本恒等式，在“已经知晓”的与“需要知晓”的知识之间架设桥梁，轻松得到第二个重要结论：1的对数等于0，底的对数等于1。（四）典例精析、多元认知例2：求下列各式的值。1.log2122.log0.613.log23-224.log2（3+2）2分析第1小题，旨在换成同底后计算；第2小题，是1的对数为0这一结论的直接应用；3、4小题的书写格式所代表的含义并不相同，教学时需要提醒学生注意。【设计意图】例2是对数基本恒等式的简单应用，教会学生能够利用对数的基本恒等式进行对数式的化简与求值计算，并体会基本恒等式在对数式的化简、求值问题中具有基石的作用。例3：（2020年全国3卷改编）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的模型：I（t）=Klog2（t-63），其中K为最大确诊病例数。当I（t*）=1.6 K 时，标志着已初步遏制了疫情，则 t*约为（e1.63）（）A.60B.63C.66D.69答案：C点评这道高考题聚焦社会热点问题，当新冠疫情席卷中国大地时，是最美逆行者们全力出击，遏制住了它们，在这里我们向抗疫英雄们致99敬！通过例3还可以发现，对数还可以被应用于医学领域。【设计意图】本题以新冠肺炎疫情传播的动态研究为背景，结合学生认知水平进行改编，考察学生对“指对互化”知识的理解和掌握，以及使用数学模型解决实际问题的能力，体现数学模型和数学运算的核心素养。进一步提升本节课的文化价值、应用价值，更是让学生自然而然的习惯了：用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界。（五）课外引申、提升价值教师其实啊，对数因天文学而诞生，但它生生不息，用一种有限的运算模型，解决了无限的实际问题！对数在生活中的应用非常广泛，比方说：在物理领域，对数用于测量声音的分贝；在化学领域，对数用于求“PH”值；在生物领域，对数用于估算生物死亡的年数；在地理领域，对数用于计算地震强度；就连我们最常见的视力表，其实它的全名也叫：标准对数视力表。这也就难怪了，伟大的天文学家、物理学家伽利略就曾感叹道：给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙！这真可谓是：数学源于生活、高于生活，又服务于生活！【设计意图】将发生在学生身边的实际问题引入课堂，能唤起学生的亲切感、更有利于激发学生对本节课所学内容的认同感和满足感，加以伽利略的感慨让学生深刻感受到对数的魅力，提升本节课的情感价值。（六）归纳提炼、小结收获1.知识内容：（1）1个定义：对数的定义（2）2个“恒等式”：logaNa=N，logaab=b（3）3个结论：负数和零没有对数；loga1=0；logaa=1。2.数学思想：数形结合、转化与化归3.推理形式：类比推理、归纳推理【设计意图】引导学生反思回顾，让学生明确本节课的重点和要达到的能力要求。通过学生小结，当堂检验课堂的效率，有利于学生系统地掌握所学内容，促进知识和方法的内化，将本节内容纳入已有的知识系统中，深化对知识的理解，完善认识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力，养成良好的学习习惯，增强学生学习的自信心并逐步培养学生提出问题的能力，引领学生由学数学到研究数学再到感悟数学。（七）课后作业、巩固提高A组：1.课本第121页习题4.3学而时习之第1、2题；2.探究：从指数与对数的关系以及指数运算性质，你能得出相应的对数运算性质吗？B组：阅读课本第124页历史上的对数。【设计意图1】A组第1题为基础性作业，为所有学生搭建共同平台，旨在夯实“四基”，培养“四能”，具有复习功能；A组第2题为探究性作业，起到承上启下的作用，推动思维发展，为学有余力的同学提供深层次探究的机会。【设计意图2】B组阅读性作业，让学生将学习从课堂延伸到课外，获得更大的能力提升，带领学生体验数学史的魅力，发挥德育之效，充分体现新课标理念，同时也是因材施教的教学原则的具体运用。九、教学反思通过对学生后续学习情况的追踪，不难发现，在HPM视角下，对数的概念一课的教学优势是非常明显的：在教学过程中借用对数的发展史，既没有生搬硬套，也没有脱离教材内容和教学目标，而是将HPM理论与实际联系，架设沟通历史与现实，数学与人文的桥梁，不仅增强了课堂的趣味性，还有效地解决了学生心中的所有困惑，突出了教学重点，突破了难点，是一次富有实效的尝试。经过此次尝试，笔者深知将数学史融入高中数学教学是不容易的，但也正是有了此次尝试，才更加深刻的体会到数学史是一座取之不尽，用之不竭的宝藏。在今后的教学中，必定还会以史为鉴，帮助学生强化对数学的认知，提升数学在情感领域和文化领域的教育功能。1001章建跃，李增沪.普通高中教科书数学必修第一册 M.北京：人民教育出版社，2019：122-129.2张景中，黄步高.普通高中教科书数学必修第一册 M.长沙：湖南教育出版社，2019：112-125.3 汪晓勤，沈中宇.数学史与高中数学教学理论、实践与案例 M.上海：华东师范大学出版社，2020:5-18.4严士健，王尚志.高中数学课程改革实践与探索教学设计与论文赏析 M.北京：北京师范大学出版社，2014：147-153.5冯伟贞，何小亚.中学数学教学设计 M.北京：科学出版社，2020：52-54.参考文献文字校对：贾红红101