泰勒展开法求解Fredholm积分微分方程.pdf

第 卷第 期 年 月新余学院学报 ，泰勒展开法求解 积分微分方程 黄功伟，陈豫眉（西华师范大学 数学与信息学院；公共数学学院，四川南充 櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆）摘要：提出一种求解 积分微分方程初值问题的泰勒展开法，并通过数值算例验证了该方法的有效性和实用性。该方法将积分微分方程转化为一个含未知系数的矩阵方程，具有计算简单、精度高等优点。关键词：积分微分方程；泰勒展开法；矩阵方程中图分类号：文献标志码：文章编号：（）櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆 收稿日期：基金项目：国家自然科学基金面上项目“铁磁流体动力学方程的时空保结构有限元法”（）。作者简介：黄功伟（），男，重庆巫山人，级西华师范大学数学专业硕士研究生。通信作者：陈豫眉（），女，四川眉山人，教授，博士，主要从事偏微分方程数值解研究。积分微分方程应用广泛，如辐射平衡的数学问题 、静电学 、势理论和 问题 、反应堆理论中的粒子输运问题 、辐射传热问题 等。但积分微分方程通常难以解析求解，因此对其进行数值求解十分必要。近年来，已经有许多方法用于求解积分微分方程，如同伦摄动法、伽辽金方法、变分迭代法和配置法等。利用同伦摄动法研究混合 积分方程，等 使用 方法求解随机 积分方程的数值解，等 运用变分迭代法研究 阶积分微分方程，等 提出了基于广义伯恩斯坦多项式的投影配置方法求解线性 积分微分方程。泰勒展开法是求解积分微分方程的一种有力方法，具有计算简单、容易理解、精度高等优点。等 提出了求解 积分方程的泰勒展开法，将泰勒展开法推广到了非线性 积分方程，等 将泰勒展开法用于求解高阶线性 积分微分方程，将泰勒展开法应用于弱奇异核线性积分微分方程，更多有关积分微分方程解的研究可参见 等 的文章。本文用泰勒展开法求解如下的 积分微分方程：（）（）（）（）（）（）（）（），（）初始条件为 （）（），（）其中，（）和 （）（，）是已知解析函数，和 为常数，。泰勒展开法推导离散方程步骤 积分部分近似。对方程（）中的积分部分进行泰勒展开，得（）（）（）（）！（）（）（）！（）（）（）（）！（）（）（）！（）（）（）对（）式两端积分，得 新余学院学报 年（）（）（）！（）（）！（）（）（）（）将（）式代入（）式，得（）（）（）（）（）（）！（）（）（）（）！（）（）（）（）（）（）（）（）其中 （）！（），。将（）式化简，得微分方程 （）（）（）（），（）步骤 将新方程（）式表示为矩阵形式。将（）式中（）（）在 处泰勒展开，有（）（）（）（）当 时，（）（）（），（），对（）式两端求导，得（）（）（）（）（）（）类似于（）式，有（）（）（）（）由（）式和（）式得（）（）（），（）取 ，当 时（），（）式可转化为矩阵形式：（）（），（）其中（）（）（）（），。由（）式，得（）（）（）（）其中（），。将（）式转化为如下矩阵形式（）（）（）（）由（）式（）式得（）（）（）其中 ，。将（）式中 （）进行泰勒展开，有（）（）（）！（）（）。将（）（）用矩阵表示为（）（），其中，故（）式左端的矩阵形式为 （）（）由（）式右端表达（），（）（）！（）可得其矩阵形式为（）（）其中 ，。步骤 将初始条件转化为矩阵形式。第 期黄功伟，陈豫眉：泰勒展开法求解 积分微分方程 同理可将初始条件（）式转化为如下矩阵形式：（），（）其中 （），。步骤 生成矩阵方程并求解。将（）式和（）式代入（）式，得 （）（）将（）式记为或 ；。同理（）式记为或 ；，。为了求解（）式，组装其对应的矩阵方程，即用 行矩阵 ；替换矩阵 ；最后 行，得离散格式；，；，；（）若 （），则（）（）数值算例为了验证离散格式（）的有效性，与文献 中的 阶积分微分方程进行比较，并运用 编程实现。设 （）为精确解，（）为近似解，误差为 （）（）。例 求解下列 积分微分方程 （）（）（）初始条件为（），（），（），其精确解为 （）（）。本例中 ，。当 时，离散方程为；。本文方法与文献 比较的结果见表 ，数据表明，该方法对于 积分微分方程是有效的，有较好的精度。本文方法和文献 中变分迭代法（）的数值解与精确解的比较结果见图 。结果表明，本文方法的数值解更贴合精确解。新余学院学报 年表 与文献 比较不同节点的计算结果（）精确解本文数值解本文绝对误差文献 的数值解文献 的绝对误差 图 例 精确解与数值解的比较（）例 求解以下 积分 微分方程 （）（）（）（）初始条件为（），（），（），（），（）（），（）（），（）（），（）（），其精确解为 （）（）。本例中 ，。当 时，离散方程为；。第 期黄功伟，陈豫眉：泰勒展开法求解 积分微分方程 本文方法与文献 比较的结果见表 。数据表明，该方法对于 积分 微分方程精度较高。本文方法和文献 中变分迭代法（）的数值解与精确解的比较结果见图 。图像表明，本文方法的数值解更贴合精确解。表 与文献 比较不同节点的计算结果（）精确解本文的数值解本文的绝对误差文献 的数值解文献 的绝对误差 图 例 精确解与数值解的比较（）结语通过泰勒展开法将 积分微分方程转化为微分方程，进而转化为求泰勒系数的矩阵方程，通过数值算例说明了该方法的有效性和实用性。后续将进一步将该方法应用于求解分数阶线性 积分微分方程和非线性 积分微分方程等。参考文献：，（）：?：，：，（）：?，：，新余学院学报 年 ，（）：?，：，（）：?，（）：?，（）：?，爦?，（）：?，（）：?，（）：?，（）：?，（）：?，（）：?，（）：?，爦 ，（）：，（）：（责任编校：任华），（，）：，：；